viernes, 24 de enero de 2020

optimizar


hace un par de años, tuve que explicar por primera vez los problemas de programación lineal, a una alumna de 2º de bachillerato. para ello me inventé sobre la marcha un problema muy dulce, que tal vez os dé hambre. :D

obviamente no recuerdo qué datos di ni qué condiciones puse, pero era sobre una panadería que fabricaba, entre otros productos, bollos suizos y croissants. para el problema que voy a resolver en esta entrada, supongamos que el precio del bollo es de 1,20 euros, y el del croissant de 1,50 euros.

luego puse algunas restricciones relacionadas con el número de piezas horneadas y con los ingredientes. para este caso, pongamos que el número total de bollos y croissants no debe exceder de 150. y por poner otra restricción sencilla, digamos que disponemos de 2 kilos (2000 gramos) de mantequilla, y que cada bollo necesita 10 gramos de mantequilla, mientras que cada croissant necesita 20 gramos.

traduciendo toda esa información a lenguaje matemático, así es como expresaríamos la función objetivo -ingresos por la venta de bollos y croissants- y las restricciones que hemos explicado.


a continuación, representamos en una gráfica las rectas que marcan el límite de las restricciones. dado que son del tipo “menor o igual”, nos interesará la zona por debajo de cada recta. sombrearemos ambas zonas, que tendrán un área común, aquella que hemos sombreado doblemente, por decirlo así. en esa área se encontrarán las posibles soluciones. hallaremos también el punto de intersección de las dos rectas, ya que lo vamos a necesitar.


la solución óptima se encontrará en alguno de los vértices de ese cuadrilátero irregular extraño que representa la zona de soluciones factibles. cada vértice corresponde a un número de productos de ambos tipos, en este caso bollos y croissants. los sustituiremos en la función objetivo, y la solución óptima será aquella que nos dé unos ingresos máximos.

evidentemente, el origen de coordenadas no lo tenemos en cuenta, pues supondría no fabricar nada de ninguno de los dos productos. el punto A se encuentra sobre el eje x, y por tanto significa que fabricaríamos sólo bollos y ningún croissant. análogamente, el punto B está en el eje y, lo que quiere decir que fabricaríamos sólo croissants y ningún bollo. en este caso, sólo el punto C corresponde a una situación de fabricar cierta cantidad de ambos.

y como era de esperar, en C se encuentra el óptimo. vendiendo 100 bollos suizos y 50 croissants, obtenemos unos ingresos de 195 euros.


en los puntos situados sobre los ejes no suele encontrarse el óptimo, aunque lo comprobemos para descartarlos. eso demuestra que en la vida es necesario el equilibrio, y que no es bueno irse a los extremos. ;)

como vemos, al pitufo panadero le ha ido bien con este modelo de producción.

32 comentarios:

  1. XD... Dr. Chemita.
    Tuviste una genial idea, y con ello solucionaste las dudas a tu alumna.
    Creo que yo estaría en peor situación que esa chica.
    Saludos y buen Fin de Semana.
    Doctor... 💙💖❤💥

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  2. Ayy,este profe de Mate!!
    muy exhaustiva la fórmula,pero las restricciones son un poco más difíciles para la alumna
    No encontraría la solución con unas operaciones más sencillas al problema,o no?
    Mira que eres malote!!Sonrisa
    Me Gustan tus propuestas
    Besucos sin restricciones ,majete

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  3. Cuando desayune me creo que aún estaré intentando saber más de estos procesos matemáticos :-)

    Buen provecho. Un abrazo

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  4. Una forma muy dulce de explicar un problema.
    ¡Acabo de desayunar y ya tengo hambre otra vez! XD

    Besos.

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  5. Pues he mirado dentro del croisant y no veo números, eso es que los cálculos han salido a la perfección. Si algún día tengo que volver a estudiar me pido a Chema de profe. Un abrazo

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  6. Conseguir el equilibrio en la vida a veces cuesta.

    Un beso para ti y feliz finde.

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  7. Sin duda las matemáticas nos dan claves para hacer de nuestro modo de vida sea más equilibrado. Chema eres un gran profe, me gusta como explicas las cosas y la paciencia que tienes..Olé ese chico majo.Un abrazo amigo ..feliz sábado!!

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  8. Caray con el pitufo panadero, sí que le funciona bien el negocio :-D

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  9. Es costoso llegar a ese equilibrio. más los que nos cuesta entender las mates, jeje...
    Sin lugar a dudas, si tengo que estudiar mates, te buscaré, espero tener plaza. Que suerte tiene esa alumna por tenerte de profe.
    Feliz finde chema.
    Un abrazo

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  10. Ay, Chema... Estoy con un café y siempre lo acompañado de algo dulce... Me has dado envidia con lo que nombras.
    Tus alumnas y alumnos tienen mucha suerte contigo. Lo haces tan fácil al explicar...

    Mil besitos de chocolate, solete 🥰

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  11. romaxu, esa chica había hecho bachillerato de tecnología, pero hacia final de curso decidió prepararse también el de ciencias sociales para selectividad, y por eso le tuve que explicar con urgencia algunas cosas de matemáticas que se daban en la opción de sociales, como programación lineal y estadística. fue una buena experiencia. :)

    gó, la verdad es que es típico de mí hacer los problemas por planteamientos un poco rebuscados, pero creo que estos de programación lineal, no hay otra manera, jeje. cuando un año antes los alumnos dan sistemas de inecuaciones, les advierto de que los aprendan bien, porque programación lineal es una aplicación de eso. ^_^

    albada, para tener la mente en forma y entender este tipo de problemas, hay que desayunar bien. por ejemplo, un café con leche con un bollo o un croissant, ya que estamos con eso. ;)

    mari (devoradora), y más hambre que nos hubiera dado a todos si llego a entrar en más detalle sobre los ingredientes del bollo y del croissant. pero eso habría complicado mucho el problema, desde el punto de vista matemático. ;)

    besos!!

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  12. ester, las láminas que forman el croissant, seguro que siguen alguna pauta matemática. y la masa del bollo es porosa, como si en el espacio tridimensional suprimiéramos los puntos con las tres coordenadas racionales, por ejemplo.

    millicent, a bun or croissant and a cup of coffe, tea or milk with cocoa powder, is a perfect breakfast. or even a dinner, if you're now very hungry at night. eggs are good for other things, but not for teaching maths. ;)

    amapola, ya hace más de dos mil años, aristóteles decía que la virtud estaba en el término medio. ahora bien, ese término medio no es fácil encontrarlo, a mí en muchas cosas me cuesta...

    campirela, sí, normalmente soy paciente. además este curso me ha tocado a alumnos bastante respetuosos, y que no tienen grandes carencias de base, por lo que dar clase con ellos se hace llevadero. incluso en domingo, que mañana por la tarde tendré dos clases. ^_^

    besos!!

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  13. geno, esas viñetas son de la aventura 'el pitufo financiero'. adoptan en la aldea el uso del dinero, que lo han aprendido de los humanos. y al principio les resulta divertido, pero luego les trae muchos quebraderos de cabeza. ^_^

    carmen, te haría un hueco, no lo dudes, jeje. a esa chica le di clase cuando ya estaba en 2º de bachillerato. luego eligió de carrera derecho y administración de empresas. era muy trabajadora y voluntariosa, eso lo hace todo más fácil.

    auroratris, aquel día que quedé en jumilla contigo y mªisabel, también pedimos café y algún dulce de los que tenían tan ricos en ese sitio. :) con ejemplos divertidos, todo es más fácil de aprender.

    besos!!

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  14. Pues sí, me ha dado hambre... Has desatado a mi Eva golosa...

    Un beso dulce.

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  15. Solo espero que no te hagan la prueba del 9 :-) Es broma. La verdad es que con cosas cotidianas lo más complicado es sencillo. Una clase magistral sin duda. Y entretenida.
    Un beso.

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  16. Hace nada hablaba yo con mi marido de un problema similar, pero no sabía que se llamaba programación lineal. Es genial que alguien haya elaborado este tipo de teorías sobre la optimización porque está claro que sirven en la vida real!
    Y ahora, me voy a merendar...
    Besos

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  17. Una deliciosa manera de enseñar, eres un artista de las mates, afortunados aquellos a los cuales enseñas, me hubiera gustado tener un profe como tú.

    Besitos Chemita:))

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  18. Uhmm con lo que me gustan a mí los croasanse, hoy qué dulce es tu enseñanza, dan ganas de saborearla.

    Un beso.

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  19. eva, en los tebeos de superlópez, el protagonista siempre pedía "un café con leche y un croissant". sólo que en vez de pedirlo en la barra del bar, lo pedía en la taquilla del metro. :P

    mag, ahora que lo dices, ya no me acuerdo de cómo era la prueba del nueve de la multiplicación. quizá algún día le dedique una entrada. ^_^ algunos temas de mates se prestan más a poner ejemplos cotidianos, con otros temas es más difícil.

    rosana (silvestre), yo esto di por primera vez en una asignatura de la carrera que se llamaba 'métodos cuantitativos de organización industrial'. pero luego me sorprendí al saber que ahora los chavales lo dan en bachillerato. ese tipo de problemas los suelen entender bien, y son divertidos de explicar.

    rosana (martí), cuando tengo una tarde frenética, de dar una clase y tenerme que ir pitando a otra, es peor de pensar que de pasar. luego, una vez que estás en ello, es gratificante. mañana domingo me espera una tarde de esas. ^_^

    maría, los croissants los compro a menudo para mis padres, aunque yo hace mucho que no como ninguno, porque no quiero engordar. los reservaré para algún día que tenga mal de amores y necesite consolarme. :D

    besos!!

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  20. Pues Chema,yo te admiro ,en serio porque en matematicas soy nula!Hago la caja en el trabajo y como no este atenta ya me lio! jaja.
    Eso si,de bollos y suizos estoy rodeada todos los dias! UN besazo genio!

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  21. Chema, si tengo que elegir, me quedo con los croissants, que dentro de un rato me voy a desayunar uno con el café. Y como estoy de acuerdo en lo de mantener el equilibrio, es un homenaje que sólo me doy los fines de semana.
    Que pases un feliz domingo :-)

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  22. Si hubiese sido yo la alumna no hubiese podido dejar de pensar en los bollos suizos, en los pastelitos jajaja.

    Eres un gran profesor Chema. Así da gusto aprender.

    Un beso.

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  23. Una vez más se demuestra que todo se puede expresar en números, de ahí que las matemáticas sean un idioma universal.
    SAludos.

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  24. imanara, no creas, que yo a veces también me trabuco con cálculos supuestamente sencillos. :D si alguna vez voy a tu pastelería, compraré algún bollo o pastel para llevárselo a mi madre, que es muy golosa. ^_^

    ilona, en una pastelería donde a veces compro bollos para mis padres, la chica, que ya me conoce, me dice: "pero cómprate algo para ti, hazte un homenaje!". si algún día estoy de bajón, una palmera de chocolate.

    prozac, a ti te habría puesto algún problema con bollos de mantequilla o pasteles de arroz. ;) en una pastelería que hay cerca de mi casa, venden ambas cosas. a veces he puesto problemas de calcular los porcentajes de ingredientes (harina, azúcar...) de algún pastel o algún postre casero. ^_^

    manuela, si tienes un negocio propio, aunque sea una pequeña panadería, tienes que hacer muchas cuentas. es mucha responsabilidad, admiro a la gente emprendedora.

    besos!!

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  25. Hay se ve que eres un buen profesor, ya sea con crosant, panecillos o pitufos. Me a gustado mucho tu entrada te deseo una feliz semana besos de flor.
    Ahora me voy a comer una magdalena con un vaso de leche.

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  26. Ostras este fin de semana hice pan y no reparé en todo esto pero hay que reconocer que tu alumna fue afortunada porque con una buena explicación y un buen profe las matemáticas son otra historia.

    Besines utópicos.-

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  27. Hola Chemita que manera mas dulce de hacernos entender las mates la verdad, que me gusto todo lo que explicaste y como lo hiciste ( mates y croissanes en este caso) aunque me quedo con lo dulce
    Oh croissant! Tú que me llenas el vacío de medio-mañana, y el de media-tarde, si es necesario!
    Tú que me sacas el gusanillo y mucho más...
    Tú que me llenas de esperanza y de ilusión ... por un mundo más dulce!
    Que haría sin ti?
    Sin tu esponjosa pasta ... y el chocolate crujiente que a veces te dejas como medio despistado dentro ...
    Que haría sin ti?
    Sin tu aroma y perfume ... que me hacen la boca agua ... Ummmmmmmmm
    Oh croissant! Protagonista del invierno con vitaminas dulces contra el frio.
    No puedo vivir ya sin ti ...

    Oh croissant! Como me gustas ¡¡¡¡

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  28. Hola.
    Ay a estas horas leer esto...qué hambre.
    Me ha encantado el post, está claro qu elas matemáticas nos ayudan mucho más de lo que pensamos.
    Muy feliz martes.

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  29. flor, una magdalena y una taza de leche (en mi caso sería con cacao) es una buena opción para no irse a la cama en ayunas. en mates, hay temas que se prestan a poner ejemplos divertidos. en cambio, otros temas son más abstractos y es complicado...

    irma, a la hora de hacer pan, hay que tener en cuenta las proporciones de los ingredientes (harina, levadura...), como bien sabrás. :) a las 4:30 tengo clase, con el sueño que tengo. ^_^

    lua, a mi madre a veces le llevo unos croissants rellenos de chocolate blanco. no sé qué tal estarán, no los he probado. pero los croissants siempre son una delicia, con o sin relleno. y como ves, también sirven para ilustrar conceptos de matemáticas. cómo mola el poema!! lo debió escribir alguien a quien le gustaban mucho. ;)

    gemma, bienvenida de nuevo!! veo que hoy has actualizado tu blog, después de un tiempo de ausencia. para cualquier negocio, por pequeño que sea, las matemáticas lo son todo. están presentes tanto en la tecnología como en las humanidades.

    besos!!

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  30. Muy interesante pero yo todo eso lo haría sin fórmulas jajaja Bueno que leches, si un día pongo una panadería te preguntaré Chema, o mejor, me llevarás la contabilidad.
    Besos

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  31. Al final me van a gustar las matemáticas, ya verás.
    Muy interesante. Hoy hice pan en la panificadora con semillas. Está delicioso. Una pasada. Se nota que he descansado.
    Besos.

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  32. pirulí, los que están aprendiendo a cocinar, toman cuidadosamente la medida de los ingredientes, pero con el tiempo los echan a ojo. la contabilidad real debe ser más sencilla que la contabilidad académica, con tantas cuentas intangibles chorras.

    mari jose, qué rico el pan calentito y recién hecho! un día que no hayas tenido tiempo de comprar pan, te lo puedes hacer tú misma, con las características que quieras darle.

    besos!!

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