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anoche soñé que le estaba explicando a un alumno una cosa sobre límites de funciones. preferiría soñar con eugenia silva, pero bueno... el tema era que las funciones senoidales no tienen límite. vamos a hablar del seno, aunque para el caso valdría igual el coseno, ya que su carácter cíclico es el mismo.

el límite cuando x tiende a infinito (∞) de sen(x) no existe, ya que esta función está oscilando todo el tiempo entre -1 y 1, en períodos de longitud 2π (o 360º, si medimos el ángulo en grados en lugar de en radianes). por mucho que des valores muy altos a x, éste será sólo un ángulo, con muchas vueltas completas que no van a aportar nada, pero un ángulo al fin y al cabo. y el seno de ese ángulo estará entre -1 y 1, es decir, no existirá un valor límite al cual la función se acerque cada vez más.

la cosa cambia para el caso de la función sen(x)/x. el límite cuando x tiende a ∞ será 0, ya que esta vez el numerador será finito y el denominador infinito. poco importa que el seno tenga un valor indeterminado entre -1 y 1. como lo estamos dividiendo entre un número enorme, nuestra función va a tender a 0. este comportamiento se refleja en la gráfica, con una forma ondulada que se va ‘aplanando’ a medida que avanzamos.

el peor caso de todos es el de la función x·sen(x). cuando x tiende a ∞, estamos multiplicando un número muy grande por algo que está entre -1 y 1. por tanto, lo mismo nos puede salir algo pequeño o grande en valor absoluto, y de signo positivo o negativo. al multiplicar por x, estamos ‘amplificando’ progresivamente la gráfica de sen(x). las subidas y bajadas de la gráfica ondulatoria son cada vez más pronunciadas.

si se tratara de una onda sonora, tendría ese aspecto al ir subiendo paulatinamente el volumen. un megáfono sirve para amplificar el sonido. en la aventura stock de coque de tintín, el capitán haddock usa un megáfono para dedicar una retahíla de insultos a uno de los ‘malos’, que se encuentra a bordo de un barco que se aleja...