leer un libro

cuando lees un libro, da la sensación de que cuanto más avanzas más rápido vas. me explico: parecerá una tontería, pero cada página que se suma a las ya leídas, automáticamente se resta de las no leídas. cada vez que el montón de páginas leídas engorda, el montón de páginas no leídas simultáneamente adelgaza.

me pregunté cómo se podría expresar la proporción de páginas leídas frente a páginas no leídas. si un libro tiene un total de N páginas y llamamos x al número de páginas leídas en un momento determinado, esa proporción será igual al cociente x/(N–x).

esta función nos interesará estudiarla en el intervalo entre x=0 (aún no hemos empezado a leer) y x=N (hemos terminado de leer el libro). será una función con derivada primera positiva, es decir, creciente; y con derivada segunda también positiva, lo que quiere decir que no sólo crece sino que cada vez lo hace de manera más pronunciada.

nuestra función empieza valiendo 0, crece de manera moderada hasta x=N/2 (en la mitad del libro), y a partir de ahí su crecimiento se dispara, hasta hacerse infinito en x=N, donde hay una asíntota vertical.

en la gráfica se refleja este crecimiento. y esto es para el caso en que leemos a un ritmo constante. no digamos cuando se trata de un libro que nos apasiona, y cada día leemos más páginas que el anterior.

cambiamos de asunto. la simpática queca me ha concedido este premio desde su precioso blog de muñecas. gracias por pensar en mí!! :)

primero hay que responder a varias preguntas. vamos allá...

1) ¿Cómo definirías tu blog?

improvisado, escribo sobre cosas que se me van ocurriendo, sin ninguna planificación...

2) ¿Cuánto tiempo dedicas al blog a la semana?

suelo publicar cada semana más o menos. las entradas con cálculos y gráficas hechas por mí a mano llevan un poco más de tiempo.

3) ¿Cuál es la entrada que más te gustó escribir?

escribiendo esta historia real me quedé muy pero que muy a gusto. :D

4) ¿Y la que más te costó?

con las entradas sobre películas sufro mucho porque me da por contarlas con todo detalle, pero ésta en concreto se lleva la palma.

5) ¿La que te gustaría escribir y aún no has hecho?

supongo que hay cosas que me cuesta más contar, pero ya encontraré la manera...

6) ¿Quién te gustaría que te siguiera si no lo hace aún?

posiblemente hay familiares y viejos amig@s que me conocerían aún mejor si me leyeran, aunque... no sé si es buena idea.

7) Cada vez que escribes una entrada ¿piensas que desnudas un poco tu alma?

lo de ‘desnudar el alma’ es una frase tópica que no me gusta mucho, pero sí es verdad que algunas entradas son claramente autobiográficas.

8) ¿Cuál es tu blog de referencia?

supongo que nos influimos unos a otros, y eso es una cosa buena, es enriquecedor.

9) ¿Te gustaría vivir sólo del blog?

no, aunque las entradas sobre temas de matemáticas me sirven de ensayo para las clases que doy...

10) ¿Qué es lo que más te gusta de tu blog?

no lo sé. soy muy autocrítico, y cuando releo una entrada antigua, la mayoría de las veces no me siento muy satisfecho.

11) ¿Y lo que debes mejorar?

constantemente se mejora, nunca se llega a un punto en el que se haga todo perfecto.

añado otra más para que sean 12, un número más bonito y con más divisores que 11, que es primo.

12) ¿Cuál de tus entradas está basada en recuerdos más antiguos?

en mi caso, la de mis años de parvulario.

ahora se lo tengo que conceder a varias personas. esta vez va a ser para bertha, para merchi y para elanor-arien.

tarta

después de una entrada titulada ‘pastel’, ahora viene otra titulada ‘tarta’. :P

en un libro de lengua que tuve en egb, para ilustrar la diferencia entre el pasado, el presente y el futuro, ponían unas viñetas de una niña que iba a celebrar su cumpleaños, según se intuía por el contexto. el día anterior pensaba “mañana comeremos tarta” (futuro); el día de la fiesta, con la tarta delante, decía “hoy comemos tarta” (presente); y al día siguiente recordaba “ayer comimos tarta” (pasado).

un ejemplo muy didáctico que a mí desde luego me resultó de gran utilidad. en la foto que veréis ahora, yo me encontraba en esa misma situación. dado que la tarta tenía cuatro velas, deduzco que cumplía cuatro años. soy único haciendo deducciones, si es que de tanto leer historias de sherlock holmes, algo se me ha pegado. :P

era, por tanto, 1 de junio de 1981. ha llovido desde entonces... y mi hermana, que salía conmigo en la foto, tenía doce años, o para ser más exactos once para cumplir doce.

y hoy casualmente es 1 de junio, sólo que del año 2014. cuántos cumplo, os dejo que lo calculéis. podría ser un problema de matemáticas de esos con los que doy el tostón a los niños que sufren mis clases particulares...

ya tengo preparada la piñata llena de chuches. podéis coger lo que más os guste...

pastel

la palabra ‘pastel’ tiene diferentes significados. puede tratarse de un pastel dulce, como el que se está comiendo esther.

también se llama ‘pastel’ a un tipo de pinturas de colores para difuminar. las he utilizado en algunas de mis ocasionales incursiones en el dibujo...

y ‘pastel’ es, además, un término empleado para denominar a cierta gama de colores claros.

para el verano que se aproxima me he comprado dos nuevas bermudas, que son de lo que podríamos llamar ‘colores pastel’.

la que me llamó la atención instantáneamente fue la verde, y como eran baratitas me cogí también la amarilla. hacían buena pareja.

las llevaré con camisetas blancas, y como de ésas ya tengo unas cuantas...

la llegada

cuando vamos al pueblo de mi abuela, se reproduce una secuencia de escenas que me resulta muy familiar y me transporta a épocas pasadas...

tras muchos kilómetros recorridos a través de campos de viñas, por fin vemos señalizado el nombre del pueblo. poco después vemos el castillo en el horizonte, y por fin nos adentramos en esas calles de casas antiguas por las que no pasa el tiempo...

la calle que tomamos desemboca en la plaza peatonal donde se encuentra nuestra casa. hemos llegado a nuestro destino.

la plaza la pavimentaron recientemente, antes el suelo era de arena. en la siguiente foto veis dos casas de idéntica fachada -que también fue restaurada hace poco-: la de la parte derecha de la foto es la de mi abuela, y la otra es de su hija, mi tía. como es natural, ellas tienen un estrecho contacto, para pedirse sal o cualquier otra cosa que surja.

la casa de mi abuela os la he enseñado muchas veces por dentro. ahora la podéis ver por fuera. las persianas no las han cambiado, no.

enfrente está el jardín, que también lo habéis visto otras veces. y en ángulo recto con la casa y el jardín, hay una especie de balcón por el que se baja a otra calle que está a un nivel más bajo. jumilla es un pueblo muy escalonado...

por último, os dejo con dos fotos más de la plaza desde otros ángulos.

hipercubo?

junto a la plaza de san juan de la cruz -de la cual puse una foto en la anterior entrada-, en el lado de los pares de la castellana, hay una colina por la que se sube al museo de ciencias naturales y a la escuela de ingenieros industriales de la politécnica. este último lugar me resulta ligeramente familiar... me pasé allí casi una década de mi vida, bah, poca cosa. :P

en esa pradera se encuentra el monumento a la constitución, inaugurado en 1979 y diseñado por el arquitecto miguel ángel ruiz-larrea.

se supone que es un hipercubo, el equivalente en cuatro dimensiones de un cubo. o, para ser más exactos, es la proyección en tres dimensiones de un hipercubo. de la misma manera que se puede representar sobre dos dimensiones un cubo, cuando lo dibujamos en perspectiva sobre el papel con sus caras, aristas y vértices.

dado su carácter ornamental, no es totalmente simétrico. por la parte inferior tiene unos escalones, mientras que el resto de ‘caras’ son lisas. los escalones llevan a una especie de pedestal macizo -al que he subido a pesar de mi vértigo-, mientras que por arriba está abierto.

los espacios de más de tres dimensiones, al igual que los números complejos, son imposibles de imaginar. nunca sabremos si es porque realmente no existen, o porque nuestra mente no está capacitada para concebirlos. al igual que nuestros sentidos sólo pueden percibir un rango limitado de sonidos y de colores...

el círculo

los niños de 6º de primaria ya saben que el área de un círculo de radio R es igual a π·R². conocer esta fórmula y utilizarla no es excesivamente difícil. pero demostrarla ya es un problema de nivel universitario.

supongamos una circunferencia centrada en el origen. cada uno de sus puntos se puede situar por sus coordenadas {x,y}, que serán las proyecciones horizontal y vertical del radio. nos será útil expresarlas en función del ángulo α que forma el radio con uno de los ejes, pongamos que sea el horizontal.

la ecuación de la circunferencia es x²+y²=R². efectivamente, por el teorema de pitágoras, las coordenadas de los puntos son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio.

esta ecuación se puede desdoblar en dos funciones: y=±√(R²–x²). las ramas de signo positivo y negativo se corresponden con la semicircunferencia superior y la semicircunferencia inferior, respectivamente.

para calcular el área del círculo interior a la circunferencia, nos resultará más cómodo calcular el área de un cuarto de círculo y multiplicarla por 4. hasta ahí, de acuerdo. el problema viene en la integral que hay que resolver.

realizaremos el siguiente cambio de variable: x=R·cosα. también habrá que cambiar los límites de integración. x=0 se corresponde con el radio vertical, por lo que α=π/2 (90º); en x=R el radio está horizontal, con lo cual α=0.

ya “sólo” queda resolver la integral. en primer lugar, el signo negativo lo compensamos intercambiando los límites de integración; R², al ser una constante, puede salir fuera de la integral; aplicamos la igualdad sen²α+cos²α=1; recordamos la expresión que relaciona el cuadrado del seno con el coseno del ángulo doble; y por último, integramos entre 0 y π/2.

y por fin llegamos a donde ya sabíamos: el área del círculo es π·R². ya veis cuántos cálculos hay detrás de una fórmula aparentemente tan sencilla. y reconozco que los he explicado un poco apresuradamente, porque de otro modo esta entrada habría sido interminable...

la forma circular se encuentra en muchos lugares. por ejemplo, en algunas fuentes como la que hay en la plaza de san juan de la cruz, cerca del intercambiador de nuevos ministerios. por allí paso siempre para ir a dar clases a una niña que ya ha tenido que vérselas con las circunferencias y los círculos...

goteras

esta sorpresa que se encuentran zipi y zape y sus padres al regresar de vacaciones no se debe a una gotera. mucha gotera tendría que ser... lo que ocurrió fue que se dejaron los grifos abiertos.

la idea de esta entrada me vino al recordar un problema que propuso el profesor de física de 3º de bup, con carácter voluntario, para subir nota. se trataba de determinar las trayectorias de las gotas que caían de un radiador, sin darnos ningún dato. fantástico. me pregunto con qué cargaba la pipa que fumaba en ocasiones...

vamos a imaginarnos una gotera que cae del techo, un incidente que ocurre con frecuencia y ante el cual todo el mundo elude responsabilidades. llamaremos h a la altura del techo, y z(t) será la altura a la que se encuentra respecto al suelo la gota que está cayendo, en función del tiempo. g es la aceleración de la gravedad.

a partir de esta ecuación se puede calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo una gota. será igual a √(2h/g). para que una gota empiece a caer antes de que la anterior haya llegado al suelo, deberán estar espaciadas un tiempo menor que el que hemos hallado.

suponiendo una altura del techo de 3 m, y sabiendo que la gravedad es 9.8 m/s², el tiempo que tarda en caer cada gota al suelo será √(2·3/9.8) ≈ 0.7825 s. por tanto, para que pueda haber más de una gota cayendo en un instante determinado y el problema pueda dar un poco de juego, no deberán estar espaciadas más de esos 0.78 segundos.

y eso era para un piso de 3 m de altura. el problema que quería que hiciéramos aquel profesor era sobre un radiador, cuya altura máxima puede ser de... 1 metro como mucho? tendría que caer el agua casi a chorros. en ese caso, mejor poner un barreño hasta que alguien pueda arreglarlo, y dejarse de calcular trayectorias...