ruedas

en un movimiento de rotación de un cuerpo, lo que se denomina centro instantáneo de rotación es un concepto fácil de entender intuitivamente. viene a ser el punto que se mantiene inmóvil, y alrededor del cual giran los demás puntos del cuerpo que estamos analizando.

imaginemos el caso de una rueda que gira sobre sí misma sin trasladarse. algo así como cuando las ruedas de un coche se deslizan sobre la nieve. es fácil intuir que el cir se halla en el centro de la rueda. pero no siempre será tan fácil. este caso es sencillo porque se trata de un movimiento de rotación pura.

en el caso de una rueda de un coche en movimiento, si nos preguntan dónde está el cir, podemos caer en la trampa de decir que también está en el centro de la rueda. pero no es así. en este caso, para empezar, el cir es diferente en cada instante del movimiento. y se halla en el punto de contacto de la rueda con el suelo.

este movimiento se denomina rodadura sin deslizamiento. es la combinación de dos movimientos: uno de rotación pura y otro de traslación. vamos a explicarlo con más detalle...

en un movimiento de rotación pura de un cuerpo circular, el valor de la velocidad de cada punto será ω·r, siendo ω la velocidad angular y r minúscula la distancia del punto al centro. esta velocidad será máxima en el contorno exterior, y su valor será ω·R, siendo R mayúscula el radio de la rueda. así pues, la velocidad irá aumentando linealmente desde 0 en el centro hasta ω·R en la circunferencia exterior.

la dirección de la velocidad será perpendicular al radio donde está situado cada punto. suponemos que la rueda gira en sentido antihorario, y nos fijamos en el diámetro vertical de la rueda: en ese preciso instante, los puntos que están por encima del centro se desplazarán horizontalmente a la izquierda, y los puntos por debajo del centro lo harán horizontalmente hacia la derecha.

así pues, las velocidades instantáneas de los puntos del diámetro que se encuentra en posición vertical, se pueden representar gráficamente de esta manera:

ahora imaginemos un movimiento de traslación pura de la misma rueda. se desplazará hacia la izquierda a una cierta velocidad lineal. para el caso que nos ocupa, nos interesa que el valor de dicha velocidad sea ω·R, que es justamente la velocidad de los puntos del contorno exterior en el movimiento de rotación anterior.

qué ocurrirá si combinamos los dos movimientos? en el punto de contacto de la rueda con el suelo, tendremos dos vectores de velocidad de magnitud ω·R, uno hacia la derecha -el del movimiento de rotación- y otro hacia la izquierda -el del movimiento de traslación-. ambos se anulan entre sí, y el resultado es que el punto en que la rueda toca con el suelo está inmóvil en ese instante. y el punto inmóvil es el centro instantáneo de rotación que estábamos buscando.

seguimos fijándonos en el diámetro vertical. a las velocidades que tenían sus puntos en el movimiento de rotación pura, habrá que sumarles las velocidades -o mejor la velocidad en singular porque es siempre la misma- del movimiento de traslación pura.

el resultado será que la velocidad de cada punto del diámetro vertical irá variando linealmente desde 0 en el punto de contacto con el suelo, pasando por ω·R en el centro de la rueda, hasta 2·ω·R en el punto más alto de la rueda.

va contra la intuición que la rueda gire sobre el punto de contacto con el suelo, y no sobre su centro. la rodadura sin deslizamiento se puede ver en cierto modo como un movimiento en palanca en el cual la rueda se impulsa sobre el suelo, lo que hace que gire y se traslade. en consecuencia, el punto de apoyo pasa inmediatamente a ser el siguiente punto de la circunferencia exterior. es una sucesión de movimientos instantáneos en palanca que dan como resultado un movimiento continuo.

todo esto es un poco lioso. para que lo entendáis mejor, imaginaos el movimiento de las ruedas del coche de esther y su familia...

verano lector

este verano he elegido para leer varias obras clásicas escritas por mujeres, y que contienen abundantes reflexiones sobre la naturaleza humana.

empecé por una colección de relatos policiacos de emilia pardo bazán. de los catorce relatos seleccionados, la gota de sangre ocupa aproximadamente un tercio del volumen. demasiado corto para ser una novela, demasiado largo para ser un cuento.

en realidad, yo los veo más como relatos costumbristas con un toque de intriga. es verdad que en todos ellos hay algún crimen que se debe resolver, pero están narrados en la mayoría de los casos por un personaje que hace sus deducciones sin ser un detective profesional.

continué con frankenstein, de la escritora inglesa mary shelley. también de la colección de clásicos de anaya, pero esta vez en el formato moderno de tapa blanda.

el doctor victor frankenstein da vida a una criatura, por afán de experimentación científica. la marginación a la que se ve sometido por su desagradable y deforme aspecto le lleva a odiar a su creador y al mundo entero, y a cometer terribles crímenes en venganza.

uno se queda con la duda de si la criatura tenía buenos sentimientos pero el rechazo que recibía le hizo volverse malvado, o si era malvado por naturaleza.

después vino cumbres borrascosas de emily brontë, de obligada lectura. desgraciadamente fue la única novela que le dio tiempo a escribir en su breve vida. emily era hermana de charlotte y anne brontë, también escritoras.

esta novela tiene muchas posibles lecturas. se puede ver como una historia de amor imposible entre los dos protagonistas. heathcliff sin duda es el malo, pero un ‘malo’ inteligente y con carisma. y por otro lado debía de tener un buen fondo, por el amor mutuo que se profesaban él y catherine desde pequeños.

catherine prefería a heathcliff, con todos sus defectos, antes que al ‘don perfecto’ señor linton con el que se había casado. eso demuestra que el amor no entiende de clases sociales.

y por último he leído nada de carmen laforet. se escribió en la posguerra española, por lo que es algo más moderno que los anteriores.

una chica introvertida de nombre andrea se traslada a barcelona para cursar estudios universitarios. vive en un piso con varios familiares suyos que tienen permanentes conflictos entre ellos. por otro lado, en la universidad tiene una amiga más abierta y decidida que ella -al menos aparentemente-.

es una de las novelas que más me han gustado en mucho tiempo. la protagonista narra en primera persona los acontecimientos que suceden a su alrededor y cómo la hacen sentir, con un lenguaje conciso pero muy claro.

en definitiva, este verano he pasado muy buenos ratos con la lectura...

centro de gravedad

el otro día me quedé mirando distraídamente un cuadro que había en la pared. empecé a pensar en una línea imaginaria que se deslizara con sus extremos fijados a dos de los lados perpendiculares del rectángulo del cuadro.

una aplicación real de este movimiento es una escalera con sus extremos apoyados en la pared y en el suelo. este tipo de escaleras salían mucho en las historietas de pepe gotera y otilio, y armaban auténticos estropicios con ellas.

si estudiamos el problema como se hace en física, podemos llamar l a la longitud de la varilla -o escalera, o lo que sea-, y x a la distancia horizontal que se separa de la pared. se forma un triángulo rectángulo en el cual el otro cateto -la proyección de la varilla sobre la pared-, tendrá como longitud √(l²–x²), aplicando el teorema de pitágoras.

vamos a fijarnos en el centro de gravedad de la varilla, situado en el punto medio de la misma. sus coordenadas horizontal y vertical serán justamente la mitad de los catetos horizontal y vertical del triángulo: x/2 y √(l²–x²)/2.

nos damos cuenta de que la trayectoria que sigue el centro corresponde a la ecuación de una circunferencia de radio l/2 con centro en el origen de coordenadas.

si dibujamos el movimiento completo de una varilla que pase de estar apoyada sobre la pared en toda su longitud a estar totalmente caída sobre el suelo, podemos comprobar que su centro de gravedad describe un cuarto de circunferencia.

sin embargo, cuando pepe gotera y otilio utilizan la escalera, seguro que no describe unos movimientos tan exactos y predecibles.

cero

recuerdo que cuando cumplí 10 años, dije que por primera vez tenía una edad de dos cifras. mis padres se rieron mucho. pero es verdad, hasta los 9 años mi edad era de un solo dígito. pasar a dos fue todo un hito.

si nos preguntaran cuántas cifras tiene el número 0, estaríamos tentados de decir que tiene una. pero en realidad no tiene ninguna, ya que a la hora de determinar cuántas cifras tiene un número, hay que fijarse en el dígito de mayor magnitud distinto de 0. los ceros a la izquierda no cuentan.

el número 0 es la nada absoluta, es un ‘cero a la izquierda’ en estado puro. pero es necesario escribirlo, porque a la derecha tampoco tiene nada. se podría representar con un guión (–) o con un símbolo de conjunto vacío (Ø), aunque el concepto sería el mismo.

a medida que aumenta el número de dígitos, la cantidad de números aumenta exponencialmente. veámoslo...

1 dígito: del 1 al 9 son 9.

2 dígitos: del 10 al 99 son 90.

3 dígitos: del 100 al 999 son 900.

4 dígitos: del 1000 al 9999 son 9000.

...

podemos concluir, con carácter general, que la cantidad de números de n dígitos es igual a 9·10^n-1, para n≥1.

vengo de comprar unos pasteles. hoy tenemos invitados en casa. en esta bandeja hay nueve pasteles, aunque podemos estar seguros de que al final del día quedarán... lo adivináis? exactamente, cero. ;)

cuestas

cerca de donde vivo en santander hay un túnel, por el que pueden pasar tanto vehículos como peatones. por encima de él hay todo un barrio que se construyó sobre un montículo.

en las paredes interiores del túnel hay unas simpáticas pinturas hechas por niños de diferentes colegios, que merecerían una entrada aparte.

si no queremos pasar por el túnel porque hay demasiado ruido y polución concentrados, podemos dar un rodeo por las calles que hay alrededor. o bien subir las escaleras que hay a los lados de la entrada y atravesar las calles en cuesta que hay por encima.

y eso es lo que vamos a hacer. subamos, a ver qué pasa.

aquí hay un parque relativamente nuevo al que también podría dedicarle una entrada algún día...

rampa de sotileza, pone en la placa. me pregunto por qué la llamarán rampa. ;) vamos por aquí.

desde aquí arriba se ve la estación de trenes de feve, entre otras cosas...

calle alta. también podríamos preguntarnos por qué la llaman así. :) y en este punto no es donde más alta está, pues viene bajando desde la cima del montículo.

vamos a girar a la izquierda y a subir la cuesta.

y ahora bajamos por aquí, que esto tiene pinta de llevar a algún sitio.

estamos todo el rato subiendo y bajando... ahora toca subir.

mirad qué pradera tan bonita. abajo del todo se ve una calle.

vamos a bajar por aquí, a ver qué encontramos.

por una de las rampas que atraviesan esta colina bajaba una niña en patinete. me he apartado para dejarla pasar y me ha dicho un “graciaaas!” muy efusivo con una amplia sonrisa. :D

esos pivotes nos resultan familiares. posiblemente ya hemos llegado a donde queríamos...

pero antes me doy la vuelta y hago otra foto a este bonito refugio.

ahora bajamos por las escaleras...

...y ya estamos en el otro lado del túnel!

este paseo es ideal para hacer ejercicio y quemar calorías. el trabajo mecánico realizado será igual a m·g·h, siendo m la masa en kg de cada uno, g la aceleración de la gravedad (9.8 m/s²), y h la altura en metros que hemos subido.

semejanza

el muro que hay al final de la playa de la magdalena tiene unas escaleras que quedan al descubierto cuando la marea está baja. nunca he subido por ellas porque me da un poco de vértigo, pero seguro que desde allí arriba hay una preciosa vista de la playa.

cuando las veo me fijo, eso sí, en el imaginario triángulo rectángulo que se forma. el tramo de muro que abarcan las escaleras es el cateto horizontal (a), la altura del muro es el cateto vertical (b), y la línea diagonal que siguen los escalones es la hipotenusa (c).

en cada uno de los escalones podemos imaginar un triángulo semejante al anterior. se dice que dos triángulos son semejantes cuando sus lados guardan las mismas proporciones.

la longitud del escalón es el cateto horizontal, y su valor será igual a toda la distancia horizontal abarcada por las escaleras dividida entre el número de escalones: a/n; la altura del escalón es el cateto vertical, y será igual a la altura del muro dividida nuevamente entre el número de escalones: b/n; y la diagonal que cierra el triángulo será la hipotenusa, de valor igual a la diagonal de la escalera completa dividida una vez más entre el número de escalones: c/n.

en ambos triángulos, el ‘grande’ y el ‘pequeño’, se cumple el teorema de pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

en nuestro caso, n=16 escalones. yo mido 1.75, con lo cual supongo que llego al noveno más o menos. y de ese modo se puede extrapolar que el muro mide 3 metros de alto aproximadamente. o eso o llevarme una regla en la bolsa de la playa, medir la altura del escalón y multiplicar por 16. :P

azar

estamos en los jardines de la magdalena, donde hay un parque infantil.

esto es una red para que los niños suban al tobogán. es bidimensional, ya que está contenida en un plano.

y ésta es otra red por la que los niños trepan. a diferencia de la anterior, es tridimensional: se extiende en las tres direcciones del espacio.

si nos movemos al azar sobre un cuadrícula plana (arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda), las matemáticas nos aseguran que volveremos a pasar por el punto de partida.

sin embargo, en el espacio de tres dimensiones las cosas no funcionan así. si nos desplazamos al azar por una red cúbica (arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda, adentro o afuera), tenemos más posibilidades de perdernos que de volver al punto inicial.

existen seis movimientos posibles: tres direcciones, y en cada una de ellas dos sentidos. es como si un dado -de seis caras, como sabemos- nos indicara cuál es el siguiente movimiento que debemos hacer.

parece intuitivo que al lanzar el dado un número muy elevado de veces, los seis posibles resultados se obtengan en similares proporciones. cada uno de ellos en un porcentaje próximo al 16.67%.

esto, aplicado al desplazamiento al azar en el espacio tridimensional, querría decir que hemos avanzado y retrocedido en cada una de las tres direcciones aproximadamente el mismo número de veces. con lo cual, en el límite, volveríamos al punto de partida.

parece lógico, verdad? sin embargo no es así. cuando consiga enterarme de la demostración os la contaré, pero quedaos con la idea de que resulta fácil perderse por el espacio.

y es que ya lo dice esther...