parejas

 

una relación biyectiva entre los elementos de dos conjuntos A y B, significa que cada elemento del conjunto A tiene asociado un elemento del conjunto B, de manera recíproca. funciona en ambos sentidos.

por ejemplo, pensemos en los colores primarios (azul, amarillo y rojo) y en sus combinaciones binarias (verde, naranja, morado). cada color primario tiene un complementario, que estará compuesto por los dos colores que faltan para formar la tríada primaria.

• azul 💙 ↔ naranja 🧡
• amarillo 💛 ↔ morado 💜
• rojo ❤️ ↔ verde 💚

como vemos, existe una relación biyectiva entre el conjunto de los colores primarios y el conjunto de sus combinaciones binarias.

aparentemente, para que puedan darse estas relaciones de uno a uno, ambos conjuntos deben tener el mismo número de elementos. sin embargo, esto falla cuando se trata de conjuntos con infinitos elementos.

por ejemplo: podríamos pensar que los números que tienen raíz cuadrada exacta -es decir, que vienen de elevar un entero al cuadrado- son un subconjunto relativamente pequeño dentro de los números enteros. hay muchos más enteros sin raíz exacta que enteros con raíz exacta.

y sin embargo, podemos establecer una relación biyectiva entre cada entero y su cuadrado:

• 0 ↔ 0² = 0
• 1 ↔ 1² = 1
• 2 ↔ 2² = 4
• 3 ↔ 3² = 9
• 4 ↔ 4² = 16
• 5 ↔ 5² = 25
• 6 ↔ 6² = 36
• 7 ↔ 7² = 49
• ...

y así vamos enumerando los elementos de ambos conjuntos sin dejar ninguno fuera. uno de esos números es mi edad, por cierto. 😉

los infinitos siempre desafían a la intuición y al sentido común. el matemático ruso georg cantor propuso en el siglo xix dos categorías de infinitos, a las que llamó:

álef 0. aquí se encuentran todos los números incluidos en conjuntos numerables: los enteros y, en general, los racionales -que se pueden expresar como un cociente entre dos enteros-.

álef 1. aquí tienen cabida todos los números irracionales, de los que no se puede hacer una lista exhaustiva: raíz de 2 (√2), el número áureo (φ), el número pi (π), el número de euler (e)...

últimamente le he cogido el gusto a escribir el borrador de mis entradas en el móvil y al aire libre, mientras estoy tomando un café o simplemente sentado en un banco.

hoy que es fiesta, he ido al retiro. estoy leyendo ‘la función delta’ de rosa montero, de sugerente título matemático, y sorprendentemente actual para estar escrita en 1981. hace poco acabé la reciente ‘un día en la vida de clarita’, de la misma autora. 45 años separan ambas novelas. posiblemente les dedicaré una entrada.