viernes, 19 de junio de 2015

sectores

en geometría de 1º de eso los niños aprenden a calcular el área de algunas figuras geométricas que no conocían, una de las cuales es el sector circular. su área es la del círculo multiplicada por el cociente entre el ángulo del sector y el ángulo completo del círculo: πR2·(φ/360), o bien πR2·(φ/2π) si expresamos los ángulos en radianes.

se me ocurrió extrapolar esta idea a las tres dimensiones. cuál es el equivalente del sector circular en una esfera? igual que desgajamos una cuña de un objeto que se pueda asemejar a un círculo plano, por ejemplo una tarta, podemos hacer lo mismo con un objeto de forma aproximadamente esférica, como pueda ser una sandía... o una manzana gigante. :P


pero vayamos por partes. para calcular el volumen de una porción de esfera, necesitamos saber utilizar las coordenadas esféricas. en ellas, cada punto está definido por tres variables:

  • r: distancia del origen de coordenadas al punto en cuestión
  • θ: ángulo que forma la línea de longitud r con el eje vertical
  • φ: ángulo que forma la proyección horizontal de r con un eje fijado

para calcular el volumen de una porción de esfera, tendremos que integrar una especie de “ortoedro” infinitesimal de “aristas” dr, r·dθ y r·senθ·dφ. la cuestión será sobre qué rango de valores de las variables tendremos que integrar.


en el caso de una ‘cuña esférica’, el radio r lo integraremos en todo su dominio, desde 0 hasta R mayúscula -radio de la esfera completa-; el ángulo θ también en su totalidad, desde 0 hasta π; en cambio el ángulo φ lo dejaremos como variable libre, pues es el que define la amplitud de nuestra cuña.


integrando sobre esos valores de las variables, obtenemos que el volumen de la cuña esférica es igual al volumen de la esfera completa multiplicado por el cociente entre el ángulo de la cuña y el ángulo completo: 4/3πR3·(φ/2π), resultado análogo al del sector circular.


sin embargo, el concepto de sector circular se puede extrapolar a la esfera de otra manera diferente. si en dos dimensiones se trata de un segmento circular unido a un triángulo, en tres dimensiones tendría sentido que fuera un casquete esférico unido a un cono. algo parecido a un helado de cucurucho. ^_^


en este caso, las variables las acotaremos de manera diferente a la hora de integrar. el radio r lo seguiremos integrando entre 0 y R mayúscula; sin embargo el ángulo θ será esta vez nuestra variable libre al ser el semiángulo del cono; y φ ahora lo integraremos a lo largo de la vuelta completa, entre 0 y .


operamos, y vemos que el volumen del sector esférico es igual al de la esfera multiplicado por un factor de proporcionalidad que, a diferencia del caso de la cuña esférica, no varía linealmente con el ángulo. la expresión del volumen que buscamos es 4/3πR3·sen2(θ/2).


las frutas se pueden comer fácilmente cortándolas en gajos. más complicado es cortarlas en sectores “cónicos” como los que hemos visto. es más, os aconsejo que no lo intentéis, pues sólo conseguiríais hacer un estropicio. :O

12 comentarios:

  1. Integrales, hacía tiempo que no las veía... Me encantaban... !què recuerdos! Sí mi hijo ha empezado a calcular áreas y volúmenes pero con las fórmulas típicas. Casi estoy deseando que llegue a esto
    Feliz fin de semana

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  2. Hola. con el calor que hace hoy me quedo con el concepto de sector circular en tres dimensiones ... un helado siempre viene bien para inaugurar hoy oficialmente el verano. Recuerdo vagamente mi época en la que aprendí los sectores. Seguimos en contacto

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  3. Elanor: que bien "suenan" las mates explicadas por ti, pero yo me pierdo...jejejeje...espero que a la peque le resulte mucho más facil que a mi... ¡el proximo curso empezará la ESO!
    Besosssssss.

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  4. lucía, a mí me sorprende que todavía me acuerde, porque no las uso desde la carrera. se me quedaron muy grabadas, por lo que se ve. me hace ilusión cuando tengo que explicar el tema de áreas y volúmenes de figuras, es muy ameno.

    marta, recuerdo que un profesor muy bueno de matemáticas nos puso un problema de calcular el volumen de un cono con una semiesfera adosada, y dijo "esto es el típico helado". era muy campechano y hacía las mates muy fáciles.

    elanor, seguro que le irá muy bien. 6º de primaria ha hecho, qué mayor ya! en 1º de eso ya se empiezan a dar cosas con un poco de 'miga'. si alguna vez se atasca con algún problema difícil que le pongan, escríbeme!

    besos

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  5. Mira que no me gustaban las matemáticas, pero creo que si volviera a ser alumna, me encantaría tener un maestro como tú, porque haces de las clases una manera distinta de enseñanza, y hasta me gustan y todo jajajaaj, pero nada, no recuerdo ya todo esto, lo tengo más que olvidado.

    Un beso.

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  6. Seguro que tus alumnos están encantados con los ejemplos que les pones... les acercas las matemáticas a la realidad... ýa me hubiera gustado tener un profe así.

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  7. maría, esto en realidad ya es de primer curso de carreras de ciencias, es nivel universitario. en el colegio no llegábamos a dar integrales dobles ni triples, menos mal!! si tú fueras alumna te pondría problemas protagonizados por ti: "maría va a la pastelería y se compra un croissant y una palmera, calcular cuánto dinero le queda sabiendo que ....." ;)

    marta, siempre intento explicar las cosas de manera sencilla, como me gustaría que me las explicaran a mí. porque cuando tengo que aprender algo y me hablan en jerga ininteligible (como cuando llegaba nuevo a un trabajo), me pongo de una mala leche... ^_^

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  8. Pues sabes qué corté yo el otro día en conos sin quererlo así?? Iba a hacer calabacines rellenos. Cortas el calabacín en segmentos de unos 15 cm y los vacías a medias con un cuchillo o un descorazonador de manzanas. Te salen unos conitos requetebien (que no sirven para nada porque luego los tienes que cortar en dados pequeños para hacer el relleno junto a queso y pimiento verde y bechamel.
    Total, que lo que más me ha gustado de este post tuyo matemático han sido los dibujitos, Chema!!!! Y las referencias al helado. En breves momentos salimos a tomarnos uno!!! Besos

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  9. Esto creo que nunca llegué a estudiarlo. Las viñetas escogidas, muy bonitas, como siempre :-D

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  10. rosana, yo al escribir esta entrada pensaba que para desgajar un fragmento cónico de una fruta u hortaliza hacía falta un cuchillo muy especial, y al parecer ese cuchillo existe! jejeje. calabacines rellenos, qué ricos, seguro que te quedaron genial! y me has hecho recordar los helados de regma de santander... este verano tenemos que quedar! y a silvia seguro que le encantan. :)

    geno, yo lo estudié en primero de carrera, y curiosamente lo dimos en física, no en ninguna de las dos asignaturas de matemáticas que había (álgebra y cálculo). y claro, a mí que me gustaba la física de cou, con sus problemitas de tiro parabólico y de planos inclinados, al ver un montón de integrales y de letras griegas pensé "pero qué clase de física es esta??".

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  11. Me encanta como aplicas todos los conceptos matemáticos a los objetos cotidianos o que nos rodean, así seguro que tus alumnos lo entienden más fácilmente y lo retienen mejor. No intentaré lo de los sectores cónicos en la fruta, pero el heladito casi que sí, y si es de chocolate mejor jajaj..
    Un beso guapetón!

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  12. mercedes, en verano es muy agradable tomarse un helado en buena compañía. a mí me gustan de vainilla, avellana, turrón, dulce de leche... ese tipo de sabores. y de chocolate, por supuesto. aunque el verano pasado probé el de coco y me encantó, jeje.
    besitos!!

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