sectores

en geometría de 1º de eso los niños aprenden a calcular el área de algunas figuras geométricas que no conocían, una de las cuales es el sector circular. su área es la del círculo multiplicada por el cociente entre el ángulo del sector y el ángulo completo del círculo: πR²·(φ/360), o bien πR²·(φ/2π) si expresamos los ángulos en radianes.

se me ocurrió extrapolar esta idea a las tres dimensiones. cuál es el equivalente del sector circular en una esfera? igual que desgajamos una cuña de un objeto que se pueda asemejar a un círculo plano, por ejemplo una tarta, podemos hacer lo mismo con un objeto de forma aproximadamente esférica, como pueda ser una sandía... o una manzana gigante. :P

pero vayamos por partes. para calcular el volumen de una porción de esfera, necesitamos saber utilizar las coordenadas esféricas. en ellas, cada punto está definido por tres variables:

• r: distancia del origen de coordenadas al punto en cuestión
• θ: ángulo que forma la línea de longitud r con el eje vertical
• φ: ángulo que forma la proyección horizontal de r con un eje fijado

para calcular el volumen de una porción de esfera, tendremos que integrar una especie de “ortoedro” infinitesimal de “aristas” dr, r·dθ y r·senθ·dφ. la cuestión será sobre qué rango de valores de las variables tendremos que integrar.

en el caso de una ‘cuña esférica’, el radio r lo integraremos en todo su dominio, desde 0 hasta R mayúscula -radio de la esfera completa-; el ángulo θ también en su totalidad, desde 0 hasta π; en cambio el ángulo φ lo dejaremos como variable libre, pues es el que define la amplitud de nuestra cuña.

integrando sobre esos valores de las variables, obtenemos que el volumen de la cuña esférica es igual al volumen de la esfera completa multiplicado por el cociente entre el ángulo de la cuña y el ángulo completo: 4/3πR³·(φ/2π), resultado análogo al del sector circular.

sin embargo, el concepto de sector circular se puede extrapolar a la esfera de otra manera diferente. si en dos dimensiones se trata de un segmento circular unido a un triángulo, en tres dimensiones tendría sentido que fuera un casquete esférico unido a un cono. algo parecido a un helado de cucurucho. ^_^

en este caso, las variables las acotaremos de manera diferente a la hora de integrar. el radio r lo seguiremos integrando entre 0 y R mayúscula; sin embargo el ángulo θ será esta vez nuestra variable libre al ser el semiángulo del cono; y φ ahora lo integraremos a lo largo de la vuelta completa, entre 0 y 2π.

operamos, y vemos que el volumen del sector esférico es igual al de la esfera multiplicado por un factor de proporcionalidad que, a diferencia del caso de la cuña esférica, no varía linealmente con el ángulo. la expresión del volumen que buscamos es 4/3πR³·sen²(θ/2).

las frutas se pueden comer fácilmente cortándolas en gajos. más complicado es cortarlas en sectores “cónicos” como los que hemos visto. es más, os aconsejo que no lo intentéis, pues sólo conseguiríais hacer un estropicio. :O