martes, 6 de noviembre de 2012

matrices

el otro día soñé que le explicaba a alguien la relación que hay entre los tipos de sistemas de ecuaciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y las matrices formadas por los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. eso lo dábamos en matemáticas de cou.

empezaremos con un ejemplo sencillo de sistema -dos ecuaciones con dos incógnitas- y en el caso más normal -compatible determinado-. lo resolvemos combinando las ecuaciones de tal manera que eliminamos una incógnita y despejamos la que queda. una vez determinada una incógnita, despejamos de cualquiera de las ecuaciones iniciales el valor de la otra.

la matriz de coeficientes de las incógnitas será de 2 filas y 2 columnas, y si le añadimos los términos independientes pasará a tener 3 columnas.

en un sistema compatible determinado, la matriz de coeficientes tendrá rango 2. eso quiere decir que las dos filas son independientes. no se puede obtener una de ellas multiplicando la otra por una constante. si la matriz de coeficientes es de rango 2, ya no tendremos que preocuparnos del rango que tenga la matriz ampliada que incluye los términos independientes: su rango será 2 seguro.


veamos ahora otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero en este caso será compatible indeterminado. lo resolvemos de la misma manera que el anterior, y comprobamos que no podemos despejar las incógnitas. se anulan entre sí todos los términos y obtenemos la igualdad 0 = 0, una obviedad que no nos aporta nada. mi profesor de matemáticas de 8º de egb, que era muy guasón, decía “muy listo el sistema!”.

lo que ocurre en este caso es que una de las ecuaciones es la otra multiplicada por una cantidad. es decir, que en el fondo tenemos una misma ecuación duplicada y dos incógnitas. por tanto, el sistema queda indeterminado porque hay más incógnitas que ecuaciones. tendrá infinitas soluciones.

en nuestro ejemplo, la primera ecuación nos dice que ‘algo’ es igual a 2. y la segunda nos dice que el doble de ese ‘algo’ es igual a 4. eso es obvio y no nos aporta nada nuevo.

la matriz de coeficientes es de rango 1, ya que sólo hay una fila independiente: la otra fila no es otra cosa que la primera multiplicada por cierta cantidad. la matriz ampliada también será de rango 1. como hemos dicho, una de las ecuaciones es la otra multiplicada por una constante, afectando a ambos miembros de la ecuación -las incógnitas y los términos independientes-.


ahora vamos a analizar el caso de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas incompatible. al resolverlo, llegaremos a una contradicción, un absurdo: 0 = algo distinto de 0.

en un sistema de este tipo lo que ha ocurrido es que los coeficientes de las incógnitas de una ecuación son los de la otra multiplicados por una cantidad. sin embargo, el término independiente de la segunda no es el de la primera multiplicado por esa misma cantidad. no hemos sido coherentes.

en el ejemplo, he mantenido los coeficientes de las variables respecto al anterior, y sólo he cambiado uno de los términos independientes para que se aprecie mejor la diferencia. la primera ecuación nos dice que ‘algo’ es igual a 2. y la segunda nos dice que el doble de ese ‘algo’ es 3. no debería ser 4? es una contradicción. se trata de un sistema mal planteado, sin soluciones.

la matriz de coeficientes tiene rango 1, porque la segunda fila es la primera multiplicada por una cantidad. pero la matriz ampliada tendrá rango 2, porque los términos independientes no siguen esa proporción. ya no se cumple que la segunda fila de la matriz ampliada sea la primera multiplicada por una constante.


ahora pasamos a los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, un poco más complicados. y dentro de éstos, empezaremos por el caso más corriente, el de un sistema compatible determinado. para resolverlo, primero eliminaremos una incógnita combinando las ecuaciones dos a dos de la manera que más fácil nos resulte. de esa manera obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que lo resolveremos igual que lo hemos venido haciendo: eliminamos una incógnita, despejamos la otra y volvemos para despejar la que habíamos eliminado. y ya conociendo el valor de dos de las incógnitas, despejamos el valor de la restante.

la matriz de coeficientes tendrá rango 3 por tratarse de un sistema compatible determinado. las ecuaciones son independientes entre sí, no se puede obtener una de ellas por combinación de las otras. la matriz ampliada siempre es de rango mayor o igual que la que tiene sólo los coeficientes, y por tanto será de rango 3.


pasamos al caso de sistema compatible indeterminado. al resolverlo, todos los términos se anularán y llegaremos a la igualdad 0 = 0.

en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas esto ocurre cuando una ecuación se puede obtener por combinación de las otras dos. es decir, que la tercera ecuación -el orden en que las pongamos es arbitrario- es igual a la primera multiplicada por una constante más la segunda multiplicada por otra constante, pudiendo tomar dichas constantes cualquier valor real (positivo o negativo).

en nuestro ejemplo, la tercera ecuación es la suma de la primera y la segunda. si la primera ecuación nos dice que ‘una cosa’ es igual a 1, y la segunda ecuación nos dice que ‘otra cosa’ es igual a 2, es obvio que la suma de esas dos ‘cosas’ es igual a 3. la tercera ecuación, pues, no nos aporta nada.

la matriz de coeficientes será de rango 2, y también lo será la ampliada. las filas de la matriz representan los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. y como sólo hay dos ecuaciones independientes, siendo la tercera una combinación de las otras dos, quiere decir que sólo hay dos filas independientes de la matriz, y por tanto el rango será 2.


veamos, por último, el caso de sistema incompatible. al resolverlo llegaremos a una contradicción del tipo 0 = algo distinto de 0.

lo que ha ocurrido en un sistema de este tipo es que los coeficientes de la tercera ecuación se obtienen por combinación de los coeficientes de las otras dos, pero no sucede lo mismo con el término independiente. éste “va por otro lado”, no se ha obtenido mediante la misma suma o resta de las dos primeras ecuaciones.

nuevamente sólo hemos cambiado el término independiente de la tercera ecuación, para que se vea con más claridad la diferencia respecto al sistema compatible indeterminado. la primera ecuación nos dice que ‘una cosa’ es igual a 1. la segunda nos dice que ‘otra cosa’ es igual a 2. la suma de las dos ‘cosas’ debería dar 3, y sin embargo da 4. es una incoherencia, una contradicción. el sistema no tendrá soluciones.

el rango de la matriz de coeficientes será 2, ya que una de las filas es una combinación de las otras dos, y por tanto sólo hay dos filas independientes. sin embargo, el rango de la matriz ampliada será 3. ya no podemos decir que una fila sea combinación de las otras dos, por “culpa” de los términos independientes, que no siguen la misma pauta que los coeficientes de las incógnitas.


como vemos, un sistema de ecuaciones pueden tener una sola solución -compatible determinado-, infinitas soluciones -compatible indeterminado-, o ninguna solución -incompatible-.

el caso de que el sistema sea compatible determinado, y por tanto la matriz de los coeficientes de las ecuaciones tenga como rango el número de ecuaciones e incógnitas, es el más normal. y es que, si nos damos cuenta, para que el rango sea menor hay que “hacerlo aposta”, como decía otro profesor mío de matemáticas, el de cou. tiene que ocurrir que una de las filas se pueda obtener como combinación de las otras.

--------------------------------------------------------------------------------------------

voy a aprovechar esta entrada para otro asunto que nada tiene que ver con ecuaciones. quienes hayáis tenido la paciencia de leer hasta aquí os encontraréis con una sorpresa.

he robado otra nancy del cuarto trastero de la casa de mi abuela. soy reincidente. ya lo hice una vez, pero fue para bien porque la nancy que me llevé en aquella ocasión pasó a las cuidadosas manos de rosana y ahora parece otra. :)

aquí tenéis a la que he robado esta vez. tenía el pelo lleno de cal, pero se la he quitado con sólo sacudírselo un poco con la mano. eso no quiere decir que no necesite un buen lavado. y vestirla mejor... o, simplemente, vestirla.

23 comentarios:

  1. Qué bonitas las matrices, y qué bien explicado todo y qué bien elegidos los colores de los números, las letras y las rayitas.
    Bsssss
    Cloti

    ResponderEliminar
  2. Cuando quieras le hago un vestido a esa preciosidad.
    Bsssssss
    Cloti

    ResponderEliminar
  3. Dámela a mí, por favooooooooooooooooooooor!!!!!
    Bsss
    Cloti

    ResponderEliminar
  4. Mareadita he quedado con las ecuaciones y es que las matemáticas nunca fueron mi fuerte y ¡oh, vergüenza! ¡He olvidado todo lo aprendido de esa asignatura en esos años! No me irá mal volver a leer tu post.
    ¡Wow! ¡Qué melenón se gasta la Nancy olvidada:)

    ResponderEliminar
  5. Chema, con los algoritmos lo he intentado pero no he podido pasar del primer párrafo, son imposibles o la imposible soy yo.
    LO que si me ha encantado es el cambio que Rosana ha llevado a cabo con tu primera Nancy rescatada, está muy bonita y su pelo ya no parece un estropajo. Rosana es única con las Nancys y no pudo ir a caer en mejores manos.
    También me llama la atención que hayas encontrado otra, no creo que tu abuela jugase con ellas, quizás fuesen de tus tías pero ¿había Nancys entonces?
    A ver a quien se la cedes para el cambio esta vez jajajjaja.
    Un beso.

    ResponderEliminar
  6. cloti, al final se me agotaban los colores, ya no sabía cuáles usar, jeje. la nancy, mi madre no quería que me la llevara porque dice que la pueden echar en falta. con la otra me pasó igual, me la llevé a escondidas. pero es que nadie se acuerda de ellas, no hacen más que coger polvo! tú haces muy bonitos vestidos, sin duda. :)

    gen, a mí es que esta parte se me quedó muy grabada. estaba relacionada con el tema de las intersecciones de planos en el espacio, que se daba en cou también, hacia el final. en lo de la melena de la nancy coincido contigo. de hecho a esa imagen, como el nombre 'nancy' ya lo había utilizado para otras fotos que tengo, la he llamado nancy_melena.

    wendy, es un post denso, al final ya estaba deseando acabarlo, jeje. esas nancys seguramente eran de mis primas, que ahora todas superan los 40 años. de mi tía (la madre de esas primas) lo dudo mucho, cuando empezaron a salir las nancys ya era mayor. la de rosana era la que mejor estaba de las que había, pero he visto que hay otras dos o tres que no están tan mal como me parecía...

    veremos a quién se la doy esta vez, tened en cuenta que siempre supondrá que me odie el resto! :D

    ResponderEliminar
  7. Tu casa es una fuente inagotable de Nancys???? Me dejas así :o Sigue buscando porfaaaaa.Es una Nancy pelirroja simplemente perfecta.

    En cuanto al tema principal no tengo nada que decir. :(

    ¿Sigues dando clase a tu alumna?¿Cómo le va?

    ResponderEliminar
  8. Y muy bajito digo que yo también la quiero, pero que no me enfadaré no te odiaré :)

    ResponderEliminar
  9. Como en otra ocasión te comenté, en matematicas hasta donde llegué sacaba nota, "lo suficiente para ir bien" de esto recuerdo más bien poco, por no decir nada, pero cuando mi peque llegue a este punto y me pida ayuda ¡recurriré a esta entrada! por que conmigo lo lleva claro jejeje...
    ¡Que pelirroja más guapa! ¿te he comentado que son mis preferidas?
    Cuando dices que la has robado, ya se que es una forma de hablar por que te la has llevado sin permiso, pero yo diría y sin temor a equivocarme que es un "rescate", pobres mias encerradas en ese oscuro y olvidado lugar...buaaaaaaaaaaa, no las dejes te estás convirtiendo en su superheroe.
    Besosssssss.

    ResponderEliminar
  10. Pero qué pelota es la CLoti, alabando tus colores, tus rayitas, ... XDDDD Es evidente que te está pidiendo a gritos.. que le envíes por correo un bonito tutorial de matrices.

    Y me parto imaginándote escondiendo la muñeca en la maleta para que nadie se diera cuenta. Bueno, tu madre sí te pilló. Mira, entiendo a tu madre, pero si llevan años ahí dando tumbos es porque nadie las quiere (y por aquí a todas no ha despertado la vena "maternal" para adoptarla, ja, ja). Mis primas tenían kilos de muñecas en el pueblo, despelotadas, sucias, amontonadas.... Barbies, barriguitas, Nancys,... y ahora me arrepiento de no haberme dejado llevar por la vena delincuente, porque seguro que acabaron en la basura cuando se vendió la casa. Si las tienen ahí abandonaítas, se merecen el pillaje, ja, ja.

    ResponderEliminar
  11. Leyendo tus posts me doy cuenta de que elegí la opción adecuada con las letras porque si con lo bien que tú lo explicas no me entero no quiero ni pensar que sería de mi con algún que otro "profesor" que hay por esos mundos...
    La Nancy es preciosa ¡me encanta! Si la quieres dar deberías hacer una sorteo o algo asi, de esta manera nadie te "odiaria" por darsela a otra persona jejejeje
    Ah, y muy bonita ha dejado Rosana la otra XD

    ResponderEliminar
  12. inma, llamé a la madre en verano para preguntarle qué tal iba la niña, y me dijo que me llamarían para empezar desde el principio con ella. estuvo muy cariñosa y todo. mientras me llama o no, pondré nuevos anuncios. que me llamen ya depende de muchas cosas, porque para ellos es un gasto, y quizá estén esperando a que haya evaluaciones y estar seguros de que lo necesita... en cuanto a las nancys, ya se ve que a mis primas les gustaba, como a todas las niñas de la época! hay por lo menos otra más, con un vestido que le está grande, que también es bonita aunque no tiene tanto pelo como ésta.

    elanor, te gustan las pelirrojas? bueno, tienes una en tu avatar, y en las historias de vuestro blog abundan. :) es un cuarto trastero en el que huele a humedad y están todos los juguetes apilados de cualquier manera. sí, bien mirado, llevarse de allí a las nancys supone proporcionarles una vida mejor, jejeje. sobre los sistemas de ecuaciones, yo lo empecé a dar en 8º de egb, lo que ahora es 2º eso. cuando tu hijo esté en ese curso, este post le puede servir, obviando lo de las matrices, que se da mucho más adelante. ;)

    anele, mi madre me pilló, la tuve que devolver a su sitio. y luego volví a entrar sibilinamente, como los ladrones de los tebeos, sólo me faltaba la gorra y el antifaz. :D a mis primas no les ha dado por la nostalgia muñequera, porque entonces esas muñecas no estarían abandonadas. ya veremos lo que hago con ésta. y sí, no voy a negar que me llamado la atención el repentino interés de cloti por las matrices aplicadas a los sistemas de ecuaciones, hmmmm... ;)

    ResponderEliminar
  13. geno, explicando hago lo que buenamente puedo, jeje, pero es verdad que hay profesores muy malos con los que es imposible que alguien a quien no le gusten previamente las mates empiecen a gustarle. :D lo del sorteo de la nancy es buena idea, lo tendré en cuenta! ;)

    ResponderEliminar
  14. Me encantan las matrices Chema, un gusto verlas otra vez. Y lo de la Nancy, !haz un sorteo! que yo me apunto XDDDDD

    ResponderEliminar
  15. Hay que ver los sueños que tienes. Bueno, ya conoces mi opinión sobre las matemáticas así que supondras que no entiendo gran cosa sobre lo que escribes al principio. Qué alegría al ver la Nancy, jajajaja, me gustan más las Nancys que las mates ;)

    ResponderEliminar
  16. lucía, las matrices se utilizaban mucho en el tema de espacios vectoriales, de álgebra de primero. esa parte me encantaba. y también se aplicaban en mecánica. todavía recuerdo los tensores de inercia, qué complicado era eso. :S si al final hago un sorteo ya os enteraréis, jeje. la nancy presentación de la última de tu blog es pelirroja también!

    merchi, no es la primera vez que una entrada de este blog está inspirado en un sueño que he tenido, jeje. a la nancy le podía haber dedicado una entrada a ella solita, pero me ha parecido divertido esconderla entre los números, es un contraste interesante. :D

    ResponderEliminar
  17. Tus matrices me han recordado mis tiempos de Instituto,recuerdo al profesor de Matemáticas y lo bien que lo pasábamos en sus clases,a cambio no nos enterábamos de nada...¡Tú las explicas mucho mejor!
    Las Nancys en manos de Rosana cobran vida así que la tuya estará muy feliz de haber caido en sus manos
    A veces la persona adecuada tarda en llegar pero seguro que está por ahí solo es cuestión de tiempo
    Un Abrazo

    ResponderEliminar
  18. Bueno, tengo muchas cosas que decir al respecto de este post:
    1ª De verdad has soñado que explicabas matrices???? Eso sí es obsesión!
    2ª Hace tres días mi marido me habló de matrices precisamente, el día que tú escribiste este post, será el destino matricial???
    3º Sólo he entendido lo de tu sueño y lo del profe guasón que llamó listo al sistema. Y no he entendido eso de 0= a otro número, eso no puede ser!!
    4º Me parece muy sorprendente tu fin de post!
    5º Ya te lo dije una vez: a veces hay que robar, robar es bueno (en algunas circustancias), ja, ja,ja.
    Yo desde luego noto a tu nancy y mi Cherry mucho más feliz y guapa.
    6º Precisamente hoy le he estado haciendo fotos a ella y sus amigas con un vestido nuevo que le he hecho. Atención al próximo post. El pasado fin de semana tocó peluquería y tuvo lavado de pelo y rulitos para rizar las puntas. Está monísima.
    7º Gracias a todas las personas que han dicho que trato muy bien a mis muñecas y me han echado piropos.
    8º Me encanta que des de nuevo a esta muñe una vida mejor. Yo no soy egoísta. No entraré en el sorteo, porque encima la otra vez ni siquiera tuve que competir!!!!!!
    9º Qué detalle por tu parte acordarte de tus amigas nancyadictas cuando vas a Murcia!
    Besos!

    ResponderEliminar
  19. Joe con el sueño, con lo mala que soy para las mates no me a venido nada mal la explicacion. Confieso que algun robo he cometido tambien, eso es que cuando ves estas preciosas muñecas abandonadas y sucias, te da una cosilla... Alguna tengo de acogida, con suerte se quedaran... Vaya muñeca preciosa que has rescatado, que si la vas a sortear o buscarle un hogar mejor, k cuente conmigo!!! Me quedo en tu blog a hacerte compañia, y te invito al mio que acabo de empezar!! Besos!!

    ResponderEliminar
  20. princesa nadie, qué tiempos aquellos, cuando estábamos en el colegio o instituto! explicando lo hago lo mejor que puedo, jeje. siempre he preferido una asignatura difícil con un buen profesor que una asignatura supuestamente fácil con un mal profesor. una cosa ya puede ser la mayor tontería del mundo, que como no me la expliquen bien... gracias por los ánimos, siempre hay que mantener la ilusión. :)

    rosana, veo que la telepatía existe! por lo de que pepe te habló de matrices, y por lo del nuevo cambio de imagen de cherry. estaré atento a tu blog! todos los piropos los mereces, la dejaste guapísima, y estoy deseando ver cómo está ahora. sobre los sistemas, lo de 0 = un número distinto de 0, eso ocurre porque es un sistema imposible, mal planteado, y cuando se resuelve de la misma manera que se haría con un sistema bien planteado, se llega a una contradicción. a veces sueño con cosas que he estudiado, o con asignaturas que he tenido, con un grado de detalle y realismo que asusta... :O

    marta, bienvenida! estos posts sobre números son los que más visitas tienen, supongo que de estudiantes que los consultan, si sirven para eso me doy por más que contento, jeje. la nancy tenía el pelo hecho un gurruño y la parte de arriba del bikini o lo que sea caída. la arreglé un poco y no estaba tan mal. ya he echado un vistazo a tu blog, es muy bonito, lleno de juguetes. me pasaré despacio. :)

    ResponderEliminar
  21. Las ecuaciones, no se me dieron mal en su momento y aunque yo soy de letras,las mates las llevé bién, sobre todo cuando tuve en el "insti" a un profe llamado Cesar, y con eso de que la historia es lo mio, este hombre hizo que realmente me gustaran, me lo pasé estupendamente es sus clases y obtuve estupendas notas. Después de él el mundo de las mates volvió a ser gris.
    Abrazos.

    ResponderEliminar
  22. Que maravilla eso de encontrar nancys, eres el Indiana Jones de Famosa, si al final te decides a hacer una rifa yo también me apunto,no tengo articuladas. Esto de la nancys empieza a ser una adicción seria...
    Abrazos.

    ResponderEliminar
  23. arien, ya he notado por los relatos de tu blog que sabes mucho de historia. :) a mí ha empezado a gustarme ahora, de mayor. las mates yo creo que hay que explicarlas con palabras que todo el mundo entienda, evitando los tecnicismos. la nancy, es verdad, es articulada, me llamó la atención por eso. la cabeza se le mueve en las cuatro direcciones, jeje. si al final hago sorteo, veremos si se me ocurre alguna idea para hacerlo un poco diferente. :)
    un abrazo

    ResponderEliminar