matrices

el otro día soñé que le explicaba a alguien la relación que hay entre los tipos de sistemas de ecuaciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y las matrices formadas por los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. eso lo dábamos en matemáticas de cou.

empezaremos con un ejemplo sencillo de sistema -dos ecuaciones con dos incógnitas- y en el caso más normal -compatible determinado-. lo resolvemos combinando las ecuaciones de tal manera que eliminamos una incógnita y despejamos la que queda. una vez determinada una incógnita, despejamos de cualquiera de las ecuaciones iniciales el valor de la otra.

la matriz de coeficientes de las incógnitas será de 2 filas y 2 columnas, y si le añadimos los términos independientes pasará a tener 3 columnas.

en un sistema compatible determinado, la matriz de coeficientes tendrá rango 2. eso quiere decir que las dos filas son independientes. no se puede obtener una de ellas multiplicando la otra por una constante. si la matriz de coeficientes es de rango 2, ya no tendremos que preocuparnos del rango que tenga la matriz ampliada que incluye los términos independientes: su rango será 2 seguro.

veamos ahora otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero en este caso será compatible indeterminado. lo resolvemos de la misma manera que el anterior, y comprobamos que no podemos despejar las incógnitas. se anulan entre sí todos los términos y obtenemos la igualdad 0 = 0, una obviedad que no nos aporta nada. mi profesor de matemáticas de 8º de egb, que era muy guasón, decía “muy listo el sistema!”.

lo que ocurre en este caso es que una de las ecuaciones es la otra multiplicada por una cantidad. es decir, que en el fondo tenemos una misma ecuación duplicada y dos incógnitas. por tanto, el sistema queda indeterminado porque hay más incógnitas que ecuaciones. tendrá infinitas soluciones.

en nuestro ejemplo, la primera ecuación nos dice que ‘algo’ es igual a 2. y la segunda nos dice que el doble de ese ‘algo’ es igual a 4. eso es obvio y no nos aporta nada nuevo.

la matriz de coeficientes es de rango 1, ya que sólo hay una fila independiente: la otra fila no es otra cosa que la primera multiplicada por cierta cantidad. la matriz ampliada también será de rango 1. como hemos dicho, una de las ecuaciones es la otra multiplicada por una constante, afectando a ambos miembros de la ecuación -las incógnitas y los términos independientes-.

ahora vamos a analizar el caso de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas incompatible. al resolverlo, llegaremos a una contradicción, un absurdo: 0 = algo distinto de 0.

en un sistema de este tipo lo que ha ocurrido es que los coeficientes de las incógnitas de una ecuación son los de la otra multiplicados por una cantidad. sin embargo, el término independiente de la segunda no es el de la primera multiplicado por esa misma cantidad. no hemos sido coherentes.

en el ejemplo, he mantenido los coeficientes de las variables respecto al anterior, y sólo he cambiado uno de los términos independientes para que se aprecie mejor la diferencia. la primera ecuación nos dice que ‘algo’ es igual a 2. y la segunda nos dice que el doble de ese ‘algo’ es 3. no debería ser 4? es una contradicción. se trata de un sistema mal planteado, sin soluciones.

la matriz de coeficientes tiene rango 1, porque la segunda fila es la primera multiplicada por una cantidad. pero la matriz ampliada tendrá rango 2, porque los términos independientes no siguen esa proporción. ya no se cumple que la segunda fila de la matriz ampliada sea la primera multiplicada por una constante.

ahora pasamos a los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, un poco más complicados. y dentro de éstos, empezaremos por el caso más corriente, el de un sistema compatible determinado. para resolverlo, primero eliminaremos una incógnita combinando las ecuaciones dos a dos de la manera que más fácil nos resulte. de esa manera obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que lo resolveremos igual que lo hemos venido haciendo: eliminamos una incógnita, despejamos la otra y volvemos para despejar la que habíamos eliminado. y ya conociendo el valor de dos de las incógnitas, despejamos el valor de la restante.

la matriz de coeficientes tendrá rango 3 por tratarse de un sistema compatible determinado. las ecuaciones son independientes entre sí, no se puede obtener una de ellas por combinación de las otras. la matriz ampliada siempre es de rango mayor o igual que la que tiene sólo los coeficientes, y por tanto será de rango 3.

pasamos al caso de sistema compatible indeterminado. al resolverlo, todos los términos se anularán y llegaremos a la igualdad 0 = 0.

en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas esto ocurre cuando una ecuación se puede obtener por combinación de las otras dos. es decir, que la tercera ecuación -el orden en que las pongamos es arbitrario- es igual a la primera multiplicada por una constante más la segunda multiplicada por otra constante, pudiendo tomar dichas constantes cualquier valor real (positivo o negativo).

en nuestro ejemplo, la tercera ecuación es la suma de la primera y la segunda. si la primera ecuación nos dice que ‘una cosa’ es igual a 1, y la segunda ecuación nos dice que ‘otra cosa’ es igual a 2, es obvio que la suma de esas dos ‘cosas’ es igual a 3. la tercera ecuación, pues, no nos aporta nada.

la matriz de coeficientes será de rango 2, y también lo será la ampliada. las filas de la matriz representan los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. y como sólo hay dos ecuaciones independientes, siendo la tercera una combinación de las otras dos, quiere decir que sólo hay dos filas independientes de la matriz, y por tanto el rango será 2.

veamos, por último, el caso de sistema incompatible. al resolverlo llegaremos a una contradicción del tipo 0 = algo distinto de 0.

lo que ha ocurrido en un sistema de este tipo es que los coeficientes de la tercera ecuación se obtienen por combinación de los coeficientes de las otras dos, pero no sucede lo mismo con el término independiente. éste “va por otro lado”, no se ha obtenido mediante la misma suma o resta de las dos primeras ecuaciones.

nuevamente sólo hemos cambiado el término independiente de la tercera ecuación, para que se vea con más claridad la diferencia respecto al sistema compatible indeterminado. la primera ecuación nos dice que ‘una cosa’ es igual a 1. la segunda nos dice que ‘otra cosa’ es igual a 2. la suma de las dos ‘cosas’ debería dar 3, y sin embargo da 4. es una incoherencia, una contradicción. el sistema no tendrá soluciones.

el rango de la matriz de coeficientes será 2, ya que una de las filas es una combinación de las otras dos, y por tanto sólo hay dos filas independientes. sin embargo, el rango de la matriz ampliada será 3. ya no podemos decir que una fila sea combinación de las otras dos, por “culpa” de los términos independientes, que no siguen la misma pauta que los coeficientes de las incógnitas.

como vemos, un sistema de ecuaciones pueden tener una sola solución -compatible determinado-, infinitas soluciones -compatible indeterminado-, o ninguna solución -incompatible-.

el caso de que el sistema sea compatible determinado, y por tanto la matriz de los coeficientes de las ecuaciones tenga como rango el número de ecuaciones e incógnitas, es el más normal. y es que, si nos damos cuenta, para que el rango sea menor hay que “hacerlo aposta”, como decía otro profesor mío de matemáticas, el de cou. tiene que ocurrir que una de las filas se pueda obtener como combinación de las otras.

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voy a aprovechar esta entrada para otro asunto que nada tiene que ver con ecuaciones. quienes hayáis tenido la paciencia de leer hasta aquí os encontraréis con una sorpresa.

he robado otra nancy del cuarto trastero de la casa de mi abuela. soy reincidente. ya lo hice una vez, pero fue para bien porque la nancy que me llevé en aquella ocasión pasó a las cuidadosas manos de rosana y ahora parece otra. :)

aquí tenéis a la que he robado esta vez. tenía el pelo lleno de cal, pero se la he quitado con sólo sacudírselo un poco con la mano. eso no quiere decir que no necesite un buen lavado. y vestirla mejor... o, simplemente, vestirla.