fracciones

en una entrada anterior hablé de que, al dividir entre un número primo (exceptuando el 2 y el 5), generalmente se producía un bucle infinito. había una cifra o grupo de cifras que se repetían periódicamente.

esto sucedía cuando el dividendo no era múltiplo de dicho número primo. para lo que vamos a explicar, hay que tener presente que una división es lo mismo que una fracción: el dividendo es el numerador, y el divisor es el denominador. y siempre vamos a simplificar la fracción, dividiendo el numerador y el denominador entre todos los factores primos que puedan tener en común.

así, por ejemplo, 7 es un número tal que al dividir por él o por cualquiera de sus múltiplos, generalmente se va a obtener un número decimal periódico. pero la fracción 14/35, aunque el denominador tenga el 7 entre sus factores primos, no va a dar como resultado un número periódico. porque 14/35 se puede expresar como (2*7)/(5*7), y esa fracción quedará simplificada como 2/5, cuyo resultado es 0.4. recordemos que si el denominador es un número cuyos únicos factores primos son 2 y/o 5, se obtendrá como resultado un número decimal exacto.

por otro lado, una fracción como 14/21 la podemos simplificar dividiendo entre 7 el numerador y el denominador, y obtendremos 2/3. este número es 0.6666... que sí es periódico, pero no “por culpa” del 7 que formaba parte de los factores primos del denominador de la fracción original, sino “por culpa” del 3, que sigue apareciendo en el denominador después de haber simplificado.

hace poco he recordado un procedimiento para hallar la fracción a partir de la cual se obtiene un determinado número periódico. es lo que se denomina ‘fracción generatriz’.

la regla es la siguiente: dado un número decimal periódico puro cuya parte entera es cero, la fracción generatriz tendrá como numerador un número cuyas cifras coinciden con las del periodo, y como denominador otro número con tantos nueves como cifras tenga el periodo.

veamos algunos ejemplos:

0.4444444... su periodo es 4, y ése será el numerador de la fracción generatriz. el periodo en este caso sólo tiene una cifra, que es el 4, y por tanto en el denominador pondremos un solo 9. así pues, la fracción generatriz será 4/9.

0.25252525... el numerador será el grupo de cifras que se repiten periódicamente, que es 25. y el numerador tendrá dos veces el número 9, porque el periodo esta vez tiene dos cifras. por tanto, la fracción generatriz será 25/99.

0.07070707... su periodo es 07, que en el denominador de la fracción generatriz lo ponemos como 7, porque el 0 a la izquierda no aporta nada. sin embargo, a efectos de determinar cuántas cifras tiene el periodo, sí que cuenta: el periodo es 07, tiene dos cifras. así pues, el denominador tendrá dos veces el 9. la fracción generatriz será 7/99.

0.136136136... el periodo es 136, y así lo ponemos en el numerador. tiene tres cifras, luego en el denominador ponemos tres veces el 9. la fracción generatriz será 136/999.

puede darse el caso de que la fracción obtenida por este procedimiento se pueda simplificar. por ejemplo, 0.33333... tendría como fracción generatriz 3/9. si la simplificamos dividiendo entre 3 el numerador y el numerador, obtendremos 1/3.

los ejemplos que hemos visto son de casos en que la parte entera del número decimal periódico es 0. y si no fuera 0? entonces expresaríamos ese número como la suma de la parte entera y la parte decimal. hallaríamos la fracción generatriz de la parte decimal de la manera que hemos explicado, y después le sumaríamos la parte entera.

1.5555555... lo podemos descomponer en 1+0.5555555... la fracción generatriz de 0.5555555..., por lo que hemos explicado, es 5/9. así pues, la fracción generatriz del número propuesto sería 1+5/9, lo que es igual -pasando a denominador común- a 9/9+5/9, que es 14/9.

y si se tratara de un número periódico mixto? nuevamente lo desglosaríamos, en este caso separando su parte periódica y su parte no periódica. veámoslo con otro ejemplo.

0.2777777... se puede expresar como 0.2+0.0777777... 0.2 no da problemas, es igual a 1/5. 0.0777777 es igual a 0.7777777... dividido entre 10. 0.7777777... es 7/9, según la regla que hemos explicado. y 7/9 dividido entre 10 es 7/90.

por tanto, la fracción generatriz del número del que partíamos será 1/5+7/90. pasando a denominador común, esta suma será 18/90+7/90, que da como resultado 25/90. se puede simplificar al ser el numerador y el numerador múltiplos de 5, obteniéndose 5/18.

la explicación de este algoritmo para hallar las fracciones generatrices se basa en que, al dividir la unidad (el número 1) entre los números cuyo único dígito es el 9 (9, 99, 999, 9999...), aparece la siguiente pauta:

1/9 = 0.1111111...
1/99 = 0.01010101...
1/999 = 0.001001001...
1/9999 = 0.000100010001...

al dividir de la manera que nos enseñaron en el colegio la unidad entre un número cuyos dígitos sean nueves, iremos añadiendo ceros al dividendo y al cociente, hasta que el dividendo sea mayor que el divisor. cuando esto ocurra, el dividendo será una potencia de 10, y el divisor será esa potencia de 10 menos una unidad.

es decir, si el dividendo es 10, el divisor será 9. si el dividendo es 100, el divisor será 99. si el dividiendo es 1000, el divisor será 999. ...y así sucesivamente. el divisor siempre será una unidad menor que el dividendo. y por eso, el cociente será 1 y el resto también será 1. en consecuencia, se repetirá el bucle. en el escaneado lo veréis más claro.

la sencilla pauta que forman los números decimales periódicos que se obtienen -están formados sólo por ceros y unos- permite visualizar fácilmente el resultado de multiplicarlos por determinados números enteros.

0.2222222... se ve claro que es igual a 2*0.1111111... y eso es lo mismo que 2*(1/9), es decir, 2/9. se cumple la regla: 2, que es el periodo, va al numerador. y un 9 va al denominador.

0.05050505... es 5*0.01010101... que es igual a 5*(1/99), y eso es 5/99. cuál es el periodo? 05, que a efectos de ponerlo en el numerador, es simplemente 5. pero tiene dos cifras, luego en el denominador pondremos dos veces el 9, es decir, 99. nuevamente se cumple la regla.

0.12121212... es 12*0.01010101... y es igual a 12*(1/99). el periodo es 12, que va al numerador. y como tiene dos cifras, 99 va al denominador. 12/99, por cierto, se puede simplificar como 4/33, dividiendo entre 3 el numerador y el denominador.

0.346346346... es 346*0.001001001... y eso es 346*(1/999). el periodo es 346, y lo ponemos en el numerador. tiene tres cifras, luego el denominador es 999. se cumple la regla una vez más.

quería llegar un poco más lejos, pero al igual que me ha ocurrido otras veces, el desarrollo de esta entrada me ha salido más extenso de lo que pensaba. creo que por hoy ya os he mareado bastante, mejor lo dejamos aquí. :)