jueves, 2 de julio de 2020

cuarta dimensión


la semana pasada usé esta imagen de esther para felicitar el cumpleaños a una amiga. me fijé en que su pierna doblada queda perpendicular al plano definido por el suelo -la toalla sobre la que está tumbada tomando el sol, en este caso-.

se podrían situar unos ejes de coordenadas de la siguiente manera: el eje x, en la dirección del cuerpo tumbado de esther; el eje y, en la dirección de su pierna levantada; y el eje z, perpendicular a los otros dos ejes, en el sentido definido por la regla del tornillo: el giro que hay que dar de x a y, hará que aflojemos el tornillo imaginario, y por tanto su sentido será saliente.


vivimos en un mundo tridimensional, en el cual las medidas siempre deben estar referidas a tres ejes de coordenadas: el eje x puede ser longitud, el eje y altura, y el eje z profundidad, por ejemplo. para la mente humana, es imposible imaginar una cuarta dimensión. tendría que haber un cuarto eje que fuera simultáneamente perpendicular a los tres ejes x,y,z.

  • si tomamos un punto y lo arrastramos en una dirección determinada, obtenemos una línea recta, que tiene una dimensión.
  • si esa línea la arrastramos en una dirección perpendicular a la misma, con un desplazamiento de la misma longitud que dicha línea, obtenemos un cuadrado, de dos dimensiones.
  • si el cuadrado lo arrastramos en una dirección perpendicular al plano que lo contiene, con un desplazamiento de longitud igual al lado del cuadrado, obtenemos un cubo, de tres dimensiones.
  • y si el cubo lo arrastramos sobre una cuarta dimensión, con un desplazamiento de longitud igual a la arista del cubo, obtenemos un hipercubo de cuatro dimensiones.

en este dibujo podéis observar el proceso, y cómo va variando el número de vértices, aristas y caras. el hipercubo, no me veo capaz de dibujarlo, y menos aún como resultado de arrastrar el cubo sobre un cuarto eje de coordenadas.


en la colina donde se encuentran el museo de ciencias naturales de madrid y la escuela de ingenieros industriales de la politécnica, hay una escultura que representa un hipercubo. en realidad, sería la proyección en tres dimensiones de un hipercubo de cuatro dimensiones. de la misma manera que, cuando dibujamos el típico cubo en perspectiva caballera, realmente lo que estamos haciendo es una proyección bidimensional de un cuerpo tridimensional.


un hipercubo tendría 16 vértices, 32 aristas, 24 caras cuadradas y 8 sólidos cúbicos. y es que, al igual que un cubo contiene cuadrados en sus caras, un hipercubo contiene cubos. sí, a mí también me va a explotar la cabeza. :D en cuanto al cálculo de vértices, aristas, caras y sólidos, se puede realizar por combinatoria. para ello hay que partir de que, en el espacio cuatridimensional, un punto tiene cero grados de libertad (cuatro coordenadas fijas), una línea tiene un grado de libertad (una coordenada varía y las otras tres están fijas), un cuadrado tiene dos grados de libertad (dos coordenadas varían y las otras dos están fijas), y un cubo tiene tres grados de libertad (tres coordenadas varían y la que queda está fija).

en el universo existen más de tres dimensiones, aunque nosotros no seamos capaces de imaginarlas. al parecer, se puede viajar por ellas a través de los agujeros de gusano. esto le gustará a nuestra amiga romaxu. ;)

jueves, 25 de junio de 2020

triangular

ahora que ya se puede salir un poco más -aunque con protección y evitando aglomeraciones-, tenía ganas de dar un paseo por algún lugar bonito. el parque eva maría duarte de perón, junto a la plaza de manuel becerra, me gusta y no es demasiado grande. y es que después de tanto tiempo saliendo lo mínimo imprescindible, es mejor empezar por algo suave. ;)

este parque tiene forma triangular, y mi idea era recorrer los tres lados del triángulo por dentro y por fuera. pero resulta que en el interior del parque hay un polideportivo, actualmente cerrado. de manera que al recorrer el contorno del parque por dentro, en realidad no se describe un triángulo, sino más bien una especie de trapecio.


el triángulo ABC es todo el parque de eva perón. el vértice A es la plaza de manuel becerra, que será nuestro punto de partida. el vértice B es el cruce de las calles doctor gómez ulla y florestán aguilar. los vértices B’ y B’’ delimitan la ‘base menor’ del trapecio. el sub-triángulo BB’B’’ es el polideportivo. y el vértice C es el cruce de francisco silvela con florestán aguilar. al recorrer el parque por dentro, la trayectoria será el trapecio AB’B’’C. en cambio, al recorrerlo por fuera, sí podremos describir el triángulo ABC.

el lado a es la calle florestán aguilar, el lado b es francisco silvela, y el lado c es doctor gómez ulla. en matemáticas, se suele nombrar con la misma letra del abecedario a un vértice de un triángulo y a su lado opuesto, en mayúscula el vértice y en minúscula el lado.


una vez explicado todo esto, empezamos! primero haremos el recorrido por dentro. éste es el vértice A, correspondiente a la plaza de manuel becerra



ahora vamos por el lado c, a ver qué nos encontramos.



éste es el vértice B’, que nos obliga a girar.


el lado delimitado por los vértices B’ y B’’ es la valla de separación de los campos de deporte.


llegamos al vértice B’’. fin de la base menor del trapecio.


ahora nos movemos por el lado a...


...y pronto llegamos al vértice C.


vamos por el lado b, camino de cerrar nuestra línea poligonal.


aquí hay otro campo de juego, pero éste sí se puede atravesar por un pasillo lateral.



y volvemos al vértice A. esta foto podría haberla hecho con un enfoque más oblicuo, para que no fuera casi igual que la primera de todas, pero bueno. ^_^



ahora haremos el mismo recorrido, pero por fuera. éste es el vértice A exterior, la plaza de manuel becerra. en ella convergen las calles francisco silvela y doctor gómez ulla, entre otras.


lado c, calle doctor gómez ulla.



vértice B, por el que no se podía pasar desde dentro.


lado a, calle florestán aguilar.


vértice C. dos chicas que pasaban se han parado para que pudiera hacer la foto, qué majas. :)


lado b, calle francisco silvela. esto ya es un poco reiterativo, me está cansando casi más describir este recorrido que hacerlo in situ. :D



y volvemos al vértice A. por fin!



cerca de allí hay tres calles que también forman un triángulo: paseo del marqués de zafra, calle sancho dávila y calle marqués de mondéjar, que no aparece su nombre en esta captura de pantalla del mapa. pero eso quizá para otro día, que hacía calor y tenía que hacer recados antes de volver a casa. ^_^

sábado, 20 de junio de 2020

juegos

en diciembre del año pasado fui a una quedada con mis amigas belén y julia, en casa de esta última. el plan era pasar un rato jugando a juegos de mesa, y luego encargar unas pizzas.

se ocupó de llevar varios juegos una chica, compañera de trabajo de julia y de belén, que creo recordar que se llamaba isa. los explicaba y los dirigía muy bien, de manera clara y divertida. no sé si esa chica en su trabajo tendría que hablar en público, o si era simplemente un don natural de ella, pero me pareció muy buena comunicadora.


uno de los juegos era el dixit. aunque en la red podéis encontrar artículos y vídeos que lo expliquen mejor que yo, más o menos consiste en lo siguiente... cada equipo -de dos o tres personas- elige al azar una carta sin que los demás la vean. las cartas llevan ilustraciones sin texto. el equipo al que le toque en ese turno, dirá al resto de jugadores una frase que pueda estar relacionada con la carta que les ha tocado. a continuación, todos los equipos ponen sus cartas en el centro de la mesa, primero boca abajo, y después boca arriba tras revolverlas un poco, para que no se sepa de quién es cada una.

una vez hecho eso, los demás tratarán de adivinar cuál es la carta relacionada con esa frase en cuestión. no se debe saber de quién es cada carta, eso es fundamental. un momento divertido durante el juego, fue cuando una chica dijo “a ver cómo es esa carta, que no la veo bien...”, y su compañera de equipo, que era isa, la que dirigía los juegos, dijo de una manera muy graciosa: “muy bien! ahora todo el mundo se ha enterado de que esa carta no es la nuestra!”. todos nos reímos al unísono.

hay muchos juegos de mesa divertidos para pasar una tarde entre amigos. los clásicos parchís, monopoly, trivial, dominó... y otros más modernos, como el dixit, del que hemos hablado. y por supuesto las cartas, pero mejor sin apostar nada, ya que el objetivo debe ser sólo pasarlo bien. ;)


desde aquí mando abrazos a belén, a la anfitriona julia, y también a su hija laura, a su marido jose y a su perro yemen. ^_^

lunes, 15 de junio de 2020

conocer gente


según la teoría de los seis grados de separación, dos personas cualesquiera del mundo pueden estar conectadas a través de no más de seis relaciones intermedias. me explico: cuando una persona A conoce directamente a una persona B, sólo hay un grado de separación. cuando A conoce a B, y B conoce a C, entonces entre A y C habrá dos grados de separación. y así hasta el caso en el que A conoce a B, B conoce a C, C conoce a D, D conoce a E, E conoce a F, y F conoce a G. en ese caso habrá seis grados de separación entre A y G, seis relaciones intermedias.

esta teoría fue propuesta por el matemático húngaro paul erdős. obviamente se dará el caso de que, en un momento dado, para llegar a contactar con una persona en otro lugar del mundo, necesites bastantes más de seis relaciones intermedias. pero esa cadena de seis eslabones intermedios existe, aunque en ese momento no hayas sido capaz de dar con ella. para llegar a un lugar hay muchos caminos largos y un camino corto, pero este último no siempre lo conoces.

cuando me gustaba una chica en mi universidad o en la biblioteca pública de mi barrio, seguro que había una cadena más corta a través de la cual podía llegar a contactar con ella, ya que se trataba de entornos más reducidos. o eso o directamente invitarla a tomar un café, pero con lo sieso que era yo de joven, no me habría salido de manera natural. ^_^

el caso de cero relaciones intermedias, que no lo habíamos comentado, sería el de una persona consigo misma. A con A, por seguir con la misma notación. pero os advierto que conocerse y ponerse de acuerdo con uno mismo no es cosa fácil. ;)

lunes, 8 de junio de 2020

espacio vital


en estos tiempos que estamos viviendo, es importante mantener la distancia social. por ello cobra especial relevancia el teorema de jung, que en breve explicaremos. pero no el famoso psiquiatra carl jung, sino el matemático heinrich jung. ^_^

el teorema de jung viene a decir lo siguiente: dado un conjunto de puntos dispersos sobre un plano, siendo d la distancia entre los dos puntos que se encuentran más alejados entre sí, podemos afirmar que todos ellos cabrán dentro de un círculo de radio menor o igual que d/√3.

d/√3 es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de lado d. y es que la manera más ‘expandida’ en la que se podrían distribuir los puntos, sería aquella en la que tres de ellos son vértices del mencionado triángulo equilátero de lado d -la máxima distancia posible entre dos puntos-. el caso más ‘desfavorable’ sería el de tres puntos cuyas distancias dos a dos son iguales a d, y en ese caso todos los puntos entrarían en un círculo de radio d/√3.


en la vida cotidiana, a veces se habla de espacio vital como la distancia mínima que conviene guardar alrededor de una persona, y que no se debe invadir. en psicología, sin embargo, el término espacio vital tiene un significado diferente. viene a ser el entorno en que vivimos, y la manera de interactuar con dicho entorno. se trata de un concepto introducido hacia 1920 por la psicóloga alemana martha muchow, y en el que ahondaron posteriormente otros psicólogos.

efectivamente, el carácter es en parte innato, y en parte desarrollado como reacción al entorno social en el que uno se encuentra. imagino que much@s nos hemos preguntado cómo sería nuestro carácter, de haber nacido en otro lugar y en otra época. aquí vemos que a zipi y zape no les iba mal en la antigua grecia. ;)

lunes, 1 de junio de 2020

el mejor regalo

hoy cumplo un año más, me temo. :D es un cumpleaños atípico por las circunstancias actuales, pero puede que la situación mejore a lo largo del verano. se me ha ocurrido que era un buen día para publicar una continuación del relato que escribí hace un mes y pico, sobre clases particulares veraniegas.


Las clases con mi nueva alumna Nina marchan a la perfección. Es una chica muy responsable y trabajadora, pone de su parte y eso se agradece. Ayer dimos la distribución binomial. Dado un número n de experimentos, y siendo p la probabilidad de éxito en cada uno de ellos, la probabilidad de que un número k de esos experimentos tenga éxito, viene dada por la expresión:
[n!/(n-k)!·k!]·pk·(1-p)n-k

Le puse como ejemplo a Nina un reto matemático que me propuso una vez una amiga. ¿Qué es más probable, sacar al menos 1 seis en 6 tiradas del dado, o bien sacar al menos 3 seises en 18 tiradas? n es el número de tiradas, 6 en el primer caso y 18 en el segundo. k es el número de seises, que debe ser mayor o igual que 1 en el primer caso, y mayor o igual que 3 en el segundo. p es la probabilidad de sacar un seis, que siempre vale 1/6. Puede parecer que ambos experimentos son igual de probables, por “regla de tres”, pero ya os digo yo que no.


Después de la clase con mi alumna, fui a buscar a Mara, su madre, para decirle que ya habíamos acabado. Estaba sentada sobre el sofá con las piernas cruzadas, y sólo al estar delante de ella me di cuenta de que se estaba cortando las uñas de los pies. Me dio apuro, así que hice ademán de darme la vuelta, pero me dijo:
–¡Tranquilo, no te vayas! Siéntate aquí a mi lado. ¿Qué tal la clase con Nina, bien? Mientras termino mi tarea de pedicura, puedes mirar los cuadros que tenemos aquí apilados. Estamos pensando dónde ponerlos.

Me fijé en uno de ellos que parecía ser un girasol en aumento, en el que se apreciaban las espirales áureas que forman sus semillas. Llevaba la firma de Mara.
–¡Este cuadro es muy matemático! –le dije.
–Sí, ya ves, y eso que soy de letras, estudié bellas artes –respondió mientras continuaba absorta en su tarea con el cortaúñas–.
–El sonido al cortarte las uñas es relajante. Casi se puede considerar asmr, ya sabes, autonomous sensory meridian response.
–Sí, lo conozco. ¡Pues tienes razón! Quizá grabe algún vídeo asmr y lo suba a Instagram. Pero para esto tendré que esperar a que me crezcan de nuevo las uñas de los pies –dijo riendo–.

Cuando acabó, movió los dedos de los pies para desentumecerlos. Y me preguntó con una mirada pícara:
–Las matemáticas se te dan bien, ¿verdad Chema?
–Pues a ver, me defiendo más o menos... –respondí, sin saber a dónde quería llegar–.
–Vale, ¿y las cosquillas? ¿Qué tal se te dan? –dijo estirando sus pies hacia mí–.
–Ah, ¿de verdad quieres que...? Bueno, voy a probar...

Y tímidamente fui pasándole los dedos suavemente por las plantas de sus pies.
–¡Me encanta! –exclamó–. Esto también es asmr, ¿sabes?
–¡Claro, es verdad! El sonido del cortaúñas era asmr auditivo, y esto es asmr táctil.
–Así es. Oye, estaba pensando una cosa: en matemáticas, la propiedad conmutativa era algo así como que “el orden de los factores no altera el producto”, ¿verdad?
–Justo. Y en la suma también se cumple, “el orden de los sumandos no altera la suma”.
–¡Correcto! Pues en ese caso, saca los pies de tus chanclas y ponlos aquí encima, majo, que ahora te haré cosquillas yo a ti –dijo en tono travieso–.

Volví a casa en una nube. La sesión de asmr me había dejado como nuevo. Estas cosas no me ocurren en otras casas donde doy clase. Quién iba a decir que después de unos meses tan duros por la crisis sanitaria, el verano iba a tener para mí estos alicientes... Es, sin duda, el mejor regalo.



espero que os haya gustado. os dejo unos bombones que he traído por ser mi cumple. ;) y en el vídeo, que lo grabé hace varios meses, encontraréis la solución al enigma de los dados.

viernes, 22 de mayo de 2020

estadística cotidiana

en la vida diaria, de manera más o menos consciente, estimamos la probabilidad de que se produzca un suceso, teniendo en cuenta la frecuencia con la que se han producido otros sucesos similares en un intervalo de tiempo reciente.


por ejemplo, si en un aburrido domingo han pasado varias horas sin que recibas ningún mensaje de whatsapp, llega un momento en que bajas la guardia y no esperas que nadie te escriba. pero si el silencio se rompe y te llega un nuevo mensaje, ya sea en un chat individual o en un grupo, te vienes arriba porque tu suerte ha cambiado. a partir de ese momento, seguro que te llegarán más.

veamos otro ejemplo. quedas con unos amig@s, y uno de ellos dice: “quizá pueda ir más tarde. os doy un toque, me decís dónde estáis y os busco”. al principio piensas “hay que estar atento al móvil, que fulanito nos va a llamar en cualquier momento”. pero cuando ha pasado un tiempo considerable, piensas “éste ya no viene”.


para estimar la frecuencia de los sucesos, hay un modelo que propuso el matemático francés siméon-denis poisson. se trata de la distribución de poisson, que consiste en calcular la probabilidad de que se produzca un número k de sucesos en cierto intervalo de tiempo, teniendo en cuenta que la frecuencia media de los sucesos en ese intervalo es igual a λ (lambda).
P(nºsucesos=k) = (e·λk)/k!

veamos un ejemplo numérico: en una pequeña librería, entra en promedio una persona cada 5 minutos. calcular la probabilidad de que en media hora hayan entrado 7 personas.

habrá que ajustar el parámetro λ al intervalo de tiempo que nos dan. si en 5 minutos entra 1 persona, en 30 minutos, por regla de tres, entrarán 6 personas. por tanto, nuestro λ es 30. el resto es sustituir en la fórmula. de ese modo, obtenemos que la probabilidad de que entren 7 personas en media hora será del 13,77%.


en la vida real, cuando cambia nuestra percepción sobre la probabilidad de que se produzca un suceso, sin darnos cuenta estamos aumentando o disminuyendo mentalmente el valor de λ, que nos da la frecuencia estimada de ese suceso. volviendo al ejemplo del whatsapp, si recibimos varios mensajes, pensamos “esto es un no parar”, y ajustamos la λ a un valor más alto. en cambio, si la cosa se calma, le asignaremos a λ un valor más bajo.

sigmund freud escribió un libro titulado ‘psicopatología de la vida cotidiana’, que leí hace unos cuantos años. en ese libro, el psiquiatra austriaco explicaba los procesos subconscientes que había detrás de nuestras confusiones y lapsus varios...

de manera similar, estas teorías sobre probabilidad de sucesos que hemos comentado, se podrían llamar “estadística de la vida cotidiana”. ;)