líneas

tenía la idea de hacer un dibujo marcando los contornos básicos a lápiz, luego rellenándolo con líneas finas de diferentes colores, y por último borrando el lápiz.

un rotulador de punta fina, está claro que no es el instrumento más adecuado para colorear. pero, si nos fijamos en una persona en una postura determinada, podemos identificar líneas imaginarias según cómo tenga tensados los músculos, según las arrugas de la ropa... y no digamos el pelo, que está formado por miles de líneas onduladas que se entrecruzan.

sabiendo eso, con los rotuladores se pueden marcar primero los contornos y después las líneas interiores que marcan las direcciones principales. y ya todo lo que quedaría es ir rellenando los huecos entre medias.

he elegido una foto de paula echevarría, sentada en cuclillas y comiéndose un cupcake...

y éste ha sido el resultado. es una chapuza, pero lo he hecho en poco más de una hora. y para una vez que se me ocurre una idea un poco diferente para una entrada... :)

aventuras

se acerca la primavera. he ido a dar un paseo a un pequeño parque cerca de la plaza de manuel becerra de madrid. no tiene mucho de especial, pero a mí me gusta.

aunque el día estaba seminublado, se nota que los árboles han empezado a florecer, como corresponde a la estación que se aproxima.

la zona que hay alrededor de ese parque me trae muchos recuerdos. hubo una época en la que iba a yoga y a clases de baile, y ambas academias estaban cerca de allí. lo del yoga prosperó bastante más que lo otro: decididamente, no tengo el ritmo en el cuerpo. ;)

tras la visita al parque, he ido a una tienda de libros y comics antiguos que también está en esa zona. he encontrado un super humor antiguo que no tenía, en buen estado y muy barato. es el nº7 de la colección.

y luego he ido a comprarme un pantalón corto de algodón, como los que mucha gente usa para yoga, ya que hablaba de eso antes. me vendrá bien para casa cuando haga más calor.

dr jekyll y mr hyde

el extraño caso del dr jekyll y mr hyde de robert louis stevenson es una de esas novelas que leí por primera vez cuando era adolescente, y que releo cada cierto tiempo.

el respetable médico henry jekyll descubre una pócima que permite separar o escindir la naturaleza malvada de la persona que la toma. al probarla por primera vez, se transforma en un hombrecillo de pequeño tamaño y aspecto desagradable que carece por completo de escrúpulos.

el experimento se le escapa de las manos al dr jekyll, pues su alter ego comete actos de gran crueldad. y lo que es peor, llega un momento en que la transformación es cada vez más difícil de revertir. para protegerse crea una identidad diferente para su yo malvado, adoptando el nombre de edward hyde.

todas las personas tienen una parte buena y una parte mala, mientras que mr hyde es mal en estado puro. por ello, no es de extrañar el rechazo que provoca en todos aquellos que se cruzan en su camino. si dicen que la cara es el espejo del alma, cómo será el rostro de alguien que no posee ningún buen sentimiento?

a veces he pensado que en las historias ficticias -ya sean películas, novelas o comics-, los ‘buenos’ tienen también sus pequeños defectos, mientras que los ‘malos’ lo son en todo el sentido de la palabra.

como la novela del dr jekyll y mr hyde es bastante breve -se dice que le fue inspirada a stevenson en un sueño-, en la edición que tengo vienen dos relatos más, que hasta ahora nunca me había animado a leer, y no sabría explicar por qué. se titulan olalla y markheim.

olalla trata sobre un caballero inglés que, por recomendación de su doctor, se va a vivir durante un tiempo como huésped a la casa de una familia española de ascendencia noble venida a menos -en recursos y en nivel cultural-.

markheim cuanta la historia de un hombre que tiene la intención de asaltar una tienda de antigüedades, y el mismo diablo se le aparece para aclarar sus dudas y animarle a seguir adelante con sus planes.

os recomiendo con énfasis el dr jekyll y mr hyde, que se sigue publicando en la colección de clásicos de anaya, aunque ahora en pasta blanda y sin incluir los otras dos historias. quizá se puedan encontrar en alguna recopilación de relatos cortos de stevenson...

signos

esta viñeta de la aventura ‘periplo búlgaro’ de superlópez podría servir como ejemplo de cómo funcionan los signos negativos en matemáticas. al igual que el antídoto contra el veneno que hace volverse la piel verde, los signos menos actúan siempre en sentido contrario. si van delante de algo que es positivo, lo hacen negativo. si van delante de algo negativo, lo vuelven otra vez positivo.

sin embargo, las implicaciones de los signos en matemáticas no siempre son tan sencillas...

pensemos en la curva definida por la ecuación (x/a)²+(y/b)²=1. se trata de una elipse de semiejes a y b.

está dibujada a mano alzada, reconozco que de manera un poco chapucera. se pueden marcar puntos por donde pasa la elipse, y cuantos más tengas, con mayor precisión la podrás trazar.

la elipse se define como la curva formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. sabiendo esto, desde un foco se puede trazar un arco de circunferencia del radio que queramos, llamémoslo R. desde el otro foco se traza otro arco de radio 2a–R, y el punto de corte será un punto de la elipse. y hecho eso, aprovechamos para hallar los simétricos de ese punto respecto a los ejes horizontal y vertical.

lo que pasa es que hacer eso es un poco pesado y lioso. se te llena el dibujo de arcos de circunferencia, y al final no sabes cuál es cuál. con los cuatro vértices y los otros cuatro puntos hallados aplicando una vez ese procedimiento, ya nos da para tener una aproximación de la elipse.

ahora supongamos que cambiamos el signo del segundo término de la ecuación de la elipse, de manera que se transformará en (x/a)²–(y/b)²=1.

esto ya no es una elipse, de hecho es otra curva que no puede ser más diferente. se trata de una hipérbola. es una curva con dos ramas simétricas que a medida que se alejan del centro se van aproximando a dos rectas llamadas asíntotas.

a es ahora la mitad de la distancia entre los vértices de la hipérbola. la pendiente de las asíntotas vendrá dada por el cociente b/a. si es menor que 1, las ramas de la hipérbola serán más cerradas, y si es mayor que 1, serán más abiertas. si es igual a 1, se denomina hipérbola equilátera.

dado que una circunferencia es una elipse con los dos semiejes a y b iguales, podríamos decir que una hipérbola equilátera, en la cual también se cumple que a=b, en cierto modo es la figura opuesta a una circunferencia.

una hipérbola es la curva formada por los puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. los focos son los puntos marcados en rojo. la definición es análoga a la de la elipse, pero la curva obtenida es totalmente distinta.

para encontrar puntos por donde pasa la hipérbola, hay que hacer algo parecido a lo que hacíamos con la elipse. desde un foco trazamos con el compás un arco de un radio cualquiera R, y desde el otro foco trazamos otro arco de radio 2a+R. por el punto de corte pasa la hipérbola. y de paso, marcamos los simétricos de ese punto respecto a los ejes.

las dos ramas de la hipérbola se pueden aproximar sabiendo que pasan por los vértices y por los puntos adicionales que hemos encontrado, y que cada vez se pegan más a las asíntotas.

veamos ahora qué ocurre si cambiamos el signo del primer término de la ecuación de la elipse, con lo que pasará a ser –(x/a)²+(y/b)²=1.

lo que obtenemos es otra hipérbola en la cual las dos ramas son imágenes especulares respecto al eje horizontal, mientras que en el caso anterior lo eran respecto al eje vertical. y si antes las ramas eran más bien cerradas, ahora al contrario, son más abiertas.

los parámetros a y b han intercambiado los papeles. ahora b es la mitad de la distancia entre los vértices, y el cociente a/b es el que define la forma de la las ramas de la hipérbola: menor que 1, cerradas; mayor que 1, abiertas.

bien, y qué ocurre si cambiamos los signos a los dos sumandos de la ecuación de la elipse? la ecuación ahora será –(x/a)²–(y/b)²=1.

tanto (x/a)² como (y/b)² son siempre positivos por estar elevados al cuadrado, y por tanto si les cambiamos el signo serán negativos y nunca podrán sumar 1. así pues, como no hay puntos que cumplan esa condición, tampoco habrá curva. la gráfica de esa ecuación será la nada absoluta.

ésta es la que más fácil de dibujar me ha resultado. :D sobre todo después de haber dibujado las hipérbolas, que no hacía ninguna desde cou... no me gustan demasiado.

beatles

en la carpeta ‘mi música’ del ordenador tengo todos los álbumes de los beatles, que fueron nada menos que trece en apenas ocho años.

además hay bastantes canciones suyas que no se incluyeron en ningún álbum, algunas de ellas muy famosas. se recogieron en una recopilación llamada past masters, pero yo he preferido reubicarlas en los álbumes que estuvieran más próximos en el tiempo a las fechas en que esas canciones se lanzaron.

de ese modo, from me to you y she loves you las añadí al final del primer álbum, please please me; i want to hold your hand la puse al final del segundo álbum, with the beatles; i feel fine la puse en el beatles for sale; we can work it out y day tripper las puse en el rubber soul; paperback writer la puse en el revolver. hasta ahí no me lo tuve que pensar mucho...

lady madonna, hey jude y la primera versión de revolution las metí en el magical mystery tour, con lo cual me quedaba un poco largo. pero es que en el sgt. pepper’s lonely hearts club band no quería añadir ninguna porque es un disco conceptual, y habrían quedado fuera de lugar. y por otro lado estaba el doble ábum blanco -white album-, en el que tampoco quería añadir nada porque ya es bastante largo de por sí.

en la banda sonora de yellow submarine, quité todos los temas orquestales de la segunda parte y puse en su lugar get back -versión original-, don’t let me down, the ballad of john and yoko y old brown shoe.

hay que explicar que yellow submarine era una canción incluida originalmente en el álbum revolver, pero a alguien se le ocurrió crear una película basada en el tema de esa canción. para la banda sonora se recuperaron yellow submarine y all you need is love, y se grabaron cuatro nuevos temas.

en definitiva, lo que hice fue añadir a los álbumes de estudio las canciones que se incluyeron en los famosos recopilatorios rojo (1962-1966) y azul (1967-1970) y que no estaban en ningún álbum, eran ‘no clasificadas’ por decirlo así. y es que los recopilatorios rojo y azul me los regalaron hace mucho, fueron lo primero que tuve de los beatles, y no quería que faltara ninguna canción que estuviera incluida en ellos.

por otro lado, pasé a un documento de word los títulos de todas las canciones, con un código de colores según quién fuera el vocalista principal en cada una:

john lennon

paul mccartney

george harrison

ringo starr

también podía ocurrir que hubiera más de un vocalista principal o, más raramente, que no hubiera ninguno:

john y paul

john, paul y george

john, paul, george y ringo

instrumental

esta información la saqué de wikipedia, que no siempre es una fuente fiable. y en algunos casos no estoy muy de acuerdo. por ejemplo, hay alguna en morado que debería estar en azul, porque era john quien llevaba el peso de la canción y paul como mucho hacía algún coro... se nota que soy más de john que de paul? ;)

aquí tenéis los títulos de las canciones de todos los álbumes, con sus colorines. las que añadí al final de algunos de ellos, de las que hablaba al principio, están marcadas con un asterisco.

please please me (1963)

1. i saw her standing there
2. misery
3. anna (go to him)
4. chains
5. boys
6. ask me why
7. please please me
8. love me do
9. p.s. i love you
10. baby it’s you
11. do you want to know a secret
12. a taste of honey
13. there’s a place
14. twist and shout
15. from me to you *
16. she loves you *

with the beatles (1963)

1. it won’t be long
2. all i’ve got to do
3. all my loving
4. don’t bother me
5. little child
6. till there was you
7. please mister postman
8. roll over beethoven
9. hold me tight
10. you really got a hold on me
11. i wanna be your man
12. devil in her heart
13. not a second time
14. money (that’s what i want)
15. i want to hold your hand *

a hard day’s night (1964)

1. a hard day’s night
2. i should have known better
3. if i fell
4. i’m happy just to dance with you
5. and i love her
6. tell me why
7. can’t buy me love
8. any time at all
9. i’ll cry instead
10. things we said today
11. when i get home
12. you can’t do that
13. i’ll be back

beatles for sale (1964)

1. no reply
2. i’m a loser
3. baby’s in black
4. rock and roll music
5. i’ll follow the sun
6. mr. moonlight
7. kansas city / hey-hey-hey-hey!
8. eight days a week
9. words of love
10. honey don’t
11. every little thing
12. i don’t want to spoil the party
13. what you’re doing
14. everybody’s trying to be my baby
15. i feel fine *

help! (1965)

1. help!
2. the night before
3. you’ve got to hide your love away
4. i need you
5. another girl
6. you’re going to lose that girl
7. ticket to ride
8. act naturally
9. it’s only love
10. you like me too much
11. tell me what you see
12. i’ve just seen a face
13. yesterday
14. dizzy miss lizzy

rubber soul (1965)

1. drive my car
2. norwegian wood
3. you won’t see me
4. nowhere man
5. think for yourself
6. the word
7. michelle
8. what goes on
9. girl
10. i’m looking through you
11. in my life
12. wait
13. if i needed someone
14. run for your life
15. we can work it out *
16. day tripper *

revolver (1966)

1. taxman
2. eleanor rigby
3. i’m only sleeping
4. love you to
5. here, there and everywhere
6. yellow submarine
7. she said she said
8. good day sunshine
9. and your bird can sing
10. for no one
11. doctor robert
12. i want to tell you
13. got to get you into my life
14. tomorrow never knows
15. paperback writer *

sgt. pepper’s lonely hearts club band (1967)

1. sgt. pepper’s lonely hearts club band
2. with a little help from my friends
3. lucy in the sky with diamonds
4. getting better
5. fixing a hole
6. she’s leaving home
7. being for the benefit of mr. kite!
8. within you without you
9. when i’m sixty-four
10. lovely rita
11. good morning good morning
12. sgt. pepper’s lonely hearts club band [reprise]
13. a day in the life

magical mystery tour (1967)

1. magical mystery tour
2. the fool on the hill
3. flying
4. blue jay way
5. your mother should know
6. i am the walrus
7. hello goodbye
8. strawberry fields forever
9. penny lane
10. baby you’re a rich man
11. all you need is love
12. lady madonna *
13. hey jude *
14. revolution *

white album (1968)

cd1:

1. back in the ussr
2. dear prudence
3. glass onion
4. ob-la-di, ob-la-da
5. wild honey pie
6. the continuing story of bungallow bill
7. while my guitar gently weeps
8. happiness is a warm gun
9. martha my dear
10. i’m so tired
11. blackbird
12. piggies
13. rocky raccoon
14. don’t pass me by
15. why don’t we do it on the road?
16. i will
17. julia

cd2:

1. birthday
2. yer blues
3. mother nature’s son
4. everybody’s got something to hide except me and my monkey
5. sexy sadie
6. helter skelter
7. long, long, long
8. revolution 1
9. honey pie
10. savoy truffle
11. cry baby cry
12. revolution 9
13. good night

yellow submarine (1969)

1. yellow submarine
2. only a northern song
3. all together now
4. hey bulldog
5. it’s all too much
6. all you need is love
7. get back *
8. don’t let me down *
9. the ballad of john and yoko *
10. old brown shoe *

abbey road (1969)

1. come together
2. something
3. maxwell’s silver hammer
4. oh! darling
5. octopus’s garden
6. i want you (she’s so heavy)
7. here comes the sun
8. because

medley:

9. you never give me your money
10. sun king
11. mean mr mustard
12. polythene pam
13. she came in through the bathroom window
14. golden slumbers
15. carry that weight
16. the end
17. her majesty

let it be (1970)

1. two of us
2. dig a pony
3. across the universe
4. i me mine
5. dig it
6. let it be
7. maggie mae
8. i’ve got a feeling
9. one after 909
10. the long and winding road
11. for you blue
12. get back

miscelánea

el otro día le comentaba a una señora que conozco, que es médico, que lo que más me cuesta explicar al alumno que tengo ahora es la biología, porque es muy técnica y no es mi campo... entonces ella me dijo riéndose “a ver, qué tiene de técnica la biología?”, y yo le respondí: “las moléculas hidrocarbonadas!”. y sin darme cuenta, hice con el dedo el gesto de una curva helicoidal.

y es que las proteínas son grandes cadenas orgánicas que adoptan forma de hélice. al igual que los ácidos nucleicos, el más importante de los cuales es el adn -ácido desoxirribonucleico-, que se encuentra en las células y contiene toda la información genética del individuo.

me estoy pareciendo a esos maestros clásicos que daban clase de casi todas las asignaturas. no sé si los seguirá habiendo. yo de ésos tuve en los primeros cursos. teniendo al mismo profesor para todas las asignaturas menos para inglés y alguna otra, más valía que te cayera bien...

el que tuve en 4º de egb era muy vocacional y entregado. sabía bien cuándo tenía que ponerse serio, cuándo convenía relajarse y bromear...

en los dictados, nos dejaba que al final hiciéramos un pequeño dibujo que tuviera alguna relación con el texto. mis dibujos denotaban una clara influencia de los tebeos de mortadelo y filemón. :D aquí tenéis una muestra...

en el curso siguiente tuvimos un profesor muy malhumorado, parecía que no le gustaban los niños. pero, por otra parte, hay que reconocer que enseñaba muy bien. pasaba de los libros de texto y nos daba sus propios apuntes. iba más a lo importante, a lo que toda persona con cultura general debe saber.

sus apuntes los sacaba de un libro antiguo que tenía él, que nunca llegué a saber dónde se podía encontrar... lo que sí encontré sin dificultad en cualquier papelería era el rotulador de punta fina que utilizaba para corregir los exámenes, que me gustaba y se me antojó tener uno igual. era de la marca ‘staedtler’, de un rojo ligeramente anaranjado. me compré uno azul y otro rojo. el rojo nos dejaban utilizarlo para los títulos, para subrayar...

ahora tengo mis propios rotuladores de colores, para las clases particulares y para los gráficos escaneados que veis en muchas entradas del blog. son de ‘stabilo’, que también es una buena marca. los que más uso los tengo en este bote con imágenes de esther, regalo de nuestra amiga mayca en el expocomic de 2011.

cuadrados

tal como he titulado esta entrada, parece que voy a hablar del vestido que llevaba jessica alba en cierto evento...

en realidad voy a hablar de los números elevados al cuadrado, o a cualquier potencia en general. la idea me ha surgido porque a los chic@s, cuando empiezan estudiar el lenguaje algebraico -los polinomios y todo eso-, les cuesta entender la idea de potencia. a menudo hay que decirles: “no, no hay que sumar x consigo misma, eso sería 2x. hay que multiplicarla por sí misma, y eso es x²”.

es algo normal. yo cuando empecé a dar las potencias en 6º de egb me preguntaba qué utilidad tenía eso, para qué querías multiplicar una cosa por sí misma. luego aprendí que, en muchos y muy variados campos, las potencias son fundamentales.

por ejemplo, el área de un cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado -valga la redundancia-, es decir l². y el volumen de un cubo es igual a la arista elevada al cubo, l³.

el área del círculo es igual al producto de pi por el radio al cuadrado, π·r². el área exterior de la esfera es 4·π·r², y su volumen es 4/3·π·r³.

en física aparecen a menudo magnitudes elevadas al cuadrado. por ejemplo, en un movimiento circular, la aceleración centrípeta es proporcional al cuadrado de la velocidad angular.

en general, en cualquier movimiento cíclico, la aceleración -y por tanto la fuerza, ya que ésta es el producto de la masa por la aceleración-, es proporcional al cuadrado de la frecuencia del movimiento.

para los cuerpos con movimiento de rotación, una magnitud fundamental es el momento de inercia, que depende de la forma del cuerpo y de su eje de giro, y es proporcional al cuadrado de alguna de las distancias que lo definen (el radio, la longitud...).

la energía cinética, que es la que un cuerpo ha acumulado en su movimiento, es igual a la mitad de su masa por el cuadrado de su velocidad, es decir, 1/2·m·v².

también en finanzas son muy importantes las potencias. en capitalización compuesta, los intereses se incorporan al montante, por lo que a cada período que pasa se calculan ‘intereses sobre los intereses’, multiplicando el capital inicial por la unidad más el tipo de interés del período, elevado todo ello al número de períodos transcurridos.