disney

en la feria del libro de santander encontré un tomo de mini disney que leí cuando era pequeño y se me perdió. además era el número 1 de la colección. me hizo mucha ilusión encontrarlo, y lo leí entero en cuestión de una hora.

de las historias que contiene, había dos que recordaba especialmente...

una es ferdie y morty se divierten. en esta historia, los sobrinos de mickey mouse impiden que dos ladrones roben en su casa por la noche. les hacen caer en varias trampas, al estilo de la película ‘solo en casa’, o de zipi y zape con “el manitas”.

y la otra es un encanto de niño. hasta el título lo recordaba. trata sobre un niño que comete actos de vandalismo por la calle, al que goofy trata de poner en su sitio. como goofy no puede con él, pide ayuda a su amigo mickey, que tiene más mano izquierda.

éste no es el único libro de disney que leí cuando era pequeño y he logrado recuperar... vayamos a dos entradas de mi antiguo blog.

25.09.2008

hoy he encontrado un libro que tenía en casa pero no recordaba dónde, y temía que se hubiera perdido. era nada menos que el célebre libro de la selva, de una antigua colección de cuentos ilustrados de disney.

cuando tenía doce o trece años leí esta versión de el libro de la selva, y entendí algunas cosas que de pequeño no las captaba del todo. por ejemplo, cuando llevan a mowgli al poblado humano y se siente atraído por aquella niña y trata de llamar su atención...

es una historia que me sigue encantando. y los personajes son entrañables. resulta curioso cómo la seria y responsable bagheera me cae igual de bien que el alegre y despreocupado baloo.

06.09.2008

hace unos meses encontré en la cuesta de moyano un tomo antiguo de películas de disney, el número 8 en concreto. lo tuvimos en casa cuando yo era pequeño. supongo que era de mi hermana mayor. fue uno de los primeros libros que leí.

llevaba años buscándolo en todas las ferias del libro, y siempre veía cualquier tomo menos el que estaba buscando. se me quedó grabado que el número era el 8. cuando lo encontré no me lo creía. lo cogí y estuve un rato pasando las páginas para asegurarme de que tenía las historias que yo recordaba. ese día me llevé una gran alegría. y además estaba muy barato.

la historia estrella de las que contiene este tomo, como habréis adivinado al ver la portada, era el libro de la selva. siempre me ha encantado, y lo tengo también en formato de cuento narrado con ilustraciones.

otra historia de este tomo que recordaba de cuando era pequeño es nos vamos de vacaciones!, protagonizada por el pato donald y sus tres sobrinos. en esta historia, el tío donald se pasa las vacaciones en la montaña intentando en vano fotografiar ciervos. sus sobrinos tratan de ayudarle, sin mucha fortuna.

un capítulo interesante y educativo de este tomo es infierno blanco, una especie de documental gráfico con ilustraciones sobre la fauna en las zonas más frías del norte del planeta. de pequeño seguramente me lo salté por considerarlo demasiado denso.

por último destacaría los tres gatitos, una historia sobre una niña que adopta a tres gatos a escondidas de su padre, que no quiere tenerlos en casa. pero al final los gatos avisan de un incendio que estaba comenzando a producirse y salvan a toda la familia, lo que hace cambiar la opinión del padre.

estos tomos antiguos de disney tienen que ser muy buenos todos, aunque yo tenía fijación por éste en concreto, por haber sido uno de los primeros libros de mi infancia.

los renglones torcidos de Dios

estos días he estado leyendo por segunda vez la novela los renglones torcidos de dios, de torcuato luca de tena. la primera vez que la leí fue allá por el año 2002. yo estaba en la universidad por aquel entonces. me gustó mucho, y sabía que algún día la volvería a leer.

sobre los renglones torcidos de dios hay muy buenas reseñas, como la que escribió geno en su blog el año pasado. yo no pretendo hacer una reseña elaborada; tan sólo voy a hacer algunos comentarios sobre las sensaciones que me ha dejado esta novela en su segunda lectura.

para que tengáis una idea del argumento, quienes no la hayáis leído, os cuento que la historia tiene lugar en un sanatorio mental. la protagonista es una inteligente y atractiva mujer que ingresa en él, supuestamente como enferma de paranoia. ella cree ser una detective que ha recibido la misión de investigar un crimen cometido por alguien de esa institución. los paranoicos se caracterizan por ser capaces de actuar y razonar correctamente en todo, excepto en lo que concierne a su delirio particular.

los personajes principales de esta historia son -además de la protagonista- los médicos, enfermeros y otros trabajadores del sanatorio... y los pacientes. para crear a los personajes de este último grupo de manera que resultaran reales y creíbles, el autor decidió ingresar voluntariamente en un sanatorio mental como enfermo, bajo el pretexto de padecer depresiones. allí pasó unas dos semanas, en las que tuvo contacto directo con enfermos mentales reales, en los cuales están inspirados los enfermos que aparecen en la novela.

a varios de estos pacientes ingresados en el sanatorio donde tiene lugar la historia los recordaba. pero a otros no, y no precisamente por ser menos interesantes. digo ‘interesantes’ en el sentido de que uno se pregunta qué procesos mentales han debido producirse para conducir a una persona a esa enfermedad mental en cuestión. asimismo, algunos pasajes de gran importancia en la trama tampoco los recordaba. o bien sí los recordaba, pero los situaba más hacia el principio o más hacia el final que donde estaban realmente.

esta novela merece ser leída al menos dos veces en la vida. no sólo por su profundidad, sino porque algunas cosas que se dicen en las primeras páginas pueden pasar desapercibidas, pero cobran sentido según avanza la trama. en una segunda lectura -aunque hayan pasado muchos años y sólo se recuerde lo principal del argumento-, se comprende todo mejor desde el principio.

el autor, torcuato luca de tena, quiso crear incertidumbre en el lector respecto a la protagonista, alicia, y lo consiguió de manera admirable. sobre esto hay un comentario que no puedo resistirme a hacer. es un spoiler, así que quienes no hayáis leído esta novela, no lo miréis...

la primera vez, alicia me pareció cuerda casi desde el principio, y sólo hacia el final dudé de si realmente padecía una paranoia. esta vez el proceso ha sido inverso: al principio me parecía que estaba enferma mentalmente -no tanto por las ideas preconcebidas que tuviera, sino por las conclusiones que sacaba de lo que leía-, y a medida que avanzaba la trama me inclinaba más por pensar que estaba sana. pero nunca estaré seguro de una cosa ni de la otra.

dianas

la diana con la que este pitufo está practicando el tiro con arco, quizá no es totalmente regular. su capa más externa -de color azul- es de un grosor aproximadamente igual al radio del círculo central -de color rojo-. sin embargo, la capa intermedia -de color blanco- es de un grosor ligeramente menor.

resulta deseable que las distintas capas o coronas de la diana sean todas de un espesor igual al radio del círculo central. por una cuestión estética, y porque además así sus áreas seguirán una pauta sencilla de formular.

si alrededor del círculo central de la diana vamos añadiendo capas de espesor igual a su radio, dichas capas tendrán un área cada vez mayor cuanto más externas sean. eso quiere decir que será más probable que la flecha o el dardo se claven en las capas más externas que en las más internas, y no digamos en el círculo central. de otro modo no tendría tanto mérito acertar en el centro de la diana.

veamos cómo varían estas áreas, de manera sistemática. empezamos, en primer lugar, por el círculo central, de radio R. su área será igual al producto del número pi por el radio elevado al cuadrado.

añadimos una corona circular alrededor del círculo central. calcular el área de una corona circular es muy sencillo. consiste tan sólo en hacer una resta: el área del círculo mayor menos el área del círculo menor. como se observa en la figura, el círculo mayor tiene un radio de valor 2R, y el círculo menor, contenido en el primero, tiene un radio R. al área del círculo pequeño la hemos llamado A1, y al área de la corona circular de espesor R que hay encerrada entre las dos circunferencias, la llamaremos A2.

así pues, si al área de un círculo de radio 2R le restamos el área de un círculo de radio R con el mismo centro, haciendo unas sencillas operaciones, obtenemos el área A2 de la corona circular que se halla entre medias, que resulta ser la del círculo pequeño multiplicada por 3.

añadimos una nueva corona circular, que seguirá siendo de grosor R. al área encerrada en ella la llamaremos A3. el valor de esta área será la diferencia entre el área del mayor círculo de los que tenemos hasta ahora -de radio 3R- y el área del siguiente círculo avanzando hacia el interior -de radio 2R-.

de manera análoga a como lo hemos hecho antes, calculamos el área A3, que esta vez es igual a 5 veces por la del círculo central de radio R.

vamos a añadir otra corona circular más, con objeto de averiguar una pauta en el valor de las áreas de las sucesivas coronas que se añadan. el valor de su área, denotada como A4, será la diferencia de áreas entre el mayor círculo que tenemos hasta ahora -de radio 4R- y el que era el mayor en el paso anterior -de radio 3R-.

operando, obtenemos que el área A4 es igual a 7 veces el área del círculo central.

como vemos, cada nueva corona tiene un área igual a la del círculo central multiplicada por un número entero. y ese número entero sigue la pauta de los números impares, según vamos añadiendo coronas y alejándonos del centro.

esto no es una extrapolación exagerada, sino que se puede demostrar para todos los casos. si queremos hallar el área A(n+1) de la n-ésima corona que añadimos, le restamos al área del círculo de radio (n+1)R la del radio nR, como lo hemos hecho en los anteriores casos, sólo que esta vez para un número genérico n.

como vimos en una entrada que escribí hace tiempo, la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión de números enteros elevados al cuadrado nos da como resultado el término general de la sucesión de números impares.

así pues, queda demostrado. las coronas que se van añadiendo alrededor de un círculo central y que tengan un grosor igual al radio de dicho círculo, tendrán un área que será la del círculo central multiplicada por el número impar expresado como 2n+1, siendo n el número de coronas o capas añadidas. para la primera (n=1) ese factor multiplicativo será 3; para la segunda (n=2) será 5; para la tercera (n=3) será 7; ...y así sucesivamente.

y por tanto, en una diana, será más probable que los dardos impacten en las coronas más externas, por ser su área cada vez mayor.

esta entrada está dedicada a mi amiga susana -conocida en el foro de esther como yasureh-, por haberme regalado este bonito broche, en el que está bordada la fórmula del área del círculo. mil gracias por el detalle, susana!!

y muchas gracias de verdad a tod@s los que acudisteis a las diferentes quedadas que se organizaron en torno al expocomic, por vuestros regalitos y sobre todo por vuestra buena compañía.

aprender a dibujar

28.01.2009

este libro me lo regalaron hace unos cuatro años. todo empezó porque me puse a buscar en internet información sobre técnicas para aprender a dibujar. encontré unos tutoriales muy interesantes, en los que hacían muchas referencias a este libro, aprender a dibujar con el lado derecho del cerebro de betty edwards. me pareció muy interesante, y por eso lo pedí para reyes. la palabra ‘nuevo’ que veis en la portada escaneada se debe a que se trata de una revisión de la edición original.

además de ser una guía didáctica para aprender a dibujar, es un libro entretenido de leer porque cuenta cosas muy interesantes. empieza explicando, de una manera sencilla y amena, cómo nuestro cerebro está dividido en dos hemisferios, cada uno de los cuales tiene capacidades y modos de percibir diferentes. el lenguaje, el cálculo numérico y la capacidad de razonamiento pertenecen al hemisferio izquierdo. la intuición, la creatividad y todas las formas de expresión no verbal son propias del hemisferio derecho.

el método de la autora se basa en utilizar al máximo las capacidades del lado derecho de nuestro cerebro a la hora de dibujar. la idea es dibujar exactamente lo que vemos en la foto o en el modelo que estemos empleando. lo cual es fácil de decir pero difícil de hacer... por ejemplo: si vamos a hacer un retrato, a dibujar un rostro humano, el lado izquierdo del cerebro tenderá a desagregar las partes que lo componen: los ojos, la nariz, la boca... y los dibujará no como se ven en el modelo, sino según la idea esquemática que tenemos en la mente de lo que son unos ojos, lo que es una nariz, lo que es una boca... y el resultado será que probablemente dibujaremos estos rasgos del rostro desproporcionados y caricaturizados.

por el contrario, el lado derecho percibirá los distintos elementos del rostro tal como los ve en el modelo. el lado derecho no se para a pensar si lo que ve es una nariz o qué es. simplemente se preocupa de dibujar las líneas que representan este rasgo tal como las ve. el rostro o cualquier otra cosa que se esté dibujando se percibe como un todo. por otro lado, el lado derecho del cerebro no tiende a establecer una secuencia lógica a la hora de emprender una tarea, como sería propio del lado izquierdo. por eso, para dibujar no es necesario seguir un orden, pues todas las partes son igual de importantes. siguiendo con el ejemplo del retrato, se puede empezar por el rostro, después los contornos externos de la cabeza, después el pelo... o cualquier otro orden que se prefiera.

una vez explicada esta base teórica, la autora dedica un capítulo a cada uno de los aspectos del dibujo: los contornos, la perspectiva, las luces y sombras, los colores... y en cada uno de ellos pone ejemplos y propone ejercicios para practicar lo que se ha enseñado. el capítulo que más grabado se me quedó fue el de la perspectiva. explicaba que el modelo que utilizamos tenemos que verlo siempre como una proyección en dos dimensiones, y dibujar las líneas con la longitud con que las vemos, no con la que tendrían realmente. volviendo al ejemplo del retrato, si nos basamos en la foto de una persona que está de semi-perfil, aunque nos "extrañe" que un ojo sea más grande que el otro, así es como tenemos que dibujarlo porque así es como se ve bajo ese ángulo. y si nos empeñamos en dibujarlos del mismo tamaño, el resultado final dará una sensación de desproporción.

con este libro no se aprende a dibujar de la noche a la mañana ni mucho menos, pero sí que enseña algunas cosas muy prácticas que hay que tener presentes a la hora de dibujar. y me gusta, sobre todo, porque trata un tema muy interesante como es la manera en que funciona nuestro cerebro. y lo hace de manera amena y entretenida, se puede leer como quien lee una novela.

fantasía

el pasado mes de septiembre se organizó un concurso de relatos en el foro de trini tinturé. debíamos contar nuestro particular sueño de una noche de verano... éste era el mío. una fantasía muy tonta que tenía desde hace años y que convertí en relato...


Una tarde del mes julio había tenido que acercarme al barrio de Atocha a hacer una gestión. Nada más terminar, me disponía a salir de aquel laberinto de calles para encontrar la boca de metro por la que había llegado allí y regresar a casa. En otra época del año quizá me habría quedado un rato paseando por esas calles antiguas de Madrid, pero el calor que hacía no invitaba a ello.

Vi en un paso de cebra a una chica esperando a que no pasaran coches para cruzar. Me fijé en ella y me dije: “Es ella. No hay duda: alta, blanca de piel, pelo castaño, ojos rasgados, labios gruesos... y además recuerdo bien su cara”.

Ese día me encontraba en un estado de ánimo sereno ideal para abordarla. Si me contestaba mal no me afectaría en exceso, y seguramente no tendría más oportunidades de verla. Así que me lancé:

-Esto... Perdona, una pregunta... ¿Tú estuviste estudiando en la escuela de Industriales de la Politécnica, verdad?

-¡Pues sí! ¿Tú también, verdad? ¡Me suena tu cara!

Di un suspiro de alivio por dentro y pensé: “Ha recogido el guante y no me ha hecho sentir ridículo, menos mal”.

-Recuerdo que coincidimos en algunas clases -le expliqué yo-. En 2º de carrera iba a un grupo de tarde. Tú venías a clase de Ampliación de Química y de Métodos Informáticos.

-¡Pues sí, ahora que lo dices, es verdad! ¡Qué buena memoria! -exclamó ella.

-...Y recuerdo que siempre te sentabas delante del todo, en la parte de la izquierda.

-¡Pero bueno, si lo recuerdas mejor que yo misma! Pues sí, justo así era. La verdad es que estuve tres años luchando con asignaturas de 1º y de 2º, pero al final me di cuenta de que no era lo mío y dejé la carrera. Estudié Económicas, y ahora estoy muy contenta.

-Ya me di cuenta de que te habías ido de la escuela, porque no te volví a ver. Cuando estás allí, te da pena que la gente se vaya -le dije, y de inmediato sentí apuro de que se diera cuenta de que la tenía en mi punto de mira como un ‘amor platónico’-. Pero bueno, es una carrera muy dura -añadí, tratando de borrar el efecto de mi frase anterior-, y si no se está muy motivado es mejor buscar otra cosa.

-Claro que sí. Oye, vivo justo ahí al lado -dijo señalándome un edificio antiguo pero bien conservado-. ¿Por qué no subes a mi casa y seguimos hablando allí? Estoy sola, vivo con mis padres y ahora están de viaje.

Me dio un vuelco el corazón. Debí de haberle inspirado mucha confianza para que me invitara a subir a su casa. Con algo de temor, pero consciente de que era una oportunidad de hablar con ella y conocerla mejor, y de intercambiar nuestros datos de contacto, acepté.

-Ah... Pues bueno... ¡Venga, vale! -le dije, tratando de que no se notara mucho el temblor en la voz.

Por lo que había visto hasta ese momento, esa chica había cambiado para bien. Ahora era muy abierta y jovial, mientras que hace años, cuando estaba en la escuela, parecía muy seria y tímida. Eso era en parte lo que me inhibía en su momento para entablar conversación con ella.

Y además, estaba más atractiva. Antes iba siempre con una sudadera -o una camiseta si era verano-, un pantalón de pana blanco y unas deportivas. Hoy llevaba una camiseta de tirantes, un pantalón pitillo por media pierna y unas sandalias. Y tenía un peinado ondulado muy bonito, mientras que antes siempre llevaba el pelo muy liso y sin gracia.

Mientras subíamos al piso, le pregunté:

-Ah, por cierto, creo recordar que tú te llamabas María, ¿verdad?

-¡Ahí va, de eso también te acuerdas! -dijo ella, riendo-. ¿Cómo lo sabías?

-No me acuerdo bien -repliqué yo-. Supongo que escuché a alguien llamarte por tu nombre y se me quedó...

-¿Y tú cómo te llamas, a todo esto?

-Chema. Jose María, vamos, pero prefiero Chema, que lo otro es demasiado formal.

Llegamos a su piso. Nos dirigimos a su habitación. Había un amplio sofá-cama, y me invitó a sentarme. Ella se descalzó y se sentó con las piernas cruzadas.

-¿Tú estás en Facebook? -me preguntó.

Pensé: “¡Esto es telepatía! ¡Qué bien, no se lo he tenido que preguntar yo!”.

-Sí que estoy. Aparezco como Chema Sc. Pero ahora te paso mi dirección de correo, y así me encontrarás más fácilmente.

-¡Fenomenal! Yo estoy como Maria Soñadora.

-Mejor así, que sepamos directamente cómo encontrarnos. Es difícil buscar a gente a través de las listas de amigos de otras personas. Las amistades que se hacen en la universidad quizá no dejan tanta huella como las del colegio. Buscas a una persona en la lista de amigos de alguien, y si no la encuentras, a saber si es porque no tiene Facebook, o porque esas dos personas han perdido el contacto y no están agregadas...

Quizá estaba dejando entrever que había intentado buscarla en Facebook a través de los perfiles de amigos que ella había tenido en la escuela y que yo conocía. No para mandarle una solicitud de amistad, sino para ver si tenía una foto actual suya como imagen de perfil... Los amores platónicos de juventud son así de tontos.

Estuvimos hablando hasta que se puso el sol, de todos los temas que surgían: de la escuela de industriales en la que habíamos coincidido, de su facultad de económicas, de las becas y los trabajos... Teníamos mucha química, parecía que nos conocíamos de toda la vida.

Se hacía tarde y tenía que regresar a casa. Me acompañó al portal. Nos despedimos dándonos un par de besos. Era palpable que ambos lo habíamos pasado muy bien. Teníamos anotados nuestros datos -número de teléfono, dirección de e-mail, nick de Facebook-, por lo que a partir de entonces podíamos mantener el contacto si queríamos.

Llegué a casa y cené, aunque estaba inapetente. Tenía el estómago cerrado por la emoción. Había hablado con la chica que me gustaba tantos años atrás, y además nos habíamos hecho muy amigos. Teníamos una gran afinidad. Parecía todo ello un sueño.

Cuando terminé de cenar, encendí el ordenador y miré el correo. Entre los nuevos mensajes, me saltó a la vista uno que decía:

“Maria Soñadora quiere que la aceptes como amiga en Facebook”.

No, no había sido un sueño entonces...

juguetes

19.02.2009


esta casa de muñecas se la regalé a mi madre por su cumpleaños. para hacerle la foto he retirado las cosas que había sobre el comodín donde está. pero esas dos muñequitas que veis, aunque no forman parte de la casa, las he dejado porque quedaban bien ahí.

la casa se puede abrir por la parte de delante. además, cuando tiene activado un interruptor, se ilumina por dentro, tiene música y se mueven las figuras.

verdad que es bonita? parece 13 rue del percebe.

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28.10.2008

a mi madre y a mi hermana les gustan los peluches de animales, y por eso en casa tenemos unos cuantos. algunos se los he regalado yo y otros se los han auto-regalado ellas. la verdad es que es un buen regalo para una chica. son bonitos y no suelen ser excesivamente caros.

se me ha ocurrido sacarlos de los armarios y las estanterías donde estaban, y hacerles una foto a todos juntos. los he ordenado según el tamaño que estos animalitos tienen en la realidad, para que de ese modo se note menos que el tamaño de los peluches no está precisamente a escala. un conejo más grande que un hipopótamo o un rinoceronte, va a ser que no...

de los que compré yo, el tigre, el león y la cebra son de imaginarium; y el conejo es de así.

mis preferidos son el rinoceronte y el hipopótamo. me hacen gracia por esos ojos tan angelicales que tienen.

infinitos

he de reconocer que la chispa que despertó mi afición por las matemáticas no fue otra cosa que un ejercicio mal planteado que nos mandó hacer para casa el profesor en 7º de egb.

para entender qué problema había, qué pasaba con aquel ejercicio, antes vamos a repasar algunos conceptos...

para resolver una ecuación de primer grado, hay que separar los términos multiplicados por la incógnita x y los términos independientes. para ello, se pasan los ‘términos en x’ a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro.

cuando pasamos cualquier término al otro lado de la igualdad, le cambiamos el signo: si estaba sumando, lo pasamos restando; y si estaba restando, lo pasamos sumando.

aquí tenéis un ejemplo que me he inventado sobre la marcha. es un ejercicio didáctico para que se vea claro cómo se ponen juntos los términos en x a un lado y los términos independientes a otro, y cómo se despeja la incógnita.


al final queda una igualdad de la siguiente forma: una cantidad multiplicada por la incógnita x es igual a otra cantidad. se despeja x dividiendo el término independiente del lado derecho de la igualdad entre la cantidad que multiplica a x.

ahora ya puedo hablaros de aquel ejercicio mal planteado. se trataba de una ecuación de primer grado cuya resolución conducía al siguiente resultado: x era igual a 1 dividido entre 0 (1/0). a todos los que la hicimos bien nos desconcertó, pues nunca se nos había presentado el caso de dividir entre 0.

cómo puede ser que una ecuación de primer grado lleve a una división entre 0? pues bien, eso sucede cuando, tras juntar los términos en x y los términos independientes a uno y otro lado de la ecuación, la suma de los coeficientes que multiplican a x es 0, mientras que la suma de términos independientes es un número distinto de 0.

he preparado un ejemplo de ecuación en la que se obtiene al final la igualdad 0·x=1, de donde falsamente se deduce, despejando como se hace normalmente, que x es igual a 1/0. la idea sería la misma si en lugar de 1 fuera cualquier otro número dividido entre 0 (menos el propio 0, el caso 0/0 es diferente y lo veremos después).

dividir un número entre 0 es algo que desafía a la razón. 1/0 es la solución de una ecuación de la forma 0·x=1, como hemos dicho. pero eso es imposible, porque cualquier número multiplicado por 0 da como resultado 0. de hecho, esa ecuación lo que nos estaría diciendo es que 0 es igual a 1. es una contradicción.

y qué ocurre si no sólo son los coeficientes en x los que suman 0, sino también los términos independientes? he preparado un nuevo ejemplo en el que se da este caso. la ecuación, separando los términos en x y los términos independientes, nos conduce a la igualdad 0·x=0.

despejando de la forma habitual, diríamos que x es igual a 0/0. alguien podría decir que esta fracción equivale a 0, pues si el numerador es 0, da igual cuál sea el denominador. pero eso no es así. 0/0 es una indeterminación, puede tomar cualquier valor. porque 0/0 es la solución de la ecuación 0·x=0. cuál es el número que multiplicado por 0 da 0? cualquiera, hay infinitas soluciones. de hecho, esa igualdad equivale a decir que 0 es igual a 0, lo cual es totalmente cierto, pero no nos aporta nada nuevo.

estos casos límite en las ecuaciones me hacen recordar ciertos conceptos filosóficos. la ecuación que aparentemente da como resultado x=0/0 es una tautología, algo que a priori siempre es verdadero. por otro lado, la ecuación de la que aparentemente se obtiene x=1/0 es una contradicción, nunca se puede cumplir. como habría dicho wittgenstein, la primera corresponde a cualquier estado de cosas, y la segunda no corresponde a ningún estado de cosas.

se dice que 1/0 (el numerador puede ser 1 o cualquier otro número distinto de 0) es infinito. en sentido estricto, eso es incorrecto: 1/0 no es nada, es un sinsentido. ahora bien, otra cosa es dividir 1 entre un número que se aproxime a 0. cuanto más pequeño sea el denominador de una fracción, mayor se hará el cociente. en la siguiente tabla se muestra el valor que va tomando el resultado de dividir 1 entre valores cada vez más pequeños.

x----------------1/x
1..................1
0.1...............10
0.01.............100
0.001..........1,000
0.0001........10,000
0.00001......100,000
0.000001...1,000,000

como el valor de la fracción aumenta cuando el numerador se mantiene y el denominador se va aproximando a 0, uno se siente tentado de decir que cuando el denominador llega a ser 0, el resultado de la división es infinito. podemos decirlo de manera ‘informal’, para entendernos, pero siempre teniendo presente que el infinito no es un número y por tanto no se puede tratar como tal.

si se representa la función y=1/x, es fácil observar que en x=0 diverge totalmente. es más: así como para valores de x cercanos a 0 y positivos la función tiende a infinito, para valores próximos a 0 y negativos, la función tiende al infinito con signo negativo, ‘menos infinito’, para entendernos. pero, para las cosas que estoy contando en esta entrada, prefiero centrarme en los infinitos positivos.

en esta gráfica he representado la función 1/x en un entorno relativamente cercano a 0, al origen de coordenadas. pero ya es suficiente para observar la divergencia cuando x se acerca a 0.

el hecho de que 1/0 represente una idea parecida a la del infinito explica la ecuación contradictoria que se obtenía: 0·x=1. cualquier número, por grande que sea, si se multiplica por 0 se obtiene como resultado 0. pero el infinito, de existir tal concepto, sería algo tan grande y tan inconmensurable que al multiplicarlo por 0 todavía quedaría una cantidad distinta de 0.

hay otra manera de verlo: imaginemos, por ejemplo, el número de moléculas de agua (numerador) en un determinado volumen de agua (denominador). si tomamos un volumen visible a nivel macroscópico, habrá miles de millones de moléculas. a medida que disminuimos el volumen que tomamos como muestra, habrá menos moléculas, aunque seguirá habiendo muchas. si llegamos a un nivel microscópico, el número de moléculas ya empezará a ser un poco más concebible para nuestra mente. y si reducimos tanto el volumen de la muestra que lo hacemos 0, cuántas moléculas habrá? pues habrá 0 moléculas. por muy grande que sea la densidad de moléculas por volumen, en un espacio nulo no habrá ninguna.

la fracción 1/0 nos estaría diciendo, siguiendo con el mismo ejemplo, que para un volumen nulo hay una molécula, lo cual es imposible y carece de sentido en la realidad. el infinito, de existir, sería algo tan grande que aunque se redujera al mínimo la extensión en la que se está repartiendo, seguiría quedando cierta cantidad distinta de 0 para esa extensión nula.

y este mismo ejemplo, ya puestos, también sirve para mostrar el carácter indeterminado de la fracción 0/0. en un volumen 0 hay 0 moléculas. eso es una obviedad que siempre se cumple y no nos da ninguna información sobre la densidad de moléculas por volumen, en este caso. ya sabemos todos que en ‘la nada’ no hay nada.

en fin, a estas cosas les daba vueltas y más vueltas cuando tenía 13-14 años. siempre me han gustado los casos límite, en todo. :D a veces un caso límite es lo que despierta curiosidad por un tema...