períodos

si probáis a dividir la unidad entre los sucesivos números primos, comprobaréis que, salvo en el caso del 2 y del 5, os saldrán resultados con infinitos decimales que forman una pauta periódica.

 1/2 = 0.5

 1/3 = 0.3333...

 1/5 = 0.2

 1/7 = 0.142857...

1/11 = 0.090909...

con el 7 nos ha salido un periodo de seis cifras. pero en cambio el 11 no es tan antipático, pues nos ha dado un periodo mucho más sencillo.

con los siguientes, nos saldrán unas ristras de decimales cada vez más espantosas.

1/13 = 0.076923...

1/17 = 0.0588235294117647...

1/19 = 0.052631578947368421...

1/23 = 0.0434782608695652173913...

1/29 = 0.0344827586206896551724137931...

1/31 = 0.032258064516129...

después de haber obtenido estos periodos imposibles de memorizar, fijaos en lo que ocurre con el 37:

1/37 = 0.027027027...

un periodo de sólo tres cifras! qué tiene de especial el número 37 para que resulte tan amable al dividir entre él?

fijaos: al multiplicar 3 por 37 obtenemos el número 111, muy simétrico y capicúa.

y 111·9 es 999. en esta entrada explicábamos cómo al dividir entre un número formado por nueves, el periodo obtenido tenía tantas cifras como nueves tuviera el divisor.

999 es igual a 3³·37 = 27·37. por tanto, 1/37 será igual a 27·(1/999) = 27·0.001001001 = 0.027027027...

el factor primo 37 está presente en los números de tres dígitos en los que dichos dígitos son iguales. estará, por tanto, en el número diabólico, 666. ;) su descomposición en factores primos es 2·3²·37.

así que, a partir de ahora, el 37 lo veréis con otros ojos. ah, y es mi edad, a todo esto.