miércoles, 29 de septiembre de 2010

dibujo geométrico

30.04.2009

hace poco nuestra amiga candela escribió esta interesantísima entrada sobre el museo arqueológico de dublín. me llamó la atención la fotografía de la rotonda del edificio, y en especial el diseño del suelo, con los doce signos del zodiaco dibujados sobre doce circunferencias distribuidas radialmente alrededor de una gran circunferencia.

me recordó a los dibujos que hacíamos en la asignatura de dibujo técnico de c.o.u. con un lápiz, un compás, una escuadra y un cartabón. sabiendo unas pocas propiedades geométricas, dibujábamos sin gran esfuerzo unas figuras de gran belleza. era una asignatura que nos gustaba y se nos daba bien a todos, quizá gracias al profesor, que explicaba muy bien y era muy cercano con todo el mundo.

en c.o.u. al principio elegí como asignaturas matemáticas, física, química y biología. pero tras el primer trimestre cambié la biología por el dibujo, porque me hicieron ver que para lo que yo iba a estudiar, el dibujo me iba a resultar más útil. los profesores se portaron muy bien al dejarme hacer ese cambio, y el profe de dibujo me dijo que me ayudaría en todo lo que hiciera falta para ponerme al día. era un señor majo de verdad.

la verdad es que al principio no había querido elegir dibujo por miedo, porque se me daba mal (o eso creía yo), y luego fue la asignatura en la que mejor nota tuve en los exámenes de selectividad. paradojas de la vida.

bueno, pues la entrada de candela me ha inspirado para intentar dibujar por mi cuenta el diseño de la rotonda del museo nacional de dublín. para ello sólo se necesita lápiz, compás y regla. ni tan siquiera escuadra y cartabón. y la regla se utiliza sólo para trazar líneas rectas, no hay que hacer ninguna medición.

en primer lugar, se traza una circunferencia de unos 6-7 cm de radio. lo digo como algo orientativo, para que todo el dibujo quepa en el ancho de un folio. a continuación, manteniendo la misma abertura del compás, se pincha sobre la circunferencia y se traza un pequeño arco sobre ella. desde el punto de corte de ese arco con la circunferencia, se pincha y se vuelve a hacer otro arco. y así sucesivamente, se repite el proceso seis veces, y si lo hemos hecho bien volveremos al punto donde hemos pinchado por primera vez.

aunque no es estrictamente necesario, se puede dividir el círculo en seis partes iguales (en seis gajos, si queréis :D) trazando líneas que unan esos puntos de corte que hemos marcado con el compás, pasando por el centro de la circunferencia. hecho esto, ahora más difícil todavía: vamos a dividir el círculo en doce partes, y para ello trazaremos las bisectrices de los seis arcos en los que lo hemos dividido.

desde cada uno de los dos extremos de los seis arcos en los que hemos dividido la circunferencia, pinchamos y trazamos dos pequeños arcos con el compás, del radio que queramos, siempre que se corten en un punto. desde ese punto de corte trazamos una línea que pase por el centro del círculo y que lo atraviese. ya tenemos dos sectores o 'gajos' divididos: el sector por el que hemos empezado, y el diametralmente opuesto. repitiendo ese proceso otras dos veces más, por el orden que queramos, ya tenemos el círculo dividido en doce partes iguales.

ahora podemos unir cada uno de los puntos que delimitan los doce arcos de la circunferencia con el siguiente, y sin darnos cuenta, hemos dibujado un polígono de doce lados. ahora vamos al siguiente paso, que es dibujar las doce pequeñas circunferencias que hay alrededor de la circunferencia base. sus centros estarán en los vértices del dodecágono. y qué radio tendrán para que sean tangentes entre sí? el radio será la mitad del lado del dodecágono, y para hallarla gráficamente trazaremos la mediatriz de ese lado.

la mediatriz se determina de forma similar, en cierto modo, a la bisectriz. pinchamos con el compás en cada uno de los extremos del lado y trazamos arcos de cualquier radio, que se corten en un punto. desde el punto de corte de esos arcos y pasando por el centro de la circunferencia, trazamos una línea, y ésa es la mediatriz.

para trazar cada una de las doce pequeñas circunferencias, pinchamos con el compás en el vértice del dodecágono, y lo abrimos hasta que toque con la mediatriz del lado. ya tenemos el radio de esas circunferencias, que es el mismo para todas, con lo cual sería suficiente hacer la mediatriz de un lado. sin embargo, yo lo he hecho con todos para que se vea más claro. pues como digo, con el radio que hemos obtenido, vamos pinchando en los vértices y trazando las doce circunferencias.

algunas líneas las he trazado de manera algo diferente a como lo he contado para que el dibujo sea lo más auto-explicativo posible. al ser una figura bastante simétrica y regular, hay muchos métodos alternativos para determinar las bisectrices, mediatrices y demás.

el último paso, que ya es el más fácil, es trazar dos circunferencias que envuelvan a las doce pequeñas circunferencias por dentro y por fuera. para ello nos fijamos en uno cualquiera de los radios que hemos trazado para dividir el círculo en doce partes iguales. pinchamos en el centro y lo abrimos hasta el punto en el que el radio corta a una de las pequeñas circunferencias por la parte de dentro. ya tenemos el radio de la circunferencia interior, ya sólo queda trazarla.

y para trazar la circunferencia envolvente exterior, pues se hace algo análogo. pinchando en el centro de la circunferencia base, se abre el compás hasta donde el radio corte a una de las circunferencias chiquitinas por la parte exterior. se traza y... ya está! os gusta cómo ha quedado? :D

bueno, a quien haya sido capaz de leer este post entero, no sé que le daré... una medalla es poco... un óscar! :D a la más paciente o algo así. ;)

12 comentarios:

  1. Vale el premio aunque no me haya enterado muy bien de la explicación, Chema? A mi lo que me parece realmente curioso, es cómo personas que apenas tenían medios, consiguieron realizar esta clase de mediciones tan perfectas y llegar a tales conclusiones. Porque en cierta forma, lo relativamente fácil es entenderlo, lo difícil es descubrirlo. Repito e incido en lo de "relativamente", porque yo con todos los medios del mundo, na de na... :SSS

    Besos!!

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  2. Yo sí me lo he leído entero, y me parece de agradecer que hagas un tutorial a partir de la entrada de candela.
    Blas tiene razón.......lo curioso es cómo lo diseñaron..........pero en realidad lo que me parece de verdad muy curioso es el hecho de quea tí te haya provocado curiosidad haciendo un análisis y enseñándolo después.Generalmente las cosas nos pasan delante de nuestros ojos y no las vemos......tú las ves con otros ojos.....ojos de curioso.

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  3. Chema, yo lo he leído pero no voy a intentarlo, me basta con ver tu resultado :). Me llama la atención en que hayas reflexionado sobre ello hasta el punto de reproducirlo, tu mente es ciéntifica, sin duda.
    Las asignaturas que elegiste eran como yu-yu para mí, tan solo coincidimos en biología.
    Un beso.

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  4. ¿Qué me vas a dar? lo he leído enterito, enterito.
    Precioso dibujo que puede servir de base a una estupenda pintura.

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  5. Que gracia me ha hecho leer esta entrada. Cuando mi hija (que comienza este año con la geometría y tiene su primer compás) no entienda como hacer un hexagono, le pondré este post, jejeje
    Por cierto pa rizar más el rizo, y como veo que te gusta el dibujo técnico tanto como a mí, te dejo un reto:
    Dividir una circunferencia (o trazar un polígono regular)en un número impar de partes, de manera que no se forme con el múltiplo de otro polígono. Por ejemplo dividirla en 11 partes :)
    Seguro que lo sabes, pero por si acaso te dejo una pista: Teorema de Tales :)

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  6. Riesgho, eres la leche, ya me estoy imaginando a Chema babeando de gusto con tu reto. xDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
    Estoy a la espera del próximo post con tu reto contestado, analizado y explicado al detalle.... Mucho está tardando Chema!!!

    Besos!

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  7. blas, como bien dices, lo que impresiona es cómo descubrían las propiedades geométricas. además la geometría es algo que viene de las civilizaciones más antiguas: los egipcios, los griegos... y los matemáticos de esos diferentes pueblos coincidieron en algunos de sus descubrimientos. aquel post de mi antiguo blog sobre las pirámides, un día de estos lo rescataré también! ;)

    olatz, la verdad es que siempre que veo figuras que formen alguna pauta geométrica, por ejemplo en las baldosas, me paro a pensar en cómo se dibujarían: "se trazaría un arco de circunferencia de 90º pinchando aquí; luego otro arco tangente al primero pinchando allá...". este tipo de dibujo geométrico es muy bonito, porque sabiendo unas pocas propiedades salen unas figuras muy chulas. :)

    wendy, lo curioso además es que en esta figura de doce pequeñas circunferencias tangentes entre sí y envueltas entre dos grandes circunferencias, tienen siempre la misma proporción de tamaños. si yo lo volviera a hacer, o si alguien lo hicera por su cuenta (con o sin ayuda de mi mala explicación :D) le saldría un dibujo idéntico!

    inma, la figura es muy bonita en sí (no mi dibujo lleno de rayajos :D), y para dibujarla sólo hay que saber que el lado de un hexágono inscrito en una circunferencia es igual al radio. el resto sólo son bisectrices y mediatrices, prácticamente.
    y hablando de premio, te voy a mandar por correo un par de cositas que creo que te van a gustar. :)

    riesgho, al rescatar ayer esta entrada antigua me acordé de ti, porque sé que has estudiado dibujo y que te gusta. :) lo que me planteas es todo un reto, y no voy a negarte que así, a priori, me has pillado. :D a ver, lo que conozco del teorema de tales es aquello de la semejanza de triángulos y de dividir una línea recta en tantas partes iguales como tú quieras. por otro lado he consultado, y tambien está relacionado con tales el tema de los 'arcos capaces' de las circunferencias, y creo que por ahí pueden ir los tiros...
    yo sé trazar algunos polígonos regulares gráficamente, que en fondo viene a ser lo mismo que dividir una circunferencia en partes iguales. sé hacer el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono (que es más complicadillo), el hexágono, el octógono (que realmente no cuenta porque ya es un "múltiplo" del cuadrado, se hace trazando sus bisectrices),... y ya. el resto los sabría hacer con el medidor de ángulos, que ya es un método aproximado.
    de todos modos, pensaré en ello, y aunque no llegue a la solución, de momento ya está asegurado que esta entrada tendrá su continuación!! :D gracias por este interesante reto susana, me lo voy a pasar bien, jejeje. ;)

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  8. Chema, qué pena no tener la dirección de tu antiguo blog de pirámides.
    Me hace gracia lo de las baldosas porque yo pensaba que era una chaladura que solo la tenia yo.
    Me encantan las repeticiones modulares a partir de una sencilla forma......es increible todas las posibilaidades que se disparan.
    Cómo eres......nos contestas a todos en los comentarios.

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  9. olatz, es que antes tenía un blog de hotmail (de lo que ahora se llama live spaces), pero me pasé a blogger. al cabo de un tiempo el antiguo blog lo tuve que cerrar al público, y ahora estoy rescatando algunas entradas de allí.
    era un blog con los mismos temas que ahora, pero en distinto formato. mis paranoias matemáticas mezcladas con otros temas variados. :D y un día escribí una entrada sobre las pirámides de egipto desde el punto de vista de su geometría... y esa entrada también la reescribiré aquí un día de estos. ;)

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  10. Si es que el dibujo nunca ha sido lo mio... XDDD

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  11. Bueno, yo esta vez no me gano nada, porque empecé a leerlo con mucho inte´res y entendiéndolo todo, pero me fui perdiendo (será por la hora...) y he desistido. No lo voy a conseguir entender!! El dibujo muy chulo, me recuerda a los mandalas que le fotocopio a Silvia para que pinte. Le encantan!
    Besos Chema, eres un maestro (de cualquier cosa te haces un post!)

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  12. geno, ya será menos! tanto para el dibujo artístico como para el técnico se necesita intuición, y tú de eso tienes mucho, eres muy intuitiva. y seguro que en algún concurso de dibujar del foro lo has hecho muy bien. ;)

    rosana, en realidad es que la explicación no está muy bien, la escribí muy espontáneamente según la pensaba, jejeje. y ayudaría un poco más si alguien me viera haciendo esos pasos sobre el papel a medida que los explico. un día voy a hacer otro post de dibujo técnicc de estos, pero mostrando no sólo el resultado final, sino los pasos intermedios! :D

    besos!

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