números tramposos

mi modesta experiencia como profesor particular me ha enseñado que siempre se debe comprobar que una ecuación de 2º grado está bien resuelta. no hay que confiarse y dar por hecho que está bien sólo porque la raíz cuadrada que aparece en la famosa fórmula nos haya salido exacta.

con un ejemplo se entenderá mejor lo que quiero decir. resolvemos una ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones...

pero puede que por error cambiemos el signo del ‘discriminante’ -palabra en desuso que se refiere a lo que hay dentro de la raíz cuadrada-, y sumemos cuando tenemos que restar o viceversa. y tal vez se dé el caso de que aunque nos hayamos equivocado nos siga saliendo una raíz exacta. eso no significa que esté bien.

y es que hay números engañosos, números tramposos, que tanto al sumarlos como al restarlos el resultado es un número con raíz cuadrada exacta -lo que en los libros antiguos de matemáticas llamaban ‘cuadrado perfecto’-.

vamos a intentar obtener una fórmula para generar parejas de números enteros que tengan esa propiedad: tanto si se suman como si se restan, el resultado será un número con raíz exacta.

llamaremos a y b a una pareja de esos números. queremos que cuando se sumen el resultado sea un número entero al cuadrado, al que llamaremos c². y cuando se resten, el resultado deberá ser otro entero al cuadrado, que denotaremos como d². operando de manera similar a cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, obtenemos que a y b serán respectivamente iguales a la suma y a la diferencia de c² y d² dividida entre 2.

por tanto, ya sólo nos queda dar valores enteros a c y d para obtener esas parejas de ‘números tramposos’. como la fórmula que hemos obtenido va dividida entre 2, queremos asegurarnos de que tanto la suma como la diferencia de c² y d² sean pares, y que de ese modo al dividir entre 2 salga un número entero. y para que la suma o diferencia de dos números sea par, ambos deben ser de la misma paridad: o los dos pares o los dos impares.

no queremos tampoco que ninguno de nuestros números tramposos sea negativo, porque eso crearía confusión y se incurriría en duplicidades. al fin y al cabo, sumar un número negativo es como restar un número positivo, y restar un número negativo es como sumar un número positivo. por ello, impondremos la condición adicional de que c sea mayor o igual que d.

en la tabla que hemos construido, observamos que hay dos tipos de casos obvios:

1) a y b son iguales, y su valor es la mitad de un número con raíz cuadrada exacta. por tanto, su suma será igual a dicho número con raíz exacta, y su resta será cero. en ambos casos son cuadrados perfectos.

2) a es un número con raíz cuadrada exacta y b es igual a 0. tanto si sumas como si restas cero, el resultado será igual al cuadrado perfecto en cuestión.

pero los casos verdaderamente interesantes son aquéllos en los que a y b son diferentes entre sí y ninguno de ellos es cero. y a la vista de la tabla, existe una sucesión infinita de parejas de números tramposos:

(5,4), (10,6), (13,12), (17,8), (20,16), (26,10), (25,24), (29,20), (37,12), (34,30), (40,24), (50,14), (41,40), (45,36), (53,28), (65,16), (52,48), (58,42), (68,32), (82,18), (61,60), (65,56), (73,48), (85,36), (101,20), ...y muchos más...

y se puede comprobar que, efectivamente, tanto si se suman como si se restan el resultado es un número con raíz cuadrada exacta:

con esto creo que ha quedado claro el mensaje para los estudiantes: repasad bien las ecuaciones, porque de eso depende que saquéis una buena nota en el examen. además es más sencillo que repasar los cálculos de un astrónomo. ;)