contornos

por el título parece que voy a hablar de contorno de ojos o algo así. ;)

en la aventura el astropitufo, el protagonista levanta una valla para poder construir sin que le molesten la nave espacial con la que viajará a otros planetas. cada uno tiene sus hobbies... el área limitada por la valla del pitufo es cuadrada, o rectangular quizá. si hubiera querido abarcar la máxima área posible con el mismo perímetro -a efectos prácticos, el mismo número de listones de los que está formada la valla-, tendría que haberla construido de forma circular.

pero vayamos por partes. cuanto mayor es el número de lados de un polígono, para un mismo perímetro, mayor será su área. y vamos a demostrarlo. un polígono regular de n lados se puede desgajar en n triángulos isósceles. el área del polígono será la suma de las áreas de estos triángulos. el área de un triángulo es, como sabemos, el producto de la base por la altura dividido entre 2.

la base de cada triángulo es el lado del polígono, l. la altura a -también llamada apotema- no la conocemos, pero la podemos calcular relacionándola con la tangente del ángulo α opuesto a la base -para ser más exactos, la mitad de ese ángulo-. recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente del ángulo es igual al cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo.

vamos a hacer algunos arreglos en la fórmula que acabamos de obtener. el lado lo expresaremos como el perímetro dividido entre el número n de lados, y el ángulo como una vuelta completa (360º, es decir 2·π radianes) dividida también entre el número de lados.

por tanto, nuestra fórmula para el área de un polígono será A = p²/[4·n·tg(π/n)]. el numerador, p², es constante ya que la comparación entre los polígonos de diferente número de lados la hacemos manteniendo constante el perímetro. en el denominador n aumenta, pero por otro lado tg(π/n) se hace cada vez más pequeño cuando más grande se hace n. el decrecimiento de la función tangente ‘puede más’, y por eso el denominador globalmente disminuye con n. si el denominador disminuye el cociente aumenta, y con eso queda demostrado que a mayor número de lados, mayor es el área de un polígono.

cuantos más lados tiene un polígono, más se aproxima a una circunferencia, más se ‘redondea’. por ello, podríamos decir que la línea cerrada que contiene el área máxima es la circunferencia. vamos a calcular el área encerrada dentro de una circunferencia, o dicho de otro modo, el área del círculo. para ello integramos infinitos ‘gajos’ de ángulo infinitesimal dα, que se asemejan a triángulos de base R·dα y altura R -siendo R el radio de la circunferencia-.

el área del círculo expresada en función del perímetro del que disponemos es p²/(4·π), mayor que la de cualquier polígono. en consecuencia, para cualquier acción que vaya desde construir un muro con una cantidad prefijada de materiales hasta sentarse en corro un número determinado de personas, para abarcar la máxima área posible, la forma ideal que debe adoptarse es la circular.

tras estas divagaciones, os deseo unas felices fiestas. no trabajéis demasiado... al menos no tanto como el pitufo, que sólo vive para construir su nave espacial. :P