miércoles, 7 de septiembre de 2016

otra de baldosas


una tarde de las vacaciones de verano en la que estaba un poco aburrido, me fijé en las baldosas del comedor de la casa de mi abuela. cada baldosa tiene dos franjas en ángulo recto en forma de L. me pregunté cuál sería la anchura de esas franjas en proporción con el lado de la baldosa.

hay que darse cuenta de que el lado de los cuadrados rojizos (en posición girada ◊) tiene la misma longitud que el lado de los cuadrados negros (en posición recta □) que se forman por cada cuatro baldosas juntas.

sabiendo eso, se puede plantear una ecuación. llamaremos l al lado de la baldosa y x a la anchura de la franja que queremos calcular. la diferencia de ambas longitudes será l–x, que es el lado del cuadrado de fondo blanco en cuyo interior se aloja el cuadrado más pequeño de color rojo.


si nos fijamos bien, nos daremos cuenta de que el lado del cuadrado rojo es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado blanco. y la diagonal de un cuadrado es igual a su lado multiplicado por la raíz cuadrada de 2. por tanto, el lado del cuadrado rojo será (l–x)·√2/2.

el lado del cuadrado negro es igual al doble de x, la longitud que estamos buscando. obligamos a que 2x sea igual a (l–x)·√2/2, y despejando x obtenemos qué fracción representa respecto a la longitud de la baldosa: x=[√2/(4+√2)]·l. algo más de la cuarta parte de la longitud l.

vamos a racionalizar el cociente √2/(4+√2), multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador. de esa manera, obtendremos una expresión que nos será más cómoda para trazar gráficamente la longitud representada por esa combinación de números.


la longitud x la hemos transformado en [(2√2–1)/7]·l. vamos a analizar esa expresión, teniendo en cuenta que l aparece como factor común.

si multiplicamos l por √2, obtenemos la diagonal de un cuadrado de lado l. si multiplicamos por 2, simplemente duplicamos la longitud de esa diagonal. a continuación, le restamos la longitud original. y por último, dividimos entre 7 la longitud obtenida tras las operaciones anteriores, mediante el teorema de tales.


ya podemos reproducir el dibujo del mosaico del que hablábamos al principio. primero a lápiz...


después pasamos a tinta: en negro los contornos de las baldosas, y en gris los límites de sus dibujos interiores.


y por último coloreamos. me he tomado algunas libertades respecto al modelo original, pero bueno...

15 comentarios:

  1. Chema, eres la leche, menuda lumbrera. Estoy mareada de tanto número, jajajajaja. Yo es que soy de letras puras, admiro esa capacidad, yo sacaba buenas notas en mate porque me empeñaba mucho pero me cuesta un huevo, no está en mi naturaleza. Chapeau, debes ser un profesor buenísimo.
    Besos

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  2. Eres increíble, chema, cada día me dejas más alucinada, hasta con las baldosas de tu abuela eres capaz de sacar conclusiones y llenarte de números, me doy cuenta hasta dónde puede llegar tu inteligencia, tan inquieta y que no cesa de pensar, siempre trabajando.

    Me han gustado tus mosaicos.

    Un beso.

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  3. celia, se intenta, jeje. este curso una alumna mía con la que llevo ya dos años va a hacer 4º de eso, lo que antes era 2º de bup. voy a tener que explicar trigonometría, límites de funciones... tendré que ir entrenándome. ^_^

    amapola, gracias! colorear relaja mucho. no te animas tú a hacer algún dibujo de estos? ;)

    maría, siempre me fijo en los dibujos de las baldosas. la gente que me conoce, cuando ven algún mosaico con dibujos geométricos lo comparten en mi muro de facebook, vaya fama tengo, jeje.

    besos!!

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  4. Madre mía, qué locura... Yo me mareo con tanto número. Jajajaja. Cómo envidio a los que tenéis mente científica. Besotes!!!

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  5. Lo que dijimos Chema, tú ves y vas más allá, yo sólo disfruto de los dibujos o de la presentación si está o no en armonía.
    Te felicito por esa facilidad o cualidad de ver algo más que unos simples adoquines.

    Mil besitos.

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  6. Tengo la boca hasta el suelo, flipo contigo. Yo miro las baldosas y sólo veo eso, baldosas y tú ves el teorema de Pitagorás, en fin, es lo que tiene ser un genio chico. Yo soy más simple que el mecanismo de un botijo.
    Te envidio, siempre lo he hecho con las personas que sois un as en mates, yo he sido siempre nula. Lo bien que me hubieras venido con las clases de estadística de la uni
    Besotes profe

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  7. álter, yo mismo me he mareado un poco al escribirla, cuando explicaba los cálculos. por un momento he pensado: en qué jardín me estoy metiendo! esperaré tu post de mañana jueves. ;)

    auroratris, los bancos del jardín del rey don pedro de jumilla también tienen dibujos geométricos. si me pusiera a analizar cada uno de ellos sería una locura para mí y para los lectores del blog. :D

    ana, ya será menos, jeje. yo también soy simple para muchas cosas. ;) el dibujo geométrico que dábamos en cou los de ciencias se me quedó muy grabado, tuve un profesor muy bueno, y desde entonces siempre me planteo cómo se trazarían los dibujos de las baldosas, por ejemplo. me habría encantado ayudarte con las mates, lo habríamos pasado pipa!

    besos!!

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  8. Uy, esas libertades que te tomas con el dibujo original han provocado que tu diseño me guste más, qué curioso. Ya puedes cambiar de profesión si quieres, aunque no creo ni lo recomiendo, porque me encanta la pasión que le pones a enseñar.

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  9. Me gusta todo lo que has desarrollado, pero hay un momento en el que me pierdo porque las mates las tengo ya muy lejanas. Me acuerdo perfectamente de la entrada que nos hiciste sobre los bancos del paseo de Jumilla (es un bello paseo, a mi me gusta). Yo cuando veo este tipo de baldosas pienso en transformarlas para hacer punto de cruz, alguna vez he sacado alguna cenefa para combinar con los tejidos de alguna amiga que me lo ha pedido.

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  10. Me encanta tu racionamiento, desde luego estas formas geométricas siempre tienen relación. Cuando he visto tus dibujos, me he acordado del dibujo técnico, una asignatura que al final le cogí mucho cariño :).
    Un besazo

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  11. ses, he usado colores más luminosos, y como el blanco no quería dejarlo en blanco (valga la redundancia) lo he rellenado con amarillo claro, jeje. me alegra que te guste! :D

    ana isabel, qué alegría leerte de nuevo! hace mucho publiqué una entrada con fotos de las baldosas de la mayor parte de las habitaciones de la casa de mi abuela. algunas tienen dibujos formados por cuadraditos pequeños, que recuerdan mucho al punto de cruz.
    http://mimundodepapel-chema.blogspot.com.es/2010/02/suelos-baldosas-y-techos.html

    queca, al haber estudiado bellas artes, de dibujo sabes un rato. :) cuando veo los dibujos de las baldosas, siempre me pregunto cómo se podrían representar sobre el papel, con compás, escuadra y cartabón.

    besos!!

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  12. Chema me has dejado alucinada, una conclusión muy razonable.

    Besotes y feliz fin de semana.

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  13. Me quedo con la última parte que ya sabes que yo con los números no paso de las cuatro reglas jejejej Te ha quedado genial el dibujo y estoy de acuerdo contigo, colorear relaja mucho ^_^

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  14. rosana, si vienes más veces por aquí, ya te acostumbrarás a este tipo de entradas sobre paranoias matemáticas, jeje. ;)

    geno, los posts de dibujo me suelen resultar laboriosos, y los de cálculos matemáticos también. este post es de ambas cosas a la vez, y sudé tinta, jeje. el próximo será más ligero. ^_^

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