viernes, 25 de marzo de 2016

otra de raíces cuadradas


hace cuatro años ya escribí una entrada sobre raíces cuadradas que no estaba mal del todo. la mayoría de las entradas que he escrito de 2012 en adelante puedo releerlas sin avergonzarme demasiado. ;)

la raíz cuadrada de un número entero, no tiene término medio: o es exacta o es un número con infinitos decimales que además nunca forman una pauta periódica.

al resolver la raíz cuadrada manualmente, por ese método que nos enseñaban en el colegio y del que no se acuerda casi nadie -yo me lo tuve que repasar para poder explicarlo a los alumnos-, saldrá resto cero cuando es exacta y resto distinto de cero cuando no lo es. en este último caso podremos sacar tantos decimales como creamos conveniente.


la raíz cuadrada de 2, como vemos, no es exacta. hay otra manera de aproximarse a ese número tan importante en matemáticas, y es haciendo un desarrollo en serie de la función raíz cuadrada.

la función √x nos dará problemas porque al derivarla sucesivamente el denominador se anulará en x=0. y como nos es más cómodo hacer el desarrollo en serie en torno al origen, lo haremos sobre la función √(x+1).


a continuación hallaremos las derivadas sucesivas de √(x+1), y por inducción obtendremos una expresión general para la derivada de orden n. √(x+1) se puede expresar como (x+1)1/2 y derivarla como si fuera una función polinómica.

debemos recordar que el factorial de un número entero es el producto de ese número por todos los que le preceden, hasta el 1 (podríamos decir hasta el 2, porque en la multiplicación el 1 no aporta nada). por ejemplo, el factorial de 5, expresado como 5!, sería igual a 5·4·3·2·1 = 120.

el ‘semifactorial’, que se usa menos, es el producto de un número por todos los que le preceden que tengan la misma paridad -los pares si es par, y los impares si es impar-. el factorial se denotaba con el número seguido de un signo de exclamación (!), y para el semifactorial se añaden dos signos de exclamación. pongamos dos ejemplos: 7!! sería igual a 7·5·3·1, y 8!! sería 8·6·4·2.


ahora ya conocemos la forma que adopta un término cualquiera del desarrollo en serie de √(x+1), y podemos obtener una expresión general en forma de sumatorio para la aproximación polinómica de esa función.


si en la función √(x+1) le damos a x el valor 1, obtenemos la raíz cuadrada de 2 que estamos buscando. eso significa que si en el desarrollo en serie sustituimos x por 1, nos aproximaremos cada vez más a √2 cuantos más términos tomemos.


una cosa... para n=1, saldría el ‘semifactorial’ de –1, que en teoría no tiene sentido. pero si suponemos que vale 1, funciona. es una pequeña trampa, no se lo digáis a nadie. :O

bueno, pues vamos a empezar a sumar términos de esta serie:


oye, esto es un coñazo, no?? para aproximarnos aceptablemente a la raíz de 2 vamos a tener que estar sumando términos hasta que nos salga barba blanca, como en los tebeos de mortadelo y filemón.

va a ser mejor hacer las raíces cuadradas como nos lo explicaban en el colegio, después de todo... ^_^

y a todo esto, siempre me ha parecido curioso que se llamen ‘raíces cuadradas’. las raíces de los árboles -como el que han plantado los dos pitufos en la viñeta que había al comienzo del post-, tienen una forma ramificada y compleja, muy lejos en todo caso de ser cuadradas. :P

22 comentarios:

  1. Desde luego su símil con las raíces del árbol tienen su lógica cuando ves todos lo cálculos jejeje.
    Un besazo

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  2. Hola. me encantó el post por la asociación que haces entre las raíces cuadradas y las raíces del árbol que plantan los pitufos. No me acuerdo mucho de todas esas operaciones pero efectivamente las raíces de los pitufos poco tienen de cuadradas. Feliz Semana Santa. Seguimos en contacto

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  3. recuerdo que el origen etimológico del término matemático raíz cuadrada se encuentra en el latín y más exactamente en lo que es la unión de dos palabras: radix y quadrum, que puede traducirse como 'de cuatro'. Me viene a la menoria que transforman números racionales en algebraicos. Tus explicaciones son muy claras y fáciles de entender. Tus alumnos seguro que sacan muy buenas notas. Me reí con las ocurrencias de estos pitufos. Disfruta de lo que nos queda de la semana santa.

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  4. Me has dejado planchada con tanto número.

    Creo que tienes un don. Besos.

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  5. queca, cuando vi lo complicado y lo poco práctico que era calcular una raíz cuadrada de esa manera, se me ocurrió darle a esta entrada un enfoque un poco irónico, jeje.

    all4barbie, lo de las raíces cuadradas lo di hacia 6º o 7º de egb, muy de pasada. el profesor que teníamos no le dio mucha importancia. y para explicarlo a los alumnos tuve que buscar tutoriales por internet. pero no es difícil, y los niños lo entienden bien.

    marta, gracias por tu aportación! en inglés se dice de la misma manera, 'square root', que literamente es justo eso, 'raíz cuadrada'. esta entrada era demasiado compleja, pero para hacerla amena he puesto las viñetas de los pitufos, jeje.

    amapola, hacía tiempo que no publicaba nada relacionado con números y no podía ser! aparte de que esta tarde me aburría.

    besos!!

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  6. Hace años ya que descubrí, para mi asombro que ¡no recuerdo como se hace una raíz cuadrada! y conste que era una operación que me gustaba y no se me daba mal :-/

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  7. Por culpa de Coto, cada vez que leo Mortadelo pienso en su hermano xDDD

    A mí las raíces cuadradas me molaban, pero a día de hoy temo no saber ni dividir a mano jajaja

    Besos

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  8. Soy como Eva, las raíces cuadradas me encantaban!!!!!! Me ha molado muchísimo el post, lo explicas genial.
    Cuando estoy muy estresada, en lugar de coser o colorear hago polinomios, raíces cuadradas o ecuaciones de segundo grado(más que nada por hacer la raíz cuadrada al final,jaja).
    Un besín, feliz sábado y me ha encantado el post, como siempre. :)

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  9. geno, si tuvieras que saber cómo se hace para explicárselo a algún niño o lo que fuera, lo recordarías rápidamente. no es muy difícil, pero como se da un poco de pasada y no se usa en la vida diaria, se olvida.

    eva, me has hecho recordar la primera vez que me examiné de física en la carrera. lo llevaba muy mal preparado pero era el último examen, así que me presenté por probar suerte. iba con tanta dejadez que se me olvidó la calculadora, así que todas las operaciones las hice a mano. me sobraba tiempo porque más de la mitad de las preguntas del examen no sabía ni empezar a hacerlas. un amigo que estaba sentado a mi lado y me vio haciendo las cuentas a mano como un poseso, luego me tomó el pelo. :D

    gema, cuando los polinomios son de grado mayor que 2, tienes que encontrar soluciones por tanteo, dividir por ruffini, y cuando llegas a un polinomio de 2º grado, ya estás salvado. porque a partir de ahí obtienes las soluciones que quedan aplicando la conocida fórmula de las ecuaciones de 2º grado. que contiene una raíz cuadrada, como bien dices! ;)

    besos!!

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    1. Siiiii, es que cuando estoy estresada Rufini es mi salvación, mi hijo dice que tengo que hacérmelo mirar,jejeje, pero a mí me ayuda, mejor eso que romper platos a algo así. ;)

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  10. Como odiaba las raíces cuadradas.... eran superior a mi. En general los numeros y yo empezamos a llevarnos medianamente bien en Bachiller.
    No dejas de sorprenderme chema, eres un pozo de sabiduría!!
    Besin

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  11. Eres un erudito... un gran matemático, Chema. No me queda ninguna duda de que estás en tu elemento.

    Mil besitos y feliz cambio de hora.

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  12. Yo hace años cuando le enseñaron a mi hijo las raíces cuadradas en el cole, tuve que recordar cómo se hacía. Se me había olvidado por completo. Son de esas cosas que luego no usas.
    Feliz domingo

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  13. verdades, a mí es que se me ha borrado de la memoria el momento en que nos enseñaron a resolver raíces cuadradas en el colegio. lo que sí recuerdo es lo de operar con raíces, sacar factores de una raíz, reducir productos de raíces a índice común, eliminar las raíces del denominador de una fracción, etc. etc. todo eso se lo he explicado a mis alumnos tantas veces que yo mismo le estoy cogiendo un poco de manía. :P lo dan en 2º y en 3º de eso, qué pesados son los que elaboran los programas, si por repetir las cosas hasta la saciedad los chavales no las van a aprender mejor.

    auroratris, ya será menos, jeje. pero es verdad que entre números estoy como pez en el agua. el otro día me compré un libro de física universitaria para leerlo y recordar cosas en un momento dado. en cuando al cambio de hora, cambié los relojes antes de acostarme para adelantar trabajo.

    lucía, las primeras veces que hacía raíces cuadradas con los alumnos, respiraba de alivia al hacer la prueba (radicando = raíz·raíz + resto) y comprobar que estaba bien, porque no lo tenía yo muy claro. en cambio, lo que nunca se me olvidó ni se me olvidará es lo de los desarrollos en serie. eso seguro que tú también lo diste en la carrera.

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  14. Digo un poco como Eva, a día de hoy, para hacer una división algo compleja me tocaría mirar un tutorial de YouTube. Reconozco que tu post de hoy me ha tocado mirarlo dos veces y aún así me pierdo. Las mates nunca fueron lo mío, ya sabes. Las raíces se me daban como todo, las hacía pero sin entenderlas. Viendo todos los cálculos no sé si decir que las entiendo aún menos jajajaja.
    Besos crack!

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  15. Gracias Chema,pásate a tomar un té
    Un Beso

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  16. Chema, todos estos posts me hacen sentir una completa inútil en matemáticas. Debería desempolvar mis libros de texto de Bachillerato pero acabo de recordar que me deshice de ellos :( Creo que un repasito a tus entradas matemáticas me hará bien ;)

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  17. ana, precisamente el otro día hice un tutorial de cómo hacer divisiones para una amiga mía que tiene un hijo en 3º de primaria. no te preocupes por no entender lo de los desarrollos en serie, es normal, jeje. era casi por hacer la coña de mostrar un método muy complicado y llegar a la conclusión de que era mejor hacerlo como nos lo explicaban en el colegio. ^_^

    princesa, gracias por tu invitación! estaba muy rico este té de pascua. ;)

    gen, ya será menos, jeje. en nuestra generación al menos nos esforzábamos. los niños de ahora son incapaces de razonar, hay que dárselo todo mascadiiitooo... curiosamente el profesor de matemáticas que tuve en 1º de bup tenía la misma queja con nosotros. está claro que la vida es cíclica.

    besos!!

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  18. Nunca tuve problemas con ninguna asignatura pero las de matemáticas eran las que más me costaban. Si te digo la verdad no me acordaba para nada de cómo calcular una raíz cuadrada, jaja.
    Me encantan las viñetas.
    Un besitoo

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  19. angie, las mates nos costaban a todos, a mí también a veces, que también tuve mis malas rachas. pero nos esforzábamos más que los niños de ahora, hay que dárselo todo mascadito. ^_^
    besos!

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  20. Venía a ver si tenías alguna nueva entrada y veo que no, pero ésta se me había pasado comentarla.

    La verdad es que las matemáticas no eran lo mío, con tanto número hasta me bailaban y todo jajaja, y ahora al ver tus raíces, la verdad es que estoy más que perdida.

    Me encanta ver a los Pitufos, creo que en el fondo sigo siendo una niña.

    Un beso.

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  21. maría, a mis alumnos menos mal que se les dan bien las raíces cuadradas. porque por ejemplo, en un problema les da raíz cuadrada de 225, y yo sé que es 15 porque tengo ya mucha práctica, pero ellos tienen que resolverla. y como no les dejan usar calculadora...
    besos!!

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