domingo, 8 de marzo de 2015

fricción


estos días he estado un poco griposo. en realidad no tengo claro si ha sido una gripe o sólo un catarro muy chungo, pero para el caso es lo mismo.

como el cuerpo y la mente están estrechamente relacionados, mi ánimo no ha estado precisamente por las nubes. la inactividad es fatal, y por eso hay que buscar cualquier excusa para mantener la mente ocupada.

en una fiesta de mi promoción del colegio que hicimos hace como un año y medio, un compañero describió el recuerdo que tenía de mí: al parecer, cuando alguien me preguntaba qué tal estaba, le respondía hablándole de algún teorema. :D así que voy a seguir esa misma estrategia. en este caso, más que un teorema es un caso práctico de física.

cuando dejamos caer un objeto, hay dos fuerzas contrapuestas que intervienen: la gravedad y la resistencia del aire. esta última es proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto que cae. la constante de proporcionalidad depende, entre otras cosas, de la viscosidad del aire (o de cualquier otro fluido del que se trate).


el valor de la fuerza de rozamiento del aire será el mismo independientemente de la masa del cuerpo que cae. una misma fuerza aplicada sobre un cuerpo de menor masa, provocará en éste una mayor variación de su aceleración. por eso, cuando soltamos desde cierta altura una hoja de papel por ejemplo, seguirá una trayectoria errática hasta caer. pero si es un objeto lo suficientemente pesado, la resistencia del aire apenas le afectará, y su trayectoria no se diferenciará mucho de la que se produciría en el vacío.

queremos obtener una ecuación que relacione la velocidad con el tiempo. para ello separamos variables en la ecuación del escaneado anterior, de la manera que se indica:


el denominador de nuestra expresión se asemeja a una diferencia de cuadrados. hacemos un truco algebraico para transformarla en la suma de dos componentes cuyos denominadores sean la suma y la diferencia que multiplicadas entre sí darían la mencionada diferencia de cuadrados.

integramos, teniendo en cuenta que en el instante inicial la velocidad es nula por tratarse de un caso de caída libre. tal como lo hemos preparado, nos encontramos con unas integrales de cocientes en los que el numerador se puede expresar como la derivada del denominador multiplicada por una constante. las integrales de este tipo dan como resultado logaritmos neperianos.


ya hemos hecho lo más difícil. tenemos por un lado el tiempo, y por otro lado el logaritmo de un cociente cuya variable es la velocidad. ahora nos convendrá despejar dicho logaritmo y pasar todas las constantes al otro lado de la ecuación.

aplicamos la exponencial en ambos lados de la ecuación. sabiendo que la exponencial es la función inversa del logaritmo, obtenemos una ecuación que relaciona una exponencial del tiempo con la ya citada expresión en función de la velocidad.


nos damos cuenta de algo curioso: el número e elevado a un producto de constantes por el tiempo crece de manera muy pronunciada y se hace infinito cuando el tiempo tiende a infinito. eso quiere decir que en el otro lado de la ecuación ocurrirá lo mismo. qué tiene que ocurrir para que un cociente se haga infinito? que el denominador se haga cero.

y en el caso que nos ocupa, eso quiere decir que en régimen permanente la velocidad del cuerpo que cae tenderá a ser constante. esa velocidad estabilizada, como se observa, dependerá de la gravedad, de la masa del cuerpo y de la constante de fricción del aire.


cuando estaba en cou, pensaba: “cómo sería la caída libre con resistencia del aire? muy fácil! introducimos una aceleración constante contraria a la de la gravedad”. y eso es una burrada, porque no es constante ni mucho menos.

estos problemas los hacíamos en física de 1º de carrera, a pesar de que las ecuaciones diferenciales -herramienta necesaria para resolverlos- no se daban hasta 2º. más majos los catedráticos de mi escuela!! ;)

15 comentarios:

  1. Hola: mejórate de esa gripe-catarro... Es muy interesante este caso práctico de física ... infinito y denominador 0... ya no me acuerdo de nada de ese tipo de problemas!!

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  2. Hola Chema: qué problema tan complicado... ni idea... me sueña a chino. Te admiro por tu capacidad para resolverlos y explicarlos... ya leo que los diste en primero de carrera... ahora me acuerdo por qué elegí letras... ese tipo de problemas siempre se me atragantaron aunque alomejor era que el profesor no se molestaba mucho en explicarlos y razonarnos cómo resolverlos... Seguro que tus alumnos llegan al resultado correcto gracias a tus explicaciones... Te deseo que esté pronto bien de la gripe. Yo también cogí un virus y estoy ''acabada''... no tengo fuerzas para nada. Seguimos en contacto

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  3. Qué tontería, me ha parecido bonito que los dos estemos chungos a la vez, oye, igual me lo pasaste por la blogosfera, porque este virus es bien chungo, he, he.
    En cuanto al problema, soy muy empírica, necesito tirarme con un paracaídas, donde hay caída y fricción para saber la solución ;P

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  4. JUajuajajajja
    Jolín Chema, no he entendido ni torta, pero me caes GENIAL!!! jejejej
    Un abrazo enorrrrme
    Muacks

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  5. Espero que te mejores, la gripe por aquí ha sido bastante durilla. Yo cruzo los dedos, de momento no ha entrado en casa.
    Feliz semana

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  6. marta, igual podía haber invertido los términos de la fracción para que tendiera a cero, porque hablar de infinitos no es del todo correcto aunque sirva para entendernos, jeje. si es cuestión de explicar muchas veces, con eso nunca tengo problema. espero que te recuperes, que sé lo duro que es, este año más que ningún otro!

    ses, hay que tener cuidado, que lo mismo los virus se transmiten a través de la red, y no sólo los virus informáticos! :O los paracaídas y los globos-sonda tienen muchas explicaciones físicas por medio. que te mejores tú también!!

    itzi, siempre he pensado que para pasar un buen rato en este blog no es necesario saber de mates ni de física, sino simplemente tener un poco de mente abierta y sentido del humor, jejeje. gracias, guapetona!!

    lucía, espero que sigáis así, sin gripes. ahora se acerca la primavera, aunque no hay que confiarse porque de vez en cuando viene algún coletazo de frío traicionero... creo que eso me pasó a mí.

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  7. Espero que estés mucho mejor del refriado/gripe, este año ha afectado a mucha gente de mi alrededor también y te deja hecho un trapillo :(.
    Que curiosa la reunión, por aquí no se hacen mucho, me alegro que se acuerden de ti :).
    Me asombran tus conocimientos, yo siempre he sido un desastre para la física, me gustaba más la química, si hubiera tenido un profe como tu seguro que hubiera seguido con esas asignaturas :)
    Un besazo

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  8. Yo pienso como ese amigo tuyo del cole: todo lo llevas a tu terreno de los teoremas!! Espero que estés mejor de tu catarro griposo y que la mente se te despeje hasta el infinito y más allá!!!
    Besos

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  9. queca, son los días que estás en cama, y también los de antes y después: antes, cuando la estás incubando, y después, cuando vuelves a tu vida normal pero estás muy fatigado. en fin, a todos nos toca... a mí en cambio la química no se me daba bien, tuve una asignatura de química en 2º de carrera que la aprobaban todos menos yo, jeje. aun así, en este blog he hecho alguna que otra incursión en la química...

    rosana, también me gusta hacer símiles matemáticos y físicos con las cosas de la vida diaria. si es que las mates son como una especie de filosofía!! jeje, a ese amigo mío le expliqué una vez un problema de caída libre, pero sería sin rozamiento, porque con rozamiento no sabíamos entonces...

    besos a ambas!!

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  10. gracias por pasarte siempre!!:)

    Saludineessss

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  11. Jo, cómo me fascinan las mentes matemáticas. Yo soy totamente de letras así que no me entero de mucho. Espero que a estas alturas ya estés recuperado del catarro, pero cuidado con estos nuevos fríos que vienen.

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  12. kristalle, siempre haces reflexiones interesantes en tu blog, cómo no me voy a pasar! :)

    ilona, gracias por tu visita! a veces necesito tener la mente ocupada con algo, y se me ocurren entradas que para mí mismo son difíciles de escribir. este tiempo indefinido es muy traicionero, y siempre puede venir de repente un latigazo de frío que te haga recaer...

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  13. Espero que ya estés recuperado y más animado :-D

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  14. Me gustan tus resoluciones, tus teoremas, tus reflexiones aplicadas a la física o a las matemáticas, me vienen bien para recordar aquellos años de estudiante, aunque mucho lo tenga ya casi olvidado: Como también me encantan los comentarios que dejas en mi blog desde tu mirada, me haces ver las cosas de otra manera.

    Siento que hayas estado mal, espero que te vayas recuperando poco a poco, y que los días que hemos tenido con tanto sol, parece que llega ya la primavera.

    Un beso, chema.

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  15. geno, ahí andamos, jeje. pensaba yo "este otoño-invierno aún no me he acatarrado, y sé que no me voy a librar". cuanto más tardío más traicionero. :D

    maría, cuando era más jovencillo habría sabido plantear y resolver las ecuaciones, pero no habría sabido explicarlas, lo que es escribir el texto de la entrada. en eso y en muchas cosas he evolucionado. mis comentarios en tu blog van casi siempre en la misma línea, pero bueno, me alegra que te gusten, sinceros sí son, jeje.

    besos!

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