esferas

en el sistema de coordenadas esféricas, un punto viene definido por tres parámetros:

• la distancia del origen de coordenadas a ese punto, que se representa por una línea de longitud r minúscula.
• el ángulo que forma la línea que une el origen y el punto en cuestión con el eje vertical. dicho ángulo se denota con la letra griega θ.
• el ángulo que forman la proyección de la línea que une el origen y nuestro punto sobre el plano horizontal, y un eje de dicho plano que hayamos fijado. a este ángulo lo llamamos φ.

el dibujo os ayudará a verlo más claro. dado que vamos a hablar de la superficie terrestre, la distancia desde el centro hasta cualquier punto será constante y la llamaremos R mayúscula.

el sistema de paralelos y meridianos que se utiliza para localizar cualquier punto de la tierra, en realidad es una aplicación de las coordenadas esféricas, aunque con ciertos ajustes.

la latitud, marcada por cada paralelo terrestre, viene dada por el ángulo θ. sólo que, a diferencia del sistema de coordenadas esféricas modelado por los matemáticos, este ángulo se empezará a medir desde el ecuador.

según avanzamos hacia el norte, el ángulo de latitud irá aumentando desde 0º en el ecuador hasta 90º en el polo norte. de manera análoga, al desplazarnos desde el ecuador en sentido contrario, el ángulo “disminuirá” desde 0º hasta –90º en el polo sur. en términos matemáticos, así es como funciona. sin embargo, para indicar las coordenadas de un punto no emplearemos signos algebraicos, sino que especificaremos si se trata de ‘latitud norte’ o ‘latitud sur’.

los paralelos son circunferencias cuyo radio va disminuyendo desde el ecuador -que es el paralelo de mayor radio- hasta los polos -donde se reducen a un punto-. es como si fuéramos cortando la tierra por planos horizontales paralelos entre sí.

pasamos a hablar de los meridianos, que marcan la longitud este/oeste. el ángulo φ nos dice cuál es esa longitud. tampoco este ángulo funciona exactamente como en el modelo didáctico que se estudia en matemáticas.

el ángulo que mide la longitud se empieza a medir desde el meridiano de greenwich. si nos desplazamos hacia el este, variará desde 0º en greenwich hasta 180º en la línea de cambio de fecha, trazada sobre el océano pacífico. y si el recorrido lo hacemos hacia el oeste, el ángulo variará desde 0º hasta –180º en la misma línea de cambio de fecha. pero en el lenguaje corriente no se habla de signos +/– sino de ‘longitud este’ o ‘longitud oeste’.

a diferencia de los paralelos, los meridianos siempre tienen el mismo radio, que no es otro que el radio terrestre. están contenidos en planos que pasan por el eje vertical de la tierra. es como si hubiera un plano que pudiera girar sobre dicho eje vertical, y al girarlo fuéramos dividiendo la tierra en gajos.

la distancia más corta entre dos puntos de la superficie de la tierra viene dada por la circunferencia máxima: aquélla cuyo centro coincide con el centro de la esfera terrestre y que pasa por los dos puntos dados.

los aviones suelen realizar sus vuelos a través del trayecto definido por la circunferencia máxima. a veces el camino más corto no es el que parece a primera vista. por ejemplo, algunos vuelos de parís a tokio pasan por el polo norte: se tarda menos que sobrevolando toda asia.

otro ejemplo curioso: madrid y nueva york se encuentran en la misma latitud, y podría parecer que el camino más corto entre ambas ciudades coincide con su paralelo común, verdad? pues no, se tarda menos a través del tramo de la circunferencia máxima que pasa por madrid y nueva york, y que no coincide con el citado paralelo.

las antípodas de un punto determinado se obtienen sumando 180º al ángulo θ que define su latitud, y sumando 180º al ángulo φ que indica su longitud. es decir, si las coordenadas de un punto de una superficie esférica vienen dadas por {θ, φ}, las coordenadas del punto diametralmente opuesto serán {θ+180º, φ+180º}.

así lo expresaríamos en lenguaje matemático. pero, en nuestro sistema de meridianos y paralelos, lo diremos de otra manera.

si un punto tiene un ángulo α de latitud norte/sur, el punto diametralmente opuesto tendrá el mismo ángulo α pero en sentido contrario al primero: sur/norte. los paralelos donde se encuentran dos puntos diametralmente opuestos son imágenes especulares respecto al ecuador.

y si un punto tiene un ángulo β de latitud este/oeste, el punto diametralmente opuesto tendrá un ángulo de valor 180º– β en sentido contrario: oeste/este. podemos imaginarnos una puerta giratoria para visualizarlo: si la giramos un cierto ángulo, el extremo de la hoja opuesta se desplazará ese mismo ángulo, y visto desde el plano central será el suplementario del primero.

resumiendo: dado un punto de la superficie terrestre definido por las coordenadas {α norte/sur, β este/oeste}, sus antípodas tendrán como coordenadas {α sur/norte, 180º– β oeste/este}.

la circunferencia máxima que nos da la trayectoria más corta entre dos puntos es única, salvo en el caso de dos puntos diametralmente opuestos. en este caso particular el primer punto, el centro de la tierra y el segundo punto están alineados, por lo que existen infinitos planos que pasan por esa recta. y por tanto, existirán infinitas circunferencias máximas.

por ejemplo, un vuelo desde madrid hasta auckland (nueva zelanda) sería igual de largo independientemente de su recorrido, siempre que éste estuviera definido por una circunferencia máxima. nos daría igual atravesar el océano índico, o atravesar el atlántico, américa y el pacífico, o pasar por uno de los polos...

acabo ya, que esta entrada me ha salido más larga de lo que creía. os dejo con tintín y el capitán haddock, observando la tierra desde otra perspectiva...