domingo, 6 de enero de 2013

número de euler

tenía pendiente hablar del número e, también llamado número de euler. es tan importante en las matemáticas -y en definitiva en la naturaleza- como π o como el número áureo.

para ello hay que recordar el concepto de derivada. la derivada de una función es otra función que viene a representar su variación en cada punto, su pendiente.

el crecimiento de una función entre dos puntos viene representado por el cociente entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de abscisas. si la diferencia de abscisas la reducimos a un valor infinitesimal Δx, la derivada será por definición el límite cuando Δx tiende a 0 de la diferencia entre los valores que toma la función en x y en x+Δx dividida entre la longitud del intervalo, Δx.


existe alguna función para la cual su derivada sea igual en todos los puntos a la propia función? la respuesta es afirmativa. y sabemos que esa función va a ser una exponencial del tipo kx, siendo k un número constante y x la variable.

cuando aplicamos la definición de derivada a una función de este tipo, y sabiendo que el producto de potencias de la misma base es igual a la suma de exponentes, obtenemos que la derivada es igual a un cierto límite cuando Δx tiende a 0 -que será una constante-, multiplicado por la función inicial kx.


la derivada de una función exponencial, por tanto, es igual a una constante multiplicada por esa función exponencial. la constante es un límite que depende de k, la base de la exponencial. podemos suponer que existirá un valor de la base para el cual el valor de la constante C será 1, y por tanto la derivada de la función será igual a la propia función.

llamaremos a esa función que buscamos ex. e es un número que sabemos que existe, pero aún no conocemos su valor.


toda función puede aproximarse mediante una serie polinómica infinita del tipo a0+a1·x+a2·x2+a3·x3+... los coeficientes an, o bien tendrán signos alternados -unos suman y otros restan-, o bien, en caso de que sean todos del mismo signo, tendrán valores decrecientes según avanza el grado del polinomio. de otro modo, se nos dispararía hasta el infinito.

tomamos un polinomio de esa forma y lo derivamos. recordemos que la derivada de una función monómica del tipo xn es igual a la base elevada al exponente menos una unidad, multiplicada por el exponente.


a continuación, obligamos a que la derivada de nuestro polinomio sea igual al propio polinomio inicial. para cada grado de la variable x, el coeficiente del primer polinomio debe ser igual al del segundo polinomio. observar en el escaneado anterior las flechas que indican cómo deben corresponderse los coeficientes.

llegados a este punto, hay que recordar el concepto de factorial. el factorial de un número entero es igual al producto de dicho número por todos los anteriores hasta llegar al 1 (o al 2, según cómo se mire, porque multiplicar por 1 no tiene ningún efecto). el factorial de un número n se representa por n seguido de un signo de exclamación, n! (no sé a quién se le ocurrió eso), y será igual a n·(n-1)·(n-2)·...·3·2·1.

hemos llegado a la conclusión de que cada coeficiente de nuestro polinomio se puede expresar en función del término independiente, el coeficiente de grado 0. el coeficiente de grado genérico n, an,será igual a a0 dividido entre el factorial de n.


pero, cuánto vale a0? a0 será el valor del polinomio en x=0. excepto el término independiente, todos los demás se anularán. recordemos que la función que estamos aproximando mediante el polinomio es una exponencial: ex. valga lo que valga e, la exponencial en x=0 será igual a 1, pues cualquier número distinto de cero elevado a 0 es igual a la unidad. por tanto, a0 será igual a 1.

así pues, podemos decir que el coeficiente de grado n de nuestro polinomio será igual a 1 dividido entre el factorial de n.


y ahora llegamos al momento de la verdad: cuánto vale el número e? e es la base de la exponencial, por lo que tendrá el valor que ésta tome en x=1. para calcular ese valor, sustituiremos en nuestro polinomio x por 1.

por tanto, e será igual al valor que toma en el límite la suma de la serie 1+(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+... el número e, con una aproximación suficiente, será igual a 2.718281828459...


hoy me he levantado con ganas de números, porque con los números me siento como pez en el agua. no en vano los reyes me han traído un libro de historia de las matemáticas. además, un pack de los programas de gaby, fofó y miliki para recordar la infancia -este regalo es para todos los de casa, realmente-, y una caja recopilatoria de christina rosenvinge.


el otro día me hice esta autofoto en la que, según me dijeron, tenía cara de bueno. va a ser por eso que los reyes se han portado bien. :)

20 comentarios:

  1. Madre mía, los payasos ¡komomoooooola!
    Bsssss
    Cloti

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  2. A mí me has mareado con la variación y la pendiente.. ¡que conste! Y lo peor es que lo he entendido. ¿Cara de bueno? no sé, no sé.

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  3. Te confieso que no he prestado mucha atención al desarrollo matemático, y eso que recuerdo que lo del número e me gustó mucho en su día... pero me alegro de que hayas sido bueno y hayas tenido buenos regalos. He visto por ahí un libro de un matemático y lo propondré pera el mes que viene...
    Feliz año.
    Besicos.

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  4. cloti, en cuando podamos nos sentaremos a verlos. recuerdo un episodio que vi cuando era pequeño en el que arreglaban algo en una casa, en plan pepe gotera y otilio. quizá esté en alguno de los dvd's del pack.

    ses, a poco que te pases te acostumbrarás a este tipo de entradas, jeje. ésta era un poco densa, también las hago más sencillas y relacionadas con cosas reales.

    amelia, el número e aparece en matemáticas casi tanto como pi, aunque éste es más conocido. quería escribir sobre el número e, del que no había hablado nunca, pero lo iba dejando porque es demasiado denso y no hay nada con lo que se pueda relacionar de forma intuitiva.

    besos

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  5. El pack de los payasos debe estar genial, mucho más que el número e, jajaja, no te ofendas pero no me he enterado de nada. A mi edad no creo que ya las matemáticas me vayan a caer bien. La foto ya te dije en el Facebook que me gustó mucho, sales muy bien. Un beso.

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  6. Mi fofucho Miliki estaría encantado con tu pack de los payasos de la tele XDDDD

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  7. Muchísimas gracias por tu comentario en mi blog acerca del libro. quería desearte un feliz año y ojalá se hayan portado contigo los RR.MM como te mereces, de maravila, un beso muy fuerte y feliz año.

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  8. Chema, ¿quieres creer que yo no llegué a estudiar las derivadas? Vale, soy de letras puras, pero di mates en 1º y 2º de bup y mucha gente conocía las derivadas. Yo ni idea, oye.

    Lo de la cara de bueno no sé, lo que sí estás es muuuy serio.

    Un abrazo.

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  9. merchi, no te preocupes, la mayor parte de mi público es de letras, jeje. este tema me lo preparé para explicarlo en una prueba en pizarra para una academia que hice el año pasado, pero tendría que haber elegido algo más sencillo. gracias por el piropo!! :)

    geno, ya vi el fofucho de miliki, es una artista tu hermana rosa! como los payasos eran hermanos y se parecían, por si hubiera alguna duda a miliki siempre se le distinguía por la boina, jeje.

    teresa, mucha suerte con tu libro y todos tus proyectos! y además has puesto precioso tu blog últimamente. todos los mejores deseos para ti también!

    shirat, es que varía mucho lo que se daba incluso dentro de un mismo colegio. yo di las derivadas por primera vez al final de 2º de bup, y fue el tema que menos me gustó porque lo dimos de manera muy apresurada. en cambio, según contaban en su momento, los de la promoción anterior en 2º de bup ya habían empezado con integrales, casi nada. sonreír de manera natural en las fotos es mi asignatura pendiente, jeje.

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  10. Muchas gracias Chema lo intentaré a ver si da resultado ,la verdad es que estoy un poco desesperada...
    Lo mío no son las Matemáticas y nunca se me dieron bien,sin embargo desde el curso pasado estoy encantada utilizando con mis alumnos el método algoritmos abn de Jaime Montero quizás no lo conozcas . Los resultados en cálculo mental realizando operaciones son fantásticos y las clases son muy amenas para los niños y para mí
    Un Abrazo

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  11. princesa nadie, espero que hayas solucionado lo de tu blog, que yo creo que sí, acabas de publicar un post con muchas fotos. lo que comentas no lo conozco, pero lo consultaré, seguro que está interesante. el cálculo mental siempre me ha gustado, y es algo útil para la vida. yo uso trucos basados en los criterios de divisibilidad.
    un abrazo!

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  12. Hola Chema, ese número a mi ni me suena...de derivadas menos, en esto de las matemáticas la que va a la deriva soy yo, jejeje.
    Y si que tienes cara de bueno por eso tienes tan buenos regalos, por cierto me encantan Gaby Fofó y Miliki.
    Besossssss.

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  13. Dios mío... Creo recordar que las derivadas se me daban bien. Pero ahora mismo podrían formar parte de mis pesadillas: Esas en las que me ponen un examen por delante y no tengo ni idea de qué hacer con él. No me pinta el boli, no tengo de repuesto, no va la calculadora, no me cabe el papel en la paleta de la silla, o llego tarde perdida en los laberínticos pasillos del colegio :PPPP

    En la foto se te ve genial. No sé si cara de bueno, pero desde luego, muy, muy bien.

    Besos, Chema.

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  14. elanor, ya vi en el margen de vuestro blog que tenéis un pequeño homenaje a miliki. qué buenos ratos pasamos de pequeños... yo di por primera vez el número 'e' en 2º de bup, en el tema de los límites. el profesor decía que competía con el número pi en popularidad, pero no estoy de acuerdo, pi es mucho más conocido, no hay color, jejeje.

    blas, yo también he soñado que hacía un examen hace poco. tenía la sensación de haberlo hecho más o menos bien, pero esperaba que salieran las notas en el tablón de anuncios de la cátedra en cuestión y no las tenía todas conmigo, jeje. en 2º de bup nos enseñaron a derivar funciones antes de saber bien lo que es una derivada, y así no se debe hacer. y gracias, me alegro de que te haya gustado la foto!! :)

    besos!

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  15. ¿Derivadas? ¿Pero en que curso se estudiaban? Entre esto que no lo recuerdo y mi reciente lumbago ando yo muy preocupada.¡La tercera edad acecha:))) Como veo que has sido bueno - y para muestra una foto - tengo pendiente aquel envío que nunca llega - no tengo vergüenza - pero que prometo mandarte muchísimo antes de que vuelvas a recibir la visita de Melchor,Gaspar y Baltasar.
    Bss!

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  16. gen, yo las di por primera vez al final de 2º de bup apresuradamente, y ya con más calma en 3º de bup. pero claro, lo que se daba en un curso o en otro variaba mucho. y no, tú estás joven y estupenda! ;) lo del libro, tú cuando buenamente puedas. :)
    besos!

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  17. Yo lo que te veo es muy serio, no sueles ser tan serio, no??? El libro ese de las mates tiene una portada muy chula, supongo que de él sólo eso me gustaría!!!!
    Besos

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  18. rosana, al natural sonrío más, ya lo sabes. ;) el libro está genial, ya lo estoy leyendo y seguro que me va a dar muchas ideas para futuros posts, jeje.
    besos!!

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  19. Hola Chema!!! Hala!!! Bueno, no te lo creerás o pensarás que soy exagerada, pero es que al verte así con los pies al aire me ha dado frío, y es que estos últimos días está haciendo por aquí por mi tierra un frío que pela, bueno, ahora la noche está fatal, propia para una peli de terror; niebla abundante (que apenas se ve ná de ná en la calle), llovizneando, frío que pela... y yo aquí ahora con la estufita al laído mía (jaja) con las manos que las tengo heladas y te veo ahí tan flamenco con los pies al aire y me ha dado más frío del que tengo (jajaja)

    Saludos Chemita!

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  20. hola maría! bueno, me descalcé para el posado, luego me puse los calcetines de lana otra vez, jeje. porque por mucha calefacción que se pueda tener en casa, es verdad que no apetece en estos días. por alguna expresión que te he visto utilizar, creo que eres del sur, no sé si me equivoco... en el interior de andalucía tengo entendido que estos días hace mucho frío, quizá por la nieve en sierra nevada. en cualquier caso, sea cual sea el lugar de españa donde estés, ponte calentita, que el invierno es duro! :)
    besos y gracias por la visita.

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