áreas

siempre me fijo en los dibujos de las baldosas, y me imagino cómo se trazarían sobre un papel con los instrumentos básicos de dibujo: lápiz, compás, regla, escuadra y cartabón.

la baldosa que veis en la foto es de la calle príncipe de vergara de madrid. su diseño consiste en dividir un cuadrado en 16 pequeños cuadrados iguales (4x4) y trazar diversos arcos de circunferencia cuyos centros coinciden con determinados vértices de dichos cuadrados.

desde los vértices marcados con un aspa de color verde (que en el escaneado ha quedado muy oscuro, pero era verde) se trazan dos semicircunferencias como se observa en la figura. y desde los vértices marcados con un aspa de color naranja (que parece rojo, pero era un naranja clarito) se trazan arcos de un cuarto de circunferencia tangentes a las semicircunferencias antes citadas.

de esa manera, hemos formado una figura que a mí me recuerda al logotipo de maggi, y que he coloreado en rosa. el área restante del cuadrado la he coloreado en azul.

las áreas rosa y azul son iguales, pese a que alguna ilusión óptica pudiera indicar lo contrario. una manera de verlo es que, si se yuxtaponen varias de estas baldosas, se formaría con el color azul la misma figura coloreada en rosa. quedaría un mosaico de figuras con esa forma, en rosa y en azul a partes iguales.

pero eso también se puede demostrar de manera analítica. para ello, dado que el dibujo de la baldosa es simétrico en horizontal y en vertical, podemos quedarnos sólo con un cuadrante de la misma. los tres cuadrantes restantes serán sus imágenes especulares respecto a diferentes ejes.

a su vez, este cuadrante lo dividimos en cuatro partes que numeramos del 1 al 4. (1) es azul en su totalidad, (4) es rosa, y (2) y (3) son mixtas.

el área coloreada en azul será la suma del área de (1) más las áreas azules correspondientes a (2) y (3).

llamaremos a al lado de cada uno de los cuatro cuadrados, que coincide con el radio de los arcos de circunferencia existentes.

el área de (1) es el área del cuadrado, igual al producto de sus lados, a². el área azul contenida en (2) es un cuarto de círculo de radio a, es decir, π·a²/4. y el área azul contenida en (3) es como si dijéramos el ‘negativo’ de un cuarto de círculo de radio a: la diferencia entre el área del cuadrado de lado a y el cuarto de círculo de radio a, esto es: a²–π·a²/4.

se observa que hay dos áreas de un cuarto de círculo que se anulan entre sí, quedando como área total la suma de las áreas de dos cuadrados de lado a, es decir, 2·a². pero como este análisis lo hemos hecho sólo para un cuadrante de la baldosa, el área azul total será esa cantidad multiplicada por 4, es decir: 4·2·a²=8·a².

de manera análoga, el área rosa será igual al área de (4) en su totalidad más el área rosa contenida en (2) y (3).

(4) es un cuadrado de lado a, (3) es un cuarto de círculo de radio a, y (2) es el negativo de dicho cuarto de círculo. nuevamente obtenemos como resultado el doble del área de un cuadrado de lado a. extrapolando al área total de la baldosa, multiplicamos este resultado por 4, obteniendo que el área rosa es 8·a².

así pues, las áreas azul y rosa coinciden. dado que nuestro cuadrado inicial lo habíamos dividido en 16 pequeños cuadrados cuyo lado hemos llamado a, es fácil ver que el área total, que sería igual a 16·a², se reparte entre los dos colores mitad y mitad: 8·a² para cada uno.