los números que tienen infinitas cifras decimales que nunca forman periodo son los llamados números irracionales. se denominan así en contraposición a los números racionales, cuyas cifras decimales forman un periodo más o menos simple, y que se pueden expresar en forma de fracción.
le explicaba a mi alumna que los números enteros, o bien tienen raíz cuadrada exacta, o bien su raíz cuadrada será uno de esos números con infinitos decimales que no se repiten. no hay término medio. le parecía muy curioso, y la verdad es que lo es...
los números irracionales aparecen como solución de problemas matemáticos cuyo planteamiento es sencillo. y sin embargo, nuestro sistema de numeración no permite expresarlos con una cadena finita de decimales. siempre nos veremos obligados a aproximarnos a ellos, tanto más cuantos más decimales tomemos.
veamos algunos ejemplos de la importancia que tienen en geometría las raíces cuadradas de algunos números enteros...
la raíz cuadrada de 2 es la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 unidad. o, dicho de manera más general, la raíz de 2 es el factor de proporcionalidad entre la diagonal de cualquier cuadrado y su lado. se puede demostrar fácilmente aplicando el teorema de pitágoras.
un rectángulo cuyo lado mayor es el lado menor multiplicado por la raíz de 2, cumplirá la propiedad de que al dividirlo en dos rectángulos iguales por la mediatriz de su lado mayor, los lados de los dos rectángulos obtenidos tendrán las mismas proporciones que los lados del rectángulo inicial.
los folios din a4 tienen estas proporciones. si os dais cuenta, al dividir un folio en dos cuartillas, éstas tendrán la misma proporción ancho:largo que el folio.
la raíz de 3 es la diagonal de un cubo cuya arista mide 1 unidad. si cortamos el cubo por un plano que pase por las diagonales de dos caras paralelas, obtendremos un rectángulo cuyo lado menor es 1 y cuyo lado mayor es raíz de 2. y es que, como explicábamos antes, la raíz de 2 es la diagonal de un cuadrado de lado 1. y las caras de un cubo son cuadradas.
la diagonal del cubo será la diagonal de ese rectángulo, y su longitud se calcula mediante el teorema de pitágoras.
la diagonal del cubo será la diagonal de ese rectángulo, y su longitud se calcula mediante el teorema de pitágoras.
la altura de un triángulo equilátero de lado 1 unidad es la mitad de la raíz de 3. al trazar la altura, el triángulo equilátero quedará dividido en dos triángulos rectángulos cuyo cateto mayor es la altura que queremos hallar. nuevamente lo hacemos aplicando el teorema de pitágoras.
la raíz de 5 es la diagonal de un rectángulo de lados 1 y 2 unidades. Para representar gráficamente el número áureo, cuyo valor es (1+√5)/2, se suele dibujar un rectángulo de proporciones 1:2 como construcción auxiliar.
la raíz de 5 es la diagonal de un rectángulo de lados 1 y 2 unidades. Para representar gráficamente el número áureo, cuyo valor es (1+√5)/2, se suele dibujar un rectángulo de proporciones 1:2 como construcción auxiliar.
hablando de lo cual, podemos terminar con el rectángulo cuyos lados tienen la proporción áurea, 1:Φ. si dentro de este rectángulo desgajamos un cuadrado cuyo lado sea igual al lado menor, el rectángulo restante también tendrá la proporción áurea.
si se calcula la proporción entre los lados del nuevo rectángulo formado, haciendo una serie de operaciones se comprueba que el resultado es el número áureo, Φ.
si se calcula la proporción entre los lados del nuevo rectángulo formado, haciendo una serie de operaciones se comprueba que el resultado es el número áureo, Φ.
Aunque yo soy negadísima para las matemáticas, me maravilla ver lo perfectas que son, lo exacto que es todo, y que todo tiene lógica y guarda relación entre sí. Me ha recordado tu explicación (aunque no sé bien por qué) al libro de "El ocho". En él se explicaba en algún sitio que todo en el universo estaba dividido en ocho partes y lo iban haciendo encajar con una claridad pasmosa. Las notas musicales, las piezas de ajedrez..... (el libro va mucho de ajedrez). Me fotocopié unas paáginas donde lo explicaban incluso proque era muy interesante (ya no lo recuerdo bien, claro)
ResponderEliminarMe ha gustado saber que el A4 tiene esa proporción de las cuartillas y el propio A4. QUé chulo!!!
Besos
rosana, esa novela tiene que estar muy interesante. del tema de las notas musicales habla en el libro 'geometría sagrada'. si se divide la longitud de una cuerda en dos, la nota que suena al tocarla será una nota más alta... algo así.
ResponderEliminarlo de las dimensiones del folio sí que es algo que vemos a diario, jeje. las medidas del folio din a4 son, si no recuerdo mal, 297 de largo y 210 de ancho. si se divide el largo entre el ancho, sale un número que se aproxima mucho a la raíz de 2.
besitos!
Huys las raices cuadradas! Recuerdo un día con unso cuantos amigos y ninguno fuimos capaces a recordar como demonios se hacían, jajajajja
ResponderEliminar"El Ocho" lo leí hace un montón de años y sé que me gustó mucho, mucho
Ay, las raíces cuadradas... Las recuerdo como una pesadilla auténtica, si...
ResponderEliminarMi peque ya comenzó con las mates, concretamente las sumas sin llevar (imagina, lo básico) y ya en cuanto vi números me empezó el tembleque. Con lo bien que íbamos con los animales, el zoo, el arte, la geografía y la historia...
Lo peor: Me paso el día entre libros de contabilidad y cuadrando. Me tuve que tirar hacia la rama mercantil de mi carrera y la detesto. Conclusión: Los números están en todas las cosas y creo que el universo está formado por ellos en toda su extensión. No hay modo de evitarlos, así que mejor llevarse bien con ellos. (Yo me llevo fatal, que conste. Soy una inadaptada!!)
Besos, Chema
geno, yo tampoco me acuerdo de cómo se hacían las raíces cuadradas, recuerdo vagamente que lo di en el colegio y nunca lo llegué a entender... debe de ser algo bastante anti-intuitivo, porque nadie se acuerda de cómo se hacía. si tuviera que explicarlo en alguna clase particular me vería en apuros, tendría que buscar algún tutorial en internet. :S
ResponderEliminarblas, yo estudié algo de contabilidad en el segundo ciclo de la carrera (soy de la especialidad de organización industrial) y en las opos que me puse a preparar hace tiempo... y no me gusta. hay cosas que no tienen mucha lógica. y se requiere exactitud en cosas en las que no tiene sentido pretender ser exacto porque son difícilmente cuantificables. por ejemplo, cuando se contabiliza un deterioro... cuál es el verdadero valor de un inmueble que tienes? Dios lo sabrá...
besos!
Ayyyyyyy Chema ¡cómo me haces sufrir!
ResponderEliminarPues Chema, yo ahora estoy encantanda, después de años usando la calculadora, he vuelto a recordar como se hacen divisiones de dos cifras con mi hijo. No sé la de años que no había hecho una. Y ahora, tachán Chema, hemos empezado con las fracciones.... con lo que me gustan las fracciones. Así que corregir a mi hijo los deberes o explicarle cosas, es para mí como una diversión.
ResponderEliminarSupongo que más de uno pensará, estos ingenieros están locos. XDDDDDD
inma, no sufras, mujer, jeje. este post es sencillito, es de figuras geométricas, dibujadas con varios colorines. :D que por cierto, siempre tiendo a utilizar los mismos, tanto para las clases como para el blog: el azul, el fucsia, el morado, el azul mar... tenía en mente otras dos ideas para un post, pero eran muy densas y las tengo que madurar un poco más. ;)
ResponderEliminarlucía, tus hijos ya tienen la ayuda en casa para las mates!! :) las divisiones con divisor de dos o más cifras tampoco me acordaba de cómo se hacían, yo lo que hacía era buscar por tanteo un número que multiplicado por el divisor fuera menor o igual que las cifras que habías tomado del dividendo, a lo bruto. pero claro, así no se lo puedes explicar a un niño, porque no es como se lo han enseñado en el colegio y le lías. busqué en internet la manera tradicional de hacerlo y ya me enteré.
las fracciones son un tema muy entretenido. sí que pueden pensar que estamos un poco locos, jeje. por cierto, feliz día de los ingenieros a ti también, que me lo has recordado antes en tu blog!! :D
De lo que no hay duda es de que las matemáticas son un lenguaje de una perfección que las hace bellas. Eso leí hace poco no recuerdo ni dónde, pero lo comparto totalmente.
ResponderEliminarshirat, eso es verdad. también se dice las fórmulas matemáticas más elegantes son las más breves y sencillas. como el teorema de pitágoras, por ejemplo. y a mí los problemas que más me gustan son los que tienen un planteamiento sencillo (que no quiere decir que sean fáciles de resolver).
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