olas

ayer en santander la marea estaba alta como nunca la había visto. las playas de los peligros y de la magdalena estaban casi separadas. sólo una estrecha franja de arena las mantenía unidas.

las mareas son un complejo fenómeno de variaciones en el nivel del mar, que se deben a la atracción gravitatoria del sol y de la luna y a los cambios en la presión atmosférica.

las mareas son un buen ejemplo para explicar a nivel académico lo que significa la derivada de una función. yo llego a la playa y distingo enseguida si la marea está alta, normal o baja. eso sería el valor de la función. sin embargo, no tengo tan claro si la marea está subiendo o bajando. esa sería la derivada de la función.

si la marea, por ejemplo, está baja, pueden ocurrir dos cosas: que haya llegado a su mínimo y que ya esté subiendo otra vez, o que tenga que bajar más aún. lo mismo si la marea está alta: puede que haya llegado al máximo y ya esté bajando, o que aún esté por llegar a ese pico. y si la marea está a un nivel medio, puede ocurrir cualquier cosa.


cuando empiezo a recorrer caminando la playa por la orilla, en la esquina donde comienza la playa de los peligros siempre veo un movimiento de olas que me recuerda a una cosa que leí hace tiempo en una de las enciclopedias científicas de mi abuelo.

la función trigonométrica sen(x) tiene un patrón cíclico que se repite hasta el infinito y más allá. en el intervalo entre x=0 y x=2·pi, la función toma valores entre -1 y 1 pasando por el cero, y así se va repitiendo cíclicamente. por tanto, no es posible saber el valor de esta función en el infinito. puede tener cualquier valor entre -1 y 1 según en qué posición del ciclo se encuentre.

en ese libro de mi abuelo hablaban de otra función más complicada: sen(1/x). cuando nos aproximamos al origen de coordenadas, es decir, a x=0, la función va variando cada vez más abruptamente, pero siempre entre -1 y 1. va formando ondas cada vez más verticales y estrechas, que ni con el zoom más amplio se podrían distinguir. y en x=0, la función sen(1/x) está indeterminada, puede tomar literalmente cualquier valor entre -1 y 1.

en el citado libro ponían otro ejemplo de función con comportamiento extraño. más difícil todavía: x·sen(1/x). esta función en el origen vale cero, porque cero por cualquier cosa es cero. pero esta vez es su derivada lo que no adopta ningún valor determinado en el origen.

si derivamos la función, obtenemos sen(1/x)-cos(1/x)/x. en x=0, se da una indeterminación. es complicado de explicar aquí, pero os puedo decir que se trata de una indeterminación, no es infinito ni nada de eso, como se podría pensar.

la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. es una medida de la dirección en la que está variando la función. el hecho de que la derivada en el origen esté indeterminada, quiere decir que la función se acerca al origen desde cualquier dirección. desde todas y desde ninguna.

pues eso es justamente lo que ocurre en la esquina donde empieza la playa de los peligros. :D las olas llegan desde todas las direcciones a la vez, probablemente debido al choque con las rocas. en las fotos que tomé para esta entrada se puede observar el movimiento caótico de las olas, aunque al natural resulta mucho más acusado. especialmente cuando la marea está alta y subiendo.

en cualquier caso, hoy no seré yo quien vea los movimientos de las olas, pues está nublado (de hecho esta mañana ha llovido) y no apetece ir a la playa. otra vez será. :P