materia prima

ayer, tras hablar un rato por teléfono con una vecina mayor a la que conozco de hace muchos años, pensé sobre ella y sus hij@s: “ellos están hechos de otra pasta”. cada uno/a con su personalidad, pero esa familia tiene una genética más realista, más serena, con más autoestima... a pesar de las diferencias, hay entendimiento y aprecio mutuo entre ellos y yo.

me gusta ese uso de la palabra pasta. además, imaginar que las personas estamos hechas de una cierta pasta, arcilla o lo que cada uno prefiera, me recuerda a la teoría de la materia prima y la forma sustancial que proponía aristóteles.

supongo que yo estoy hecho de una pasta que tendría como ingredientes el gusto por los problemas abstractos, el miedo a experimentar ciertas emociones, un poco de humor absurdo para animarme a mí y a otros... 😊

en las clases particulares de mates, en vez de soltar un monólogo, me gusta hacer interactuar al alumno/a. el tema de los tipos de sistemas de ecuaciones según su compatibilidad, es uno de los más divertidos de explicar.

para mostrar un ejemplo de sistema compatible determinado -una única solución-, le pido al alumno/a que se invente sobre la marcha un sistema de ecuaciones y me lo dicte. para que sea compatible determinado, la matriz de coeficientes del sistema debe tener determinante distinto de cero. y eligiendo los coeficientes al azar, sería poquísimo probable que diera cero. para que dé cero hay que planearlo deliberadamente, como veréis después.

ahora veremos un ejemplo de sistema compatible indeterminado -infinitas soluciones-. en ese caso le pido al chico/a que me dicte sólo las dos primeras ecuaciones, las que se le ocurran con total libertad. la tercera ecuación la saco yo, sumando las dos primeras, tanto los coeficientes de las variables como los términos independientes. en vez de sumar las ecuaciones podría restarlas, o sumar el doble de la primera más la segunda... cualquier combinación lineal. la más sencilla es simplemente sumarlas.

observamos que el determinante de la matriz del sistema es cero. para que el sistema sea compatible indeterminado, hay que comprobar que las tres ‘submatrices’ que incluyen la columna de términos independientes también tienen determinante cero. dado lo tedioso de esa tarea, suelo hacerlo yo, porque lo que me interesa es que comprendan los conceptos más que agotarles haciendo operaciones numéricas.

 

nos queda el caso de sistema incompatible -ninguna solución-. entonces le pido al chaval/a que se invente las dos primeras ecuaciones. para la tercera, lo que hago es sumar las dos primeras... pero esta vez, sólo los coeficientes de las variables. para el término independiente, rompo la pauta aposta: pongo cualquier término independiente que no sea la suma de los dos primeros.

el determinante de la matriz del sistema será cero, como estaba previsto. y esta vez, llegar a la conclusión de que el sistema es incompatible será menos laborioso. en el momento en que nos encontremos un ‘subdeterminante’ que contenga la columna de términos independientes y que sea distinto de cero, ya no tendremos que seguir. con eso ya sabremos que es un sistema incompatible.

espero que os haya parecido entretenido. y volviendo al tema inicial, también hay otros tipos de pasta... si viajamos a italia, ya nos ayudará con el idioma la simpatiquísima estheriana italo-suiza-granadina, que es bilingüe.

y la enfermera guay, que es bilingüe con el catalán, con el italiano lo tendrá chupado. 😉

visión

 

esta mañana he ido a hacerme una revisión de la vista. luego, con el informe en mano, he encargado unas nuevas gafas en la óptica. serán muy parecidas a las que tengo ahora, no me apetecía cambiar.

notaba que para leer o para mirar cualquier cosa de cerca, veía casi mejor sin gafas. me han explicado que eso se debe a la presbicia, y que es algo normal. en cualquier caso, levantándome las gafas o no, seguiré viendo los bonitos vídeos de bosques y tirolinas que me envía una buena amiga. 😉

un profesor de ciencias naturales nos explicó que quien ve es en realidad el cerebro, es ahí donde nos llegan las imágenes del mundo exterior. los ojos serían entonces una especie de lentes que filtran esas imágenes?

también nos explicaron que lo que vemos, en sentido estricto, son colores. y eso tiene toda la lógica, porque todas las demás percepciones que se nos puedan ocurrir, pertenecen a otros sentidos. y por muy tridimensional que sea el mundo, con sus luces y sombras, no dejan de ser tonalidades de colores. y saber identificar a qué ser viviente o a qué objeto corresponde la imagen que recibimos, ya es otra función distinta de la estrictamente visual.

luego he ido a darle clase a esa misma chica a la que le mandé algunos vídeos desde el pueblo, porque quería ayudarla para un examen pero me pilló allí. borré los vídeos de mi móvil para que no me ocuparan espacio, pero sin querer se me quedó uno, era de una duda que me preguntó la noche antes de su examen.

no es especialmente ameno, pero es el que conservo. 😊 y, enlazando con lo que comentábamos antes, aunque hablemos de “ver un vídeo”, en realidad lo vemos y lo escuchamos. por cierto, en la clase de hoy nos hemos dedicado a los sistemas de ecuaciones, que es la continuación de matrices y determinantes.

durante la breve espera en el oftalmólogo, así como en el desplazamiento a casa de mi alumna y la vuelta, he estado leyendo la novela ‘historia del rey transparente’ de rosa montero, ambientada en la edad media. es muy extensa y apenas llevo leída una cuarta parte, por lo que seguramente me encontraré con muchos pasajes interesantes según avance. pero este breve diálogo me pareció bonito.

–Ah, ya estás de pie, Leola...

–He dormido muchísimo

–Lo necesitabas. El sueño es la mejor cura para las heridas. Para todas las heridas. Para las producidas por el filo que corta, por la punta que clava o por la punta que envenena. Recuérdalo.

vencer la gravedad

en las historietas de zipi y zape, los escapes de agua son recurrentes. aquí vemos cómo un potente chorro de agua que sale de la tierra eleva a los gemelos, venciendo la atracción gravitatoria.

es asombroso cómo la fuerza que hace caer las manzanas de los árboles tiene el mismo origen que la fuerza que hace girar a los planetas.

g = 9,8 m/s² es la aceleración de la gravedad que se usa en los problemas de física. se calculó a partir de la ley de newton, siendo G mayúscula la constante de gravitación universal, M la masa de la tierra en kilogramos, y R el radio de la tierra en metros.

no es fácil escapar de la gravedad terrestre, pero puede llegar a lograrse si se despega con la velocidad inicial suficiente, lo que se llama velocidad de escape.

a veces tus amistades y otras personas que te ayudan de una manera o de otra, son como una red que te impide caer al vacío. o como un campo de fuerza que contrarresta a la gravedad.

en la breve pero intensa novela ‘un instante en la oscuridad’ de gemma urraka, me llamó la atención este pasaje:

A pesar de vivir bajo el mismo techo, apenas interactuábamos, y en ellos me preguntaba cuál era el sentido de estar allí. ¿Cuál es el sentido de la existencia si no la compartes con nadie? Si durante todo un día no había hablado con nadie, no había conectado con nadie, ¿cuál había sido el propósito de ese día?

por muy introvertidos que podamos ser, al final nos necesitamos sostenernos unos a otr@s. gracias una vez más por estar ahí.

nubes

 

mi amiga enfermera me envió ayer por whatsapp una bonita foto del cielo, en una zona de su ciudad frecuentada por aviones. habían dejado varias estelas que se entrecruzaban entre sí, lo cual me dio ideas para problemas de matemáticas, tal como ella preveía al mandarme la foto. 😉

podríamos pensar en tres rectas contenidas en un mismo plano, y que se cortan dos a dos, formando una zona cerrada triangular. un posible problema podría consistir en calcular el área de ese triángulo.

para ello, obtenemos los puntos de intersección de cada recta con las otras dos. esos puntos serían los tres vértices del triángulo.

el problema que he preparado es fácil: la recta que hace de base es horizontal, y las coordenadas de los tres vértices son números enteros. con lo cual, representando las rectas en papel cuadriculado, la base y la altura del triángulo se hallan simplemente “contando cuadraditos”. no hace falta aplicar el teorema del coseno ni nada por el estilo.

en otro orden de cosas, ayer por la mañana recuperé una de las clases de dibujo que me perdí los días que estuve fuera. lo primero que le dije a la profesora cuando entré fue que me dejara dar por terminado el retrato de madonna, con el que había empezado antes de las vacaciones de verano. ya le estaba cogiendo algo de manía, y además lo tenía asociado a recuerdos tristes.

ella y su marido -quien se ocupa de las tareas administrativas y de la organización de materiales del taller- estuvieron muy comprensivos: “claro, chema, si estás saturado y te transmite malas sensaciones, puedes empezar otro trabajo nuevo”. pero como no llevaba ninguna lámina en blanco, lo que acordamos fue terminarlo en esa clase, y en la siguiente empezar algo nuevo.

me prepararon un café, y una alumna mayor con la que nunca había coincidido, se me acercó y me dijo dándome caricias en los hombros: “qué chula te ha quedado, ya casi la tienes! sabes? yo fui a ver a madonna en concierto hace unos años”.

volviendo a los aviones mencionados al principio, mi amiga la enfermera guay me dio la idea de jugar a imaginar quiénes van dentro. por ejemplo, en éste que veis más abajo viajan esther y su tía marga.

para los sitios donde me gustaría ir, me valdría el tren. pero no se sabe lo que la vida nos puede deparar...

cabeza y corazón

mi reciente estancia en el pueblo, se prolongó más de lo deseable por unas circunstancias y otras. pero durante dos o tres días tuve la mente ocupada ayudando a distancia a una alumna que tenía un examen. le fui explicando uno por uno los ejercicios de unas hojas que me envió, grabándole vídeos con el móvil. ya sabéis, con la mano izquierda sujetando el móvil, y con la derecha escribiendo mientras explico.

mi alumna ha aprobado, me dio una gran alegría cuando me lo dijo. ahora, de vuelta en madrid, podré volver a darle clases presenciales, que es como hay que darlas...

para ilustrar esta entrada, he elegido entre los ejercicios que le expliqué uno que no fuera muy farragoso. éste es el típico de calcular los valores de un parámetro que anulan un determinante.

pero había que calcular una suma elevada al cubo. tengo comprobado que a los alumn@s no les suelen gustar las identidades notables, no digamos el binomio de newton. así que se lo expliqué de otra manera, jugando con las filas de la matriz para que el determinante fuera más sencillo de calcular.

 

también me ha ayudado a mantener la mente ocupada la novela que todavía estoy leyendo, ‘venganza’ de carme chaparro. es la tercera parte de la trilogía -al menos por ahora- delito/castigo/venganza.

hacia las primeras páginas leí esta frase que me gustó mucho:

¿Una época complicada?

¿Qué sabía ese idiota de épocas complicadas?

No sobreviviría ni media hora en mi cabeza.

Y, aun así, cree estar al mando.

espero que os haya gustado esta entrada. de nuevo, gracias a tod@s por estar ahí.

hiperfoco

siempre tuve una mente algo obsesiva. en un momento dado de mi vida me da por un tema, y aunque luego tenga etapas en las que lo deje un poco aparcado, nunca lo abandono del todo y con toda seguridad lo retomaré con más fuerza.

por orden cronológico, me ha pasado con los cómics, con los idiomas, con las calles y barrios de las ciudades, con las matemáticas, con la psicología, con la música pop-rock...

la semana pasada falleció mi madre, me he quedado en el mundo con familiares muy complicados, y por eso necesito cosas que me hagan mantener la mente ocupada.

mi afición por las mates nació en 7°egb, cuando el profesor nos puso una ecuación de primer grado mal planteada. al resolverla, salía una división entre cero.

cuando al agrupar los términos de una ecuación sale algo tipo

0•x = 1 

eso al despejar nos daría 

x = 1/0

se puede decir que la ecuación no tiene solución, porque equivale a preguntarnos qué número multiplicado por 0 nos da 1 (o cualquier otro número no nulo). obviamente eso no existe.

o bien decimos que 1/0 es infinito. y es que el infinito es algo tan grande que aunque lo multipliques por 0 no lo anulas.

otro caso extremo diferente es:

0•x = 0

al despejar nos da

x = 0/0

una fracción es 0 cuando el numerador es 0. pero por otro lado también sabemos que un número dividido entre sí mismo da 1. entonces, 0/0 es 0 o es 1?

pues bien, 0/0 puede ser cualquier cosa, es una indeterminación. y tiene lógica, porque la ecuación nos pregunta qué número multiplicado por 0 da 0. pues cualquiera, todas las soluciones son válidas.

mil gracias por vuestros mensajes de apoyo... primera vez que escribo una entrada desde mi teléfono, totalmente improvisada y sin plan ni borrador previo. las viñetas son un poco random y las he entresacado de la galería del móvil.

destello de luz

el reto que propuso nuestra amiga ginebra para este mes de septiembre, tenía como tema la fantasía. siempre he sido muy dado a imaginar situaciones ficticias, por lo que no me ha resultado difícil escribir algo en esta línea. como es habitual, debíamos inspirarnos en una imagen elegida entra varias que ella nos daba.

pues aquí lo tenéis, escrito esta noche del tirón, con mucho corazón y poca cabeza. espero que os guste.

A veces necesitaba huir de mi entorno, cogía el autobús y me iba a Puente de Vallecas. Una vez allí, subía por la avenida de la Albufera hasta el estadio del Rayo Vallecano, y a continuación giraba en dirección al parque de las Siete Tetas. Es un lugar inspirador, algunas de las pocas buenas ideas que tengo se me han ocurrido allí.

Pero en aquella ocasión, quise variar. Decidí ir a Entrevías –que también es parte del distrito Puente de Vallecas–, y lo asocio a buenos recuerdos gracias a una buena alumna que vive allí.

Bajé del autobús 102, y me quedé un momento indeciso. Miraba alternativamente a las vías de tren –protegidas por unas vallas llenas de grafitis– y al entramado de calles por donde iba a casa de mi alumna.

De repente pasó por allí una chica con melena pelirroja rizada. Me miró fijamente y me dijo:

–¡Yo te conozco!

Tardé unos segundos en reaccionar.

–¡Yo a ti también! Eres la chica que una vez me sujetó del brazo porque el autobús daba muchas sacudidas, y yo por el ‘toc’ no quería agarrarme la barra.

–¡Todos necesitamos sujetarnos unos a otros alguna vez! –rio ella–. Yo me llamo Alejandra, ¿cómo te llamas tú?

–Chema... Y últimamente mis días no son tan bonitos como aquél del autobús. Problemas y desilusiones varias... A decir verdad, buscaba las vías del tren.

Ella me lanzó una mirada penetrante, que parecía leer en mi alma.

–De eso nada, majo. Vas a venir conmigo a mi casa –dijo muy seria, en un tono que no admitía réplica.

Caminamos por unas calles llenas de bares y pequeñas tiendas, hasta legar a su portal. Me advirtió de que no había ascensor, y yo le aclaré que eso no era problema para mí, llevo años sin pisar uno.

Al entrar en su piso, vino a saludarnos un simpático conejo, de gran tamaño, pelaje gris y ojos vivos.

–Este amigo mío es Leo –me explicó ella–. Le llamé así por Leonardo Da Vinci. ¡Me encantan el arte y la geometría! Un día que fui de excursión al campo, me lo encontré y parecimos tener un flechazo mutuo instantáneo, así que le adopté.

–¡Qué guapete tu amigo Leo! Pues fíjate, los conejos me hacen pensar en la sucesión de Fibonacci, ya que se ideó para predecir el número de crías a partir de una pareja de conejos, tras sucesivos apareamientos entre sus descendientes...

–Oye, oye… –dijo Alejandra con una amplia sonrisa y los ojos muy abiertos–, ¡me parece que tú y yo tenemos muchas cosas de las que hablar!

–Si te gusta el arte, voy desde hace un año a una academia muy buena, por la zona de Alto del Arenal... –dije algo abrumado.

–Pues mira, me informaré y puede que me apunte. Pero sobre todo, no quiero que vuelvas a pensar en vías de tren, ¿estamos?

–...

–Además, seguro que tienes amigos y amigas que hacen que tu vida merezca la pena.

–Sí, la fan de Esther de pelo rizado, Ginebra y sus letras, Devo y Doroty, la abuelita gallega, la Caperucita enfermera...

–¿Lo ves? ¡Y en esa lista yo estaré pronto, hazte a la idea! –remató, con una risa contagiosa.