martes, 24 de marzo de 2020

espacios


cuando estaba en cou, recuerdo que un día estaba hablando con un vecino mío un año mayor que yo, que estudiaba 1º de teleco, y le dije algo así como “a ti te gustarán mucho las matemáticas, supongo”. y él me respondió irónicamente: “desde que di los espacios vectoriales, no”. su queja no era tanto por la dificultad de ese tema, sino por su supuesta falta de utilidad práctica.

a pesar de la mala fama de los espacios vectoriales -conozco a más gente a la que no le gustan-, cuando yo los estudié en álgebra de 1º de industriales me parecieron muy interesantes. eso sí, a día de hoy me acuerdo de muy poco, porque es un tema en el que no se ahondó en otras asignaturas posteriores.

recuerdo los conceptos más básicos. por ejemplo, una recta es un espacio de dimensión 1, un plano es un espacio de dimensión 2, y el espacio completo es de dimensión 3. luego puede haber espacios de dimensión mayor que 3, pero son imposibles de imaginar para la mente humana.

los espacios vectoriales se pueden aplicar a los sistemas de ecuaciones. veamos unos ejemplos que he inventado sobre la marcha, con sistemas cuyos términos independientes son nulos, para simplificar el problema.

en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, compatible determinado, el rango de la matriz del sistema es 3. sólo existirá una solución, que se podrá representar geométricamente como un punto del espacio. por tanto, el número de grados de libertad será 0.


si el sistema es compatible indeterminado, el rango de la matriz será menor que 3. en el caso de que el rango sea 2, habrá 1 grado de libertad. esto quiere decir que el conjunto de soluciones se podrá generar a partir de un solo vector, multiplicándolo por el coeficiente que se desee. por tanto, las soluciones se podrán representar mediante una recta.


y si el rango de la matriz del sistema es 1, habrá 2 grados de libertad. el conjunto de soluciones vendrá generado por todas las posibles combinaciones lineales de dos vectores. se obtendrán soluciones del sistema multiplicando cada uno de ellos por el coeficiente que se desee, y sumándolos o restándolos. geométricamente, dichas soluciones formarán un plano.


en el caso un poco tonto de que la matriz del sistema tenga rango 0 -lo cual significa que todos sus coeficientes son nulos-, habrá 3 grados de libertad. cualquier terna de valores de {x,y,z} será solución del sistema. por tanto, las soluciones llenan por completo el espacio tridimensional.


el espacio exterior que contiene a todos los astros, es inmenso y multidimensional. viendo nuestra tierra desde el espacio, nos damos cuenta de que los seres humanos que la habitamos somos muy pequeños...

31 comentarios:

  1. Somos pequeños y grandes a la vez, desde mi telescopio te veo gigante, en inquietudes, y vida.

    Besos.

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  2. Hola.
    Es increíble que te gusten los espacios vectoriales, la única persona que conocía hasta ahora con ese gusto es mi hija.
    Muy feliz martes y siiii, la tierra, en medio del inmenso espacio es pequeñita.

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  3. En todo hay algo que destacar, pero es cierto que no es lo mas bonito que tienen las mates, y su utilidad es sectorial. Ayer viendo la tele y buscando que ver que no fueran noticias me encontré con una profesora que enseñaba la raíz cuadrada, me quedé viéndola ensimismada, hace años que no he hecho ninguna, que no he necesitado hacer ninguna. Abrazos y una sonrisa

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  4. Bom dia:- Existem mesmo espaços onde não consigo entrar. O aqui exposto é um deles, lol
    .
    Uma feliz Terça-Feira

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  5. Somos muy pero que muy pequeños y pequeñas y más vulnerables de lo que pensábamos. por cierto ¿has puesto las migas de pan en las ventanas? dime que sí...

    Besines utópicos.-

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  6. Bueno, pues yo te agradezco que me hayas descubierto un concepto que no sabía que existía, y respecto al espacio y al tamaño, no hay más que ver cómo algo tan imperceptible como un virus nos está complicando la vida, su tamaño físico es inapreciable, pero el que ha invadido y modificado en cuanto a nuestra forma de vivir es inmenso.
    No sé si tiene algo que ver con lo que has explicado pero es lo que se me ocurre, en mi calidad de analfabeta matemática.
    Besos.

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  7. Que pequeñitos nos ven desde el espacio, amigo.

    Gracias por compartir tus conocimientos, siempre útiles. Un abrazo

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  8. Desde arriba parecemos hormiguitas ..pero bueno al menos parecemos algo ..
    Gracias por todo lo que nos enseñas y sobre todo recordamos ..Abrazos Chema sigue cuidándote.

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  9. amapola, gracias por el piropo!! :* las cosas son grandes o pequeñas según con qué las compares. 1 es pequeño frente a 1.000, y 1.000 es pequeño frente a 1.000.000.

    gemma, de las dos asignaturas de matemáticas que tuve en 1º, álgebra lineal y cálculo infinitesimal, pensaba que iba a preferir cálculo, pero fue al revés. me gustó más álgebra, sobre todo al principio, luego quizá la cosa se igualó un poco.

    ester, yo cuando empecé a dar clases particulares hace unos años, tuve que buscar tutoriales para recordar cómo se hacían las raíces cuadradas y poder explicarlas a los niños, porque apenas las había hecho en mi vida.

    ricardo, me has hecho recordar la canción 'the carpet crawlers' de genesis, que dice "you've got to get in to get out" (tienes que entrar para poder salir).

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  10. irma, así es, el ser humano puede hacer grandes cosas (desde creaciones artísticas has descubrimientos científicos), pero al mismo tiempo es muy frágil. ya he puesto las migas de pan, a ver cuánto duran. ;)

    ilona, de eso nada, seguro que sabes más matemáticas de lo que crees! eso lo he pensado a veces, lo increíblemente amplia que es la gama de tamaños de los objetos que existen en el universo. desde un quark hasta una galaxia. en biología de 3º de bup nos explicaron que los virus no eran seres vivos, pero que se propagaban y se hacían copias de sí mismos...

    albada, me gustan esos vídeos de realidad virtual en los que una cámara se va alejando de la tierra, luego deja atrás el sistema solar, luego la galaxia... somos un punto en el universo.

    campirela, al ser animales bípedos, somos estrechos y alargados. si hubiera seres de otros planetas, a saber qué proporciones tendrían. leí 'la guerra de los mundos' de h.g. wells hace cosa de cinco años. el final era sorprendente...

    besos!!

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  11. Hi Chema, I always enjoy visiting your blog so much, for your articles and also for the comments and interaction. :) My sister and I talked about the subject of our planet's place in space and our proportions versus possible much larger beings a while ago (when we still were allowed to see each other), that's a funny coincidence. :) I remember learning about matrixes during my informatics studies, I found it all very interesting. Kiss!

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  12. Está claro que todo lo que no ve la mente puede existir...

    A mí me encantan las ecuaciones de segundo grado. Disfruto con ellas. A partir de ahí ya me he perdido :-) Osea, que el camino más cortos siempre es una recta, ¿no? :-) :-) Digo :-)
    Un besote :-9)

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  13. Ay Chema,a mi ya sabes que todo esto me hace un tremendo lío,pero me gustan las imágenes que has puesto.Y sobre todo que en este grande universo somos o muy pequeños o muy enormes! Y en nuestro micromundo somos la leche! Besotes corazón.

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  14. Si es que no hay profe como tú, cuánto me hubiera gustado tener un profe como tú, con esa paciencia y tu técnica de enseñanza que me cautiva, seguro que me hubieran gustado más las matemáticas.

    Muchos besos y cuídate mucho.

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  15. Cuando algo nos parece insulso dejamos de prestar atención... y en ocasiones descubrimos datos interesantes... como tus explicaciones, Chema.

    Te felicito por tu entrada y por compartir con nosotros tus recuerdos.

    Mil besitos con todo mi cariño y te me cuidas mucho, solete.

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  16. A veces no nos gusta algo o alguien porque no lo conocemos. Por cierto, yo también estudié COU, cuán lejos queda eso ya ¡¡¡¡
    SAludos.

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  17. Amigo Chemita...
    Me quedo con lo de las dimensiones en el espacio y de lo pequeños que somos.

    Parece que existen entre 9 a 11 dimensiones.
    Eso dicen los científicos.

    ¿Como somos realmente?
    Saluditos Doctor. 💙💙👦

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  18. Hola Chemita, qué tal vas?? Los espacios vectoriales me recuerdan a Vector, el malote de Gru, que además era un hortera total. Por lo demás, ni idea, claro!
    Ya veo que sigues dando clases aunque sean virtuales...
    Besos y cuídate!!

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  19. linda, i had never thought about size proportions from that point of view, it's very interesting! a few years ago, a friend of mine gave me a book about matrixes applied to message encoding, as a present. i enjoyed it a lot.

    mag, precisamente hace un rato le he mandado a una alumna unos vídeos explicando unos ejercicios que le han mandado, y en ellos había que resolver alguna que otra ecuación de 2º grado. se supone que el camino más corto es la línea recta, aunque en ciudad no siempre se puede. ;)

    imanara, 'el cacao espacial' es una de las aventuras largas más divertidas de mortadelo y filemón, de ahí he sacado muchas viñetas para los posts. ^_^ aunque somos pequeños, cada persona por dentro es un mundo.

    maría, ahora estoy dando clases a base de enviar a los alumn@s vídeos explicando cómo se hacen los ejercicios. me cansa más que las clases presenciales, pero bueno, más o menos entienden lo que les mando, así que... :)

    besos!!

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  20. auroratris, en este caso son recuerdos de hace más de veinte años. cuanto más tiempo pasa, más perspectiva tienes. :) estoy en casa como todo el mundo, pero sigo teniendo que ayudar a mis alumn@s, no me aburro. ^_^

    manuela, hay cosas que no gustan a la primera y hay que darles tiempo. me ha ocurrido con algunos grupos musicales, como pink floyd. yo soy del 77, creo que soy de los últimos del plan de estudios egb-bup-cou.

    romaxu, me acordé de ti al escribir esta entrada, sabía que lo del espacio te iba a gustar. :) pensar en un espacio de "sólo" cuatro dimensiones ya es imposible para la mente humana. dadas las tres direcciones del espacio tridimensional, x,y,z, tienes que pensar en una cuarta dirección que sea perpendicular a las otras tres...

    rosana, me paso el día resolviendo ejercicios que le mandan de deberes a los alumn@s, y explicándoselos por vídeo. ^_^ parece mentira, pero aun estando en casa como todos, no me da tiempo a nada...

    besos!!

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  21. A todo te digo que sí, y estoy de acuerdo contigo en el último párrafo.
    Besos, Chema

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  22. En nuestra época de estudiante creo que todos hemos pensado alguna vez, ¿ Y esto para que me va a servir? Pero todo tiene su utilidad en esta vida
    Besitos Chema, espero que tú y toda tu familia y amigos estéis bien

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  23. Lanza tus sueños al espacio como una cometa y no sabes lo que te devolverán: una nueva vida un nuevo amigo un nuevo amor un nuevo país.
    Desde todas partes hay la misma distancia a las estrellas ¡¡¡

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  24. Los seres humanos somos pequeños e insignificantes... la mejor muestra es lo que está pasando estos días.

    Besos.

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  25. maite, el ser humano se cree el centro de todo, pero va a ser que no. en comparación con la historia de la tierra, el tiempo que ha pasado desde los primeros asentamientos humanos es mínimo.

    maribel, no me gusta cuando algún alumn@ mío me dice que las matemáticas no sirven. aparte de que no es verdad, pienso que esas ideas se las habrán inculcado en su casa, y así es muy difícil que estén motivados.

    lua, qué bonito lo que dices!! y sí, la distancia a las estrellas es tan grande, que de mirarlas desde un punto u otro de la tierra, la diferencia es inapreciable. ocurre incluso con la luna, que está mucho más cerca. aunque te desplaces, siempre ves la luna en el mismo sitio.

    mari, así es, un virus microscópico puede causar mucho daño. la evolución es así, una especie puede parecer muy fuerte, pero en un momento dado surge algún fenómeno que ataca en el punto más débil...

    besos!!

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  26. Osea que a rango más pequeño,mayor grado de lbertad,asi me pareció.Tampoco yo soy de ciencias,aunque me gustan las mate,pero a tanto ya no llego.(sonrisa)
    Pues si,somos como hormiguitas ,o como sus patitas,o como sus falsas falanges ,o ...
    Así comparados no somos "ná"
    Valga como sonrisa para salir del miedo
    Me ha gustado la lección hoy.
    Besucos simpático ,amiguco bueno

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  27. Ay Chema tu pasión por las matemáticas... yo me pierdo, a veces mis hijos me hacen preguntas y me quedo pensando... yo soy de letras puras, huía de las matemáticas porque no sé si tuve mala suerte y me tocaron malos maestros que no sabían explicarlas bien o que mi mente no está hecha para ellas. Lo cierto es que cuando hablas de términos matemáticos me pierdo enseguida, lo siento! Besos

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  28. Pero, ¿eso de los espacios vectoriales existe o son los padres? No, no quiero la respuesta jajaja
    Besos

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  29. gó, lo has entendido a la perfección!! al ser menor el rango de la matriz, hay menos ecuaciones relevantes (el resto son reiterativas), y por eso es mayor el conjunto de soluciones que encajan. una clasificación de los animales que me dieron en la asignatura de ciencias naturales del colegio, recuerdo que abarcaba hasta los 'protozoos', que son unicelulares.

    pepi, esta entrada ha sido un poco densa, otras veces hablo de temas de mates más accesibles, jeje. yo me fui a ciencias puras para huir de las asignaturas de memorizar... hasta cierto punto, porque en 3º de bup historia era asignatura común para todos.

    pirulí, son los padres, que quede entre nosotros. :D incluso gente a la que les gustan o les gustaban las mates, se quejan de los espacios vectoriales, fíjate cómo será la cosa. ^_^

    besos!!

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  30. Un espacio que debemos disfrutar todos, donde la libertad sea la prioridad. Siempre disfruto mucho con tus explicaciones, haces divertidas las mates.

    Besitos Chemita, cuídate mucho, yo lo hago:))

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  31. rosana, la palabra 'espacio' puede tener muchos significados asociados, también el de 'espacio de convivencia' que comentas. estos días conviene cuidarse y guardar los 'espacios de seguridad'.
    muchos besos y aplausos para ti. :*

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