sastres y modistas

ayer acompañé a mi madre de compras. entramos en una mercería, y allí pidió dos metros de una cinta que necesitaba para hacer no sé qué. la chica que trabaja allí es muy mona y ya la tengo fichada. ^_^ además, me llamó la atención la pericia con la que midió los dos metros estirando la tela sobre su regla de madera, doblando por el extremo y repitiendo la operación.

el pitufo sastre también maneja a la perfección la cinta métrica. en este caso tiene que confeccionar nueva ropa para unos pitufos que han rejuvenecido al meterse en una especie de máquina del tiempo...

medir un tramo de hilo o de tela se asemeja a calcular la longitud de una curva. para ello hay que resolver una integral, generalmente mucho más difícil que las que aparecen cuando se trata de calcular el área bajo una curva.

más de una vez me he preguntado cómo se calcula la longitud de una curva sencilla, como pueda ser una parábola. lo he intentado con la más simple que hay, y = x², y creedme que ha sido imposible. así que se me ha ocurrido hacerlo con la función inversa, y = √x, cuya representación gráfica no es otra cosa que una parábola girada 90º.

tendremos que integrar una serie de diferenciales de longitud. cada uno de ellos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos dx y dy. esto nos conduce a la siguiente integral:

dentro de poco tendré que explicarle las integrales a una alumna de 2º de bachillerato -muy responsable y madura para su edad, por cierto-, y por eso he estado repasando ese tema. he recordado diversos trucos y cambios de variable que nos ayudarán.

para empezar, al radicando (4x+1)/4x lo llamaremos t², y lo expresaremos todo en función de la variable t.

dentro de la integral nos aparece la expresión t²/(t²-1)², que tras algunos cálculos algebraicos se puede transformar en una combinación de fracciones con denominadores (t+1)² y (t-1)², más fáciles de integrar.

para resolver ambas integrales utilizamos el truco de sumar y restar 1, desdoblándose cada una de ellas a su vez en otras dos integrales.

ya hemos resuelto las integrales de t/(t+1)² y t/(t-1)², y ahora las introducimos en la expresión donde aparecían. operamos y obtenemos lo siguiente:

ya sólo queda deshacer el cambio de variable. recordemos que t era √[(4x+1)/4x]. la expresión tan complicada que nos sale es nula para x=0, lo cual es buena señal. como límite superior se pone el valor de x que se desee. igual que cuando queremos una longitud determinada de tela.

el pitufo presumido se escandaliza de las modernas ropas de los pitufos jóvenes. yo estoy aturdido como él, pero del mareo que me producido preparar esta entrada. :P no pienso repasar los cálculos, a menos que alguien detecte algún error y me lo haga saber. :D