polinomios

uno de los temas que más me gusta explicar es la factorización de polinomios. las raíces de un polinomio son aquellos valores de x que lo hacen igual a cero.

un polinomio genérico de grado n se puede expresar como:

a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₂·x² + a₁·x + a₀

con carácter general tendrá n raíces -tantas como su grado-, aunque puede darse el caso de que tenga menos. su factorización tomará la siguiente forma:

a_n·(x–raíz₁)·(x–raíz₂)·...·(x–raíz_n)

como ejemplo, vamos a analizar el caso de un polinomio de grado 3. primero tenemos que encontrar una raíz por tanteo y dividir el polinomio por x menos esa raíz, por ruffini o si se quiere por división polinómica normal. hecho eso, pasamos a tener una ecuación de grado 2, que resolveremos por la conocida fórmula. y de esa manera obtendremos las otras dos raíces.

un polinomio de grado impar siempre tendrá como mínimo una raíz -otra cosa es que sepamos calcularla-. sin embargo, no podemos asegurar lo mismo de un polinomio de grado par. a veces nos encontramos con un polinomio irreducible, que no tiene raíces.

la factorización de polinomios se asemeja a la descomposición en factores primos para los números enteros. te puedes encontrar con un factor primo muy grande y feo, tipo 31 ó 47, que ya no se puede descomponer más. pues algo parecido ocurre con los polinomios. en la factorización te puedes topar con un polinomio ‘primo’, que a pesar de ser de grado 2 -o incluso grados pares superiores- ya no se puede descomponer.

a mis alumn@s les digo que un polinomio irreducible es como una piedra que no se puede partir, de ahí la viñeta que he puesto al principio. :P veamos un ejemplo de otro polinomio de grado 3 que tiene una solución fácil de encontrar por tanteo, pero tras dividir por ruffini pasamos a un polinomio de grado 2 sin soluciones. éste se incorporará tal cual a la factorización, dado que no se puede ‘trocear’ más.

como decimos, hay polinomios de grado par que no tienen raíces... reales. sí tendrán raíces complejas, algo vetado en cursos en los que aún no se dan los números complejos. pero se puede llegar más lejos y factorizar el polinomio del ejemplo anterior mediante sus raíces complejas.

gracias a los números complejos, logramos factorizar polinomios que eran irreducibles si nos ceñíamos a las soluciones reales. después de todo, sí que se podía partir el pedrusco que poníamos como símil. es algo parecido a usar como herramienta de corte un diamante, que es más duro que cualquier material y puede crear fisuras sobre el mismo, logrando romperlo.