miércoles, 15 de marzo de 2017

medias lunas


dos líneas trazadas desde un punto cualquiera de una circunferencia hasta los extremos de uno de sus diámetros, se puede demostrar que son perpendiculares entre sí. es decir, se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son esas líneas, y cuya hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.

si trazamos dos semicircunferencias tomando como diámetros los catetos, se formarán sendas figuras en forma de media luna, que en el dibujo las hemos sombreado en verde.



su área conjunta será la diferencia entre las áreas de los semicírculos trazados sobre los catetos y las áreas de los segmentos circulares -sombreados en amarillo-.


para calcular las áreas de los semicírculos, necesitamos conocer sus radios. los expresaremos en función del radio original R y de las razones trigonométricas del ángulo menor α de nuestro triángulo rectángulo.


y conociendo los radios, obtenemos el área conjunta de los semicírculos.


ahora toca calcular el área de los dos segmentos circulares. la hallaremos de nuevo como una diferencia de áreas: la del semicírculo original menos la del triángulo rectángulo.


el área del triángulo la expresaremos en función de R y del seno y coseno de α. una vez hecho eso, sustituimos en la expresión anterior.


decíamos al principio que el área de las medias lunas era la diferencia entre el área de los semicírculos y el área de los segmentos circulares. ya conocemos ambas cosas, y por tanto sólo queda operar.


el área conjunta de las medias lunas, por tanto, sólo depende del radio R y del ángulo α. no aparece para nada el número π. resulta muy curioso que la suma de áreas de dos figuras limitadas por arcos de circunferencia no dependa de π, si lo pensáis.

y a todo esto, siempre que hablo sobre lunas o medias lunas, utilizo viñetas de la historieta corta los pitufos vivían en paz. a ver si varío un poco. :P

18 comentarios:

  1. Creo que me he perdido en "Y por la noche, cuando la luna se alzó en el cielo..."

    Jajajaja. Un besote, pese a lo lerda que me haces sentir...

    ResponderEliminar
  2. Yo creo que siempre estoy en la luna ( no se si entera o en dos medias ).

    Besos.

    ResponderEliminar
  3. A mi las medias lunas, dame la del cielo y las de bollería :-P

    ResponderEliminar
  4. Jajajaja, creo que nos haces sentir un poco lerdos a la mayoría...La verdad es que lo explicas genial, con lo qu eme costó que mi hijo pillase el gusto a las mates, bueno, creo que no lo ha pillado, tú tendrías que haber sido su profe.
    Besos y feliz miércoles.

    ResponderEliminar
  5. álter, no te preocupes, tú no tienes que aprobar matemáticas. ;) mis alumn@s sí, y no hay manera de que aprendan a razonar más allá de aplicar una fórmula.

    amapola, yo también estoy siempre en la luna. aprendí esa expresión de pequeño leyendo el cuento 'aniceto el vencecanguelos' de consuelo armijo.

    geno, al escribir este post también pensé en ese tipo de media lunas, jeje. y en los croissants, que también tienen esa forma. ^_^

    gemma, lo intento, lo intento. ;) lo que pasa es que las matemáticas están tan estigmatizadas que ya van predispuestos negativamente. ya desde desde edades muy prematuras dicen "yo estudiaré letras" y se cierran en banda.

    besos!!

    ResponderEliminar
  6. La verdad Chema, que yo sabía que la Luna da mucho de si, a las pruebas me remito. Para mi es inspiración pura no tengo nada más que mirarla para saber que dice. Su belleza queda plasmada en nuestras miradas, ¡Ay! me pongo romántica. Besos amigo te deseo una feliz noche!! Mira a la Luna y te contará un secreto, solo mírala y escucha...^_^

    ResponderEliminar
  7. Ainssss la luna esa que tanto nos inspira, que se siente sin mirarla y se toca con pensarla y también con nuestras letras al escribir sobre ella.

    Besos, chema.

    ResponderEliminar
  8. Yo con tanta fórmula me quedo igual que el pitufo, turulata perdida. Pero mira, dentro de mi incapacidad para las mates, la geometría me gustaba bastante.
    Y mirar a la luna, mucho más ;-)
    Besotes.

    ResponderEliminar
  9. rosana, la luna influye en muchas cosas, por ejemplo en las mareas. hoy tengo clases hasta tarde, así que cuando vuelva a casa me fijaré en la luna. mientras no cambien la hora, anochecerá pronto. y la escucharé, a ver qué me cuenta. :)

    maría, ahora sabemos que es un satélite que gira alrededor de la tierra, pero en los tiempos más antiguos la veían por la noche y no sabían lo que era, siendo de ese modo aún más misteriosa si cabe.

    ilona, a mis alumnos la geometría también se les suele dar bien. en los colegios tendrían que dar más geometría, que desarrolla aptitudes como la visión espacial, y menos temas aburridos tipo 'potencias y raíces'.

    besos!!

    ResponderEliminar
  10. Hola Chema
    ¡¡Me encanta esta entrada!!! no he entendido nada pero me chifla... deberías de llevar aguna muestra de estas entradas que haces a alguna revista científica, o más mundana si quieres.... o a algun periódico, con precaución para que no te las plagien.. ¡¡¡me perecen buenísimas y muy interesantes!!! y me gusta mucho más cuando pones viñetas de los pitufos, jajaja, no dejes de ponerlas, por favor
    Un abrazooooooooooo
    Muacks

    ResponderEliminar
  11. Hola Chema
    Gracias por otra de tus clases magistrales de matemáticas y si va acompañada de Pitufos mucho mejor!
    Un Abrazo

    ResponderEliminar
  12. Nunca pensé que la luna también puede inspirar así... pero de qué me sorprendo!!! Tú eres un genio porque ves lo que no todos ven.

    Mil besitos, amigo Chema.

    ResponderEliminar
  13. No, si al final las matemáticas van a ser poesía :P
    Besos y feliz finde, Chema.

    ResponderEliminar
  14. itzi, a mí me pasa al leer algunos libros o escuchar algunos discos, que me gustan aunque no llego a pillarnos del todo, jeje. algún día escribiré un libro de mates aplicadas a la vida real, todo se andará. ;) las viñetas que más uso son de esther, de los pitufos y de superlópez. ^_^

    princesa, estos días estoy saturado de dar clases de matemáticas, incluso mañana que es fiesta. esta entrada se puede decir que es de nivel 4º de eso, porque lo más avanzado que incluye es la trigonometría.

    auroratris, en realidad la idea la saqué de un libro de curiosidades matemáticas, aunque el desarrollo lo hice yo por mi cuenta. en ese libro, en vez de 'medias lunas' las llamaban 'lúnulas'. :O

    celia, pues no creas, algunas figuras y funciones matemáticas tienen una belleza y una simetría que bien podría inspirar a algún poeta. :D

    besos!!

    ResponderEliminar
  15. Me ha encantado el primer dibujo tan bonito y bien explicado para formar dos medias lunitas. Luego ya con los senos y cosenos, me he perdido en la Luna de Valencia... lo siento!! Pero estoy segura de que estas explicaciones les vendrán genial a los chicos y chicas que estén estudiando este tipo de dibujos, porque se ven muy bien explicados. Me encantan los pitufos, ya lo sabes, así que puedes repetir viñetas siempre que quieras!!!
    Besos (vine el otro día y no vi tu entrada nueva, es increíble, me estoy haciendo mayor!!!)

    ResponderEliminar
  16. mmmmm Toda esa explicación ha sido demasiado y me he perdido.
    Me sorprende todo lo que descubres. Seguro que en la otra vida fuiste un Pitágoras o un Einstein descubriendo el mundo a través de las mates.
    Besos

    ResponderEliminar
  17. Madre mía qué olvidadas tenía las matemáticas, pero no está mal refrescar la memoria de vez en cuando. Y más así con la luna, aunque sea en medias lunas ;-)

    Un beso

    ResponderEliminar
  18. rosana, este problema de calcular el área de las medias lunas, en teoría es de nivel de 4º de eso. lo más avanzado que tiene es la trigonometría, aparte de calcular áreas de triángulos y círculos, que ya lo dieron en cursos anteriores. lo demás es sumar y restar áreas. pero en la práctica, pones este problema en un grupo de 4º de eso, y yo creo que no lo hace ni el más empollón de la clase. ^_^

    pirulí, ayer una amiga me dijo en facebook de coña que yo era "el perelman español", y yo -reconozco mi ignorancia- pensé: quién leches es perelman?? y buscando en google, resulta que es un matemático ruso. exageradas que sois!! ;)

    emma, los triángulos curvos los tengo poco explorados. en principio quería hacer una entrada sobre lo que en dibujo técnico se llama 'figuras inversas', pero era algo demasiado ambicioso y me conformé con lo de las medias lunas. ^_^

    besos!!

    ResponderEliminar