diagonales

el otro día, en una clase de matemáticas con una alumna de 1º de eso, surgió el tema de cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de un número de lados determinado.

si se entiende por diagonal una línea que una dos vértices no consecutivos, está claro que un triángulo no tiene diagonales. de los tres vértices que tiene, da igual cómo escojas dos de ellos, que siempre serán contiguos entre sí.

veamos lo que sucede con el cuadrado. las posibles combinaciones de dos en dos de sus vértices son:

1-2, 1-3, 1-4,

2-3, 2-4,

3-4.

fijaos que son en total 1+2+3 = 6 combinaciones. pero de ellas tendremos que descartar:

1-2, 2-3, 3-4, 4-1, que son las de vértices consecutivos. (ponemos 4-1 en vez de 1-4, para que se vea más claro)

por tanto, el cuadrado tendrá 6–4 = 2 diagonales.

pasamos ahora al pentágono. hacemos lo mismo que antes: enumeramos las posibles parejas de vértices:

1-2, 1-3, 1-4, 1-5,

2-3, 2-4, 2-5,

3-4, 3-5,

4-5.

en total son 1+2+3+4 = 10 combinaciones. pero no nos valen las de vértices consecutivos:

1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-1. habrá, por tanto, 10–5 = 5 diagonales.

y qué ocurrirá con el hexágono? veamos cómo se pueden emparejar sus vértices:

1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6,

2-3, 2-4, 2-5, 2-6,

3-4, 3-5, 3-6,

4-5, 4-6,

5-6.

suman en total 1+2+3+4+5 = 15 combinaciones. restaremos las de vértices contiguos:

1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1. con lo cual, serán 15–6 = 9 diagonales.

vamos a intentar encontrar una fórmula general para hallar el número de diagonales de un polígono en función del número de lados.

nos damos cuenta de que, en los casos que hemos analizado, el número de posibles combinaciones de dos en dos de los vértices se calculaba siempre mediante una suma como ésta:

1+2+3+...n–1, siendo n el número de lados.

y esa suma se puede expresar como (n–1)·n/2.

por otro lado, las combinaciones de vértices consecutivos son siempre n.

así pues, la expresión general del número de diagonales será:

(n–1)·n/2–n. vamos a sacar factor común n:

n·[(n–1)/2–1], que operando queda así: n·(n–3)/2.

veamos si se cumple para los casos que ya conocemos:

triángulo: 3·(3–3)/2 = 0

cuadrado: 4·(4–3)/2 = 2

pentágono: 5·(5–3)/2 = 5

hexágono: 6·(6–3)/2 = 9

...

pues parece que funciona! para terminar, aquí tenemos al ‘malo’ de la aventura “el supergrupo” de superlópez. había dibujado en el suelo una estrella pentagonal, que está formada por las diagonales de un pentágono. su objetivo era realizar un conjuro mágico...

este malvado personaje tenía el rostro negro como la tinta, sin nariz, llevaba siempre una especie de traje de astronauta y fumaba puros. nunca supe si era un humano, un extraterrestre o qué demonios era.