múltiplos

la historia del pitufo número 100 trata sobre el rito de bailar la danza lunar, para la cual se necesitan 100 pitufos. en principio sólo hay 99, pero cuando el reflejo especular del pitufo presumido cobra vida, el problema se soluciona: ya hay 100.

aparte del gran pitufo, que dirige la danza, los otros 99 pitufos se colocan formando un rectángulo de 9*11. como 99 es múltiplo de 9 (que a su vez es 3 elevado al cuadrado) y de 11, se puede formar ese rectángulo de 9*11 en el que no hay una gran diferencia dimensional entre los dos lados.

de la otra manera habría sido más complicado. 98 es igual a 2*7*7, y por tanto sus divisores son 2, 7, 14 y 49. el rectángulo con menor diferencia entre sus lados que habrían podido formar habría sido uno de 7*14.

es decir, las diferentes maneras de disponer un determinado número de piezas formando un rectángulo dependen de los divisores que tenga ese número. y de eso vamos a hablar.

hay diversos criterios de divisibilidad que permiten averiguar de forma rápida cuáles son los divisores de un número. o, dicho de otro modo, de qué factores es múltiplo ese número.

un número es múltiplo de 2 -es decir, es par-, cuando su última cifra es par. esto nos parece de sentido común, pero tiene su demostración.

a partir de ahora, denotaremos las cifras de un número genérico con letras: A son las unidades, B las decenas, C las centenas, D las unidades de millar... estas cifras podrán tomar valores entre 0 y 9.

BA es un número en el que A, la cifra de las unidades, es par. lo podremos descomponer de la siguiente manera:

BA = B0+A = 10·B+A

A es par, luego lo podremos expresar como 2·n.

BA=10·B+2·n = 2·5·B+2·n = 2·(5·B+n)

B y n son números enteros, 5·B+n es otro número entero, y 2·(5·B+n) será múltiplo de 2, es decir, será par.

un número es múltiplo de 4 cuando sus dos últimas cifras formen un número que sea múltiplo de 4.

4 es igual a 2·2, luego ser múltiplo de 4 es algo así como ser “múltiplo de 2 por partida doble” o “múltiplo de 2 de segundo grado”.

dado el número CBA, sabemos que BA es un múltiplo de 4. descompondremos CBA de esta manera:

CBA = C00+BA = 100·C+BA

BA, al ser múltiplo de 4, lo expresaremos como 4·n.

CBA = 100·C+4·n = 4·25·C+4·n = 4·(25·C+n)

25·C+n da como resultado un número entero, luego 4·(25·C+n) será múltiplo de 4.

un número será múltiplo de 8 cuando sus tres últimas cifras formen un número que sea múltiplo de 8.

dado que 8 es igual a 2·2·2, los múltiplos de 8 son “múltiplos de 2 de tercer grado”. se puede observar una analogía en los criterios de divisibilidad por las potencias puras de 2, que son 2, 4, 8, 16, 32... para 16 tendría que cumplirse que las cuatro últimas cifras sean un múltiplo de 16; para 32, las cinco últimas cifras tendrían que ser múltiplo de 32... y así sucesivamente con todas las demás.

veamos la demostración para el caso de los múltiplos de 8, y ya dejamos las potencias de 2. DCBA es un número del que sabemos que CBA es múltiplo de 8. descompondremos DCBA así:

DCBA = D000+CBA = 1000·D+CBA

CBA es múltiplo de 8, y por tanto lo podremos expresar como 8·n.

DCBA = 1000·D+8·n = 8·125·D+8·n = 8·(125·D+n)

8·(125·D+n) es un número entero multiplicado por 8, es decir, un múltiplo de 8.

en todos los casos que hemos visto hasta ahora, puede ocurrir que las últimas cifras sean ceros. se trataría de un caso particular de lo que acabamos de ver: 0 es un número par, se considera múltiplo de 2 y de sus potencias. de hecho, 0 es múltiplo de cualquier número.

un número que acabe en 0 será múltiplo de 10, y como 10 es 2·5, será par. análogamente, un número que acabe en 00 será múltiplo de 100, y como 100 es 4·25, será múltiplo de 4. siguiendo la misma pauta, un número acabado en 000 será múltiplo de 8, y así sucesivamente.

dado que nosotros empleamos un sistema de numeración en base 10 y que 10 es igual a 2·5, los criterios de divisibilidad entre 2 y sus potencias, y entre 5 y sus potencias, tendrán un claro paralelismo, como veremos.

para que un número sea múltiplo de 5, debe acabar en 5 o en 0. ésta es otra regla que todos conocemos. veamos cómo se demuestra.

dado un número BA, si A -la cifra de las unidades- es 5, nuestro número se descompondría de esta manera:

BA = B5 = 10·B+5 = 2·5·B+5 = 5·(2·B+1)

2·B+1 es un número entero, por tanto 5·(2·B+1) será un múltiplo de 5.

y si en ese número BA, la cifra de las unidades es 0, la demostración es aún más fácil:

BA = B0 = 10·B = 2·5·B

se trataría de un múltiplo de 10. todos los múltiplos de 10 son múltiplos de 5.

un número será múltiplo de 25 si acaba en 00 o si las dos últimas cifras forman un número que sea múltiplo de 25.

25 es 5·5, luego un múltiplo de 25 es un “múltiplo de 5 de segundo grado”.

dado un número CBA, partimos de que BA es múltiplo de 25. por tanto, lo podremos expresar como 25·n.

CBA = C00+BA = 100·C+25·n = 4·25·C+25·n = 25·(4·C+n)

4·C+n es un número entero, y al multiplicarlo por 25 dará como resultado un múltiplo de 25.

y si BA, las dos últimas cifras, fueran 00, la demostración sería así:

CBA = C00 = 100·C = 4·25·C

para todas las potencias de 5 (5, 25, 125, 625...), la pauta es la misma. de manera análoga, un número será múltiplo de 125 si sus tres últimas cifras son un múltiplo de 125 o si acaba en 000; será múltiplo de 625 si las cuatro últimas cifras son múltiplo de 625 o si acaba en 0000; ...y así sucesivamente.

en realidad, si el número acaba en varios ceros, se trata de un caso particular que se puede incluir en el caso general de que las últimas cifras sean un múltiplo de la potencia de 5 en cuestión. porque, como hemos dicho antes, 0 es múltiplo de cualquier número.

dejamos aparte los factores primos 2 y 5, que a efectos de divisibilidad son como las dos caras de la misma moneda. pasamos ahora a otro factor primo, el 3.

un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras forma un múltiplo de 3.

para demostrarlo, empezamos descomponiendo un número genérico BA separando sus decenas y unidades:

BA = 10·B+A

nada nos impide expresar 10·B como 9·B+B. la expresión anterior se transformaría así:

BA = 9·B+B+A

sabemos que BA es múltiplo de 3, por tanto lo podremos expresar como 3·n.

3·n = 9·B+B+A = 3·3·B+B+A

despejamos B+A, que es justamente la suma de las cifras que forman nuestro número.

B+A = 3·n–3·3·B = 3·(n–3·B)

n–3·B es un número entero, luego 3·(n–3·B) es un múltiplo de 3. y ése es el resultado de sumar las cifras del número del que partíamos. por tanto, hemos demostrado que si un número es múltiplo de 3, la suma de sus cifras tiene que dar como resultado un múltiplo de 3.

alguien podría objetar, con toda la razón, que lo hemos demostrado sólo para el caso de un número de dos cifras. vamos a hacerlo para un número de tres cifras, y comprobaremos que para números de más cifras la demostración es análoga.

CBA = 100·C+10·B+A

vamos a expresar 10·B como 9·B+B igual que en el caso anterior, y 100·C como 99·C+C.

CBA = 99·C+9·B+C+B+A

CBA es últiplo de 3 por hipótesis, luego lo podremos expresar como 3·n.

3·n = 99·C+9·B+C+B+A = 3·33·C+3·3·B+C+B+A

despejamos C+B+A, que no es otra cosa que la suma de las cifras de nuestro número.

C+B+A = 3·n–3·33·C–3·3·B = 3·(n–33·C–3·B)

la suma de las cifras del número del que partíamos es 3·(n–33·C–3·B), que es un múltiplo de 3, como esperábamos.

los múltiplos de 9 son “múltiplos de 3 de segundo grado” al ser 9 igual a 3·3.

un número será múltiplo de 9 si la suma de sus cifras da como resultado un múltiplo de 9. es un criterio análogo al de los múltiplos de 3, y se demuestra de manera muy similar.

BA = 10·B+A = 9·B+B+A

BA es múltiplo de 9, y por tanto lo podemos expresar como 9·n.

9·n = 9·B+B+A

despejamos  B+A, que es la suma de las cifras de nuestro número.

B+A = 9·n–9·B = 9·(n–B)

9·(n–B) es múltiplo de 9, y por tanto la suma de las cifras del número del que partíamos es múltiplo de 9, como queríamos demostrar.

para un número de tres cifras:

CBA = 100·C+10·B+A = 99·C+9·B+C+B+A

CBA lo expresamos como 9·n al ser múltiplo de 9.

9·n = 99·C+9·B+C+B+A = 9·11·C+9·B+C+B+A

despejamos la suma de las cifras, C+B+A.

C+B+A = 9·n–9·11·C–9·B = 9·(n–11·C–B)

la suma de las cifras es un múltiplo de 9, pues. para números de más cifras, la demostración es análoga.

pasamos ahora a otro factor primo, el 7. conocía un criterio de divisibilidad entre 7, pero no he sido capaz de demostrarlo de una manera directa. dicho criterio es el siguiente: un número es múltiplo de 7 si la diferencia entre el número resultante de suprimir las unidades y el doble de las unidades da como resultado un múltiplo de 7.

con las cifras genéricas A, B, C... que estamos utilizando se verá más claro. para un número de dos cifras, sería así:

si BA es múltiplo de 7, B–2·A será múltiplo de 7.

y para un número de tres o más cifras:

si CBA es múltiplo de 7, CB–2·A será múltiplo de 7.

vamos a descomponer un número genérico BA en sus decenas y unidades, como habíamos hecho en otros casos anteriores.

BA = 10·B+A

si 10·B lo desglosamos en 7·B+3·B, obtendremos lo siguiente:

BA = 7·B+3·B+A

despejando 3·B+A obtendríamos:

3·B+A = BA–7·B

BA es por hipótesis un múltiplo de 7, luego lo podremos expresar como 7·n.

3·B+A = 7·n–7·B = 7·(n–B)

hemos llegado a esta conclusión: la suma del triple de las decenas (o el número resultante de suprimir las unidades cuando tenga tres o más cifras) más las unidades debe ser un múltiplo de 7.

es un criterio de divisibilidad entre 7 válido en teoría, pero quizá poco práctico, ya que puede resultar engorroso para hacerlo mentalmente. casi compensa más dividir el número en cuestión entre 7 y comprobar si el resto es 0 o no.

sin embargo, ahora que sabemos que 3·B+A es múltiplo de 7, podremos demostrar el otro criterio de divisibilidad que os explicaba. de una manera un tanto forzada, debo admitir.

a 3·B+A le podemos sumar –7·B+7·A. algo parecido a lo que hacemos al resolver un sistema de ecuaciones.

 3·B + A

–7·B+7·A

----------

–4·B+8·A

3·B+A era igual a 7·(n–B). y –7·B+7·A se agrupar como 7·(A–B). por tanto, la suma de estas dos expresiones será 7·(n+A–2·B). como era de esperar, la suma de dos múltiplos de 7 es otro múltiplo de 7.

y por otro lado, la suma de las dos expresiones anteriores era –4·B+8·A, es decir, –4·(B–2·A). si –4·(B–2·A) es múltiplo de 7, también lo será B–2·A, es decir, la diferencia entre las decenas del número del que partíamos y el doble de sus unidades. es ahí donde queríamos llegar.

para números de tres o más cifras, también se cumplirá. se comprueba fácilmente.

CBA = CB0+A = 10·CB+A = 7·CB+3·CB+A = 7·n

3·CB+A = 7·n–7·CB = 7·(n–CB)

 3·CB + A

–7·CB+7·A

-----------

–4·CB+8·A

–4·CB+8·A = –4·(CB–2·A) = 7·(n–CB)+7·(A–CB) = 7·(n+A–2·CB)

CB–2·A es la diferencia entre el número resultante de quitar las unidades y el doble de las unidades de nuestro número de partida. y hemos demostrado que es múltiplo de 7.

vamos a terminar con un último factor primo, el 11. éste tiene un criterio de divisibilidad más sencillo de aplicar y de demostrar que el del 7, para vuestro alivio y el mío. ;)

un número es múltiplo de 11 si la diferencia entre el número resultante de suprimir las unidades y el número de unidades da como resultado un múltiplo de 11.

veámoslo primero para un número de dos cifras:

BA = 10·B+A

10·B lo expresaremos como 11·B–B.

BA = 11·B–B+A = 11·B–(B–A)

BA sabemos que es múltiplo de 11, y por tanto lo podemos expresar como 11·n.

11·n = 11·B–(B–A)

despejamos B–A, que es la diferencia entre las decenas y las unidades.

B–A = 11·B–11·n = 11·(B–n)

por tanto, la diferencia entre las decenas y las unidades es un múltiplo de 11, como queríamos demostrar.

comprobamos que también se cumple para números de tres o más cifras:

CBA =  CB0+A = 10·CB+A = 11·CB–CB+A = 11·CB–(CB–A) = 11·n

CB–A = 11·CB–11·n = 11·(CB–n)

esta última expresión nos dice que la diferencia entre el número resultante de suprimir las unidades y el número de unidades es un múltiplo de 11. queda demostrado.

todos estos criterios de divisibilidad son no-excluyentes entre sí. por ejemplo, un número será múltiplo de 6 (igual a 2·3) si es par y múltiplo de 3. será múltiplo de 12 (igual a 2·2·3) si es múltiplo de 4 y de 3. será múltiplo de 18 (igual a 2·3·3) si es par y múltiplo de 9. y así con todas las combinaciones de factores primos que podáis imaginar.

podéis practicar cada día hallando los divisores del número que hay en la esquina superior izquierda del blog. son los días que quedan para que acabe el mundo. :O

vamos a acabar como habíamos empezado: con los pitufos! :D