lunes, 5 de diciembre de 2011

dianas



la diana con la que este pitufo está practicando el tiro con arco, quizá no es totalmente regular. su capa más externa -de color azul- es de un grosor aproximadamente igual al radio del círculo central -de color rojo-. sin embargo, la capa intermedia -de color blanco- es de un grosor ligeramente menor.

resulta deseable que las distintas capas o coronas de la diana sean todas de un espesor igual al radio del círculo central. por una cuestión estética, y porque además así sus áreas seguirán una pauta sencilla de formular.

si alrededor del círculo central de la diana vamos añadiendo capas de espesor igual a su radio, dichas capas tendrán un área cada vez mayor cuanto más externas sean. eso quiere decir que será más probable que la flecha o el dardo se claven en las capas más externas que en las más internas, y no digamos en el círculo central. de otro modo no tendría tanto mérito acertar en el centro de la diana.

veamos cómo varían estas áreas, de manera sistemática. empezamos, en primer lugar, por el círculo central, de radio R. su área será igual al producto del número pi por el radio elevado al cuadrado.



añadimos una corona circular alrededor del círculo central. calcular el área de una corona circular es muy sencillo. consiste tan sólo en hacer una resta: el área del círculo mayor menos el área del círculo menor. como se observa en la figura, el círculo mayor tiene un radio de valor 2R, y el círculo menor, contenido en el primero, tiene un radio R. al área del círculo pequeño la hemos llamado A1, y al área de la corona circular de espesor R que hay encerrada entre las dos circunferencias, la llamaremos A2.

así pues, si al área de un círculo de radio 2R le restamos el área de un círculo de radio R con el mismo centro, haciendo unas sencillas operaciones, obtenemos el área A2 de la corona circular que se halla entre medias, que resulta ser la del círculo pequeño multiplicada por 3.



añadimos una nueva corona circular, que seguirá siendo de grosor R. al área encerrada en ella la llamaremos A3. el valor de esta área será la diferencia entre el área del mayor círculo de los que tenemos hasta ahora -de radio 3R- y el área del siguiente círculo avanzando hacia el interior -de radio 2R-.

de manera análoga a como lo hemos hecho antes, calculamos el área A3, que esta vez es igual a 5 veces por la del círculo central de radio R.



vamos a añadir otra corona circular más, con objeto de averiguar una pauta en el valor de las áreas de las sucesivas coronas que se añadan. el valor de su área, denotada como A4, será la diferencia de áreas entre el mayor círculo que tenemos hasta ahora -de radio 4R- y el que era el mayor en el paso anterior -de radio 3R-.

operando, obtenemos que el área A4 es igual a 7 veces el área del círculo central.



como vemos, cada nueva corona tiene un área igual a la del círculo central multiplicada por un número entero. y ese número entero sigue la pauta de los números impares, según vamos añadiendo coronas y alejándonos del centro.

esto no es una extrapolación exagerada, sino que se puede demostrar para todos los casos. si queremos hallar el área A(n+1) de la n-ésima corona que añadimos, le restamos al área del círculo de radio (n+1)R la del radio nR, como lo hemos hecho en los anteriores casos, sólo que esta vez para un número genérico n.

como vimos en una entrada que escribí hace tiempo, la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión de números enteros elevados al cuadrado nos da como resultado el término general de la sucesión de números impares.



así pues, queda demostrado. las coronas que se van añadiendo alrededor de un círculo central y que tengan un grosor igual al radio de dicho círculo, tendrán un área que será la del círculo central multiplicada por el número impar expresado como 2n+1, siendo n el número de coronas o capas añadidas. para la primera (n=1) ese factor multiplicativo será 3; para la segunda (n=2) será 5; para la tercera (n=3) será 7; ...y así sucesivamente.

y por tanto, en una diana, será más probable que los dardos impacten en las coronas más externas, por ser su área cada vez mayor.


esta entrada está dedicada a mi amiga susana -conocida en el foro de esther como yasureh-, por haberme regalado este bonito broche, en el que está bordada la fórmula del área del círculo. mil gracias por el detalle, susana!!

y muchas gracias de verdad a tod@s los que acudisteis a las diferentes quedadas que se organizaron en torno al expocomic, por vuestros regalitos y sobre todo por vuestra buena compañía.

7 comentarios:

  1. Pues mira, a mí por mucho que me modifiquen el radio por encima o por debajo de la medida... seguro que no doy una. Mi puntería es patética, ja, ja.

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  2. pues yo, ni te cuento, anele. ;) recuerdo haber jugado a los dardos cuando era pequeño en un chalet donde veraneábamos, con una diana que colgábamos en la puerta del garage. en el post no he contemplado la posibilidad de dar fuera de la diana, pero era algo que sucedía con cierta frecuencia. :D

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  3. Me veo un poco reflejada en el pitufo del principio, las dianas no son lo mio, la verdad... 0 quizá he practicado poco, jajajja

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  4. No tenía ni idea de lo de las areas de las dianas así, exponencialmente aumentando.... Ahora, en un trivial relativo, me acordaré de los pitufos y de ti y me llevaré el quesito de geometría!!!!
    Gracias Chema!!!
    (Me encantan los pitufos!)
    Precioso el broche de Susana, te va como anillo al dedo.
    Besis!

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  5. geno, el pitufo ni siquiera da dentro de la diana, seguramente tú lo harás mejor, jaja. hay varias historias cortas de los pitufos sobre ese tema. es de suponer que en la edad media (época en la que se supone que viven los pitufos) ya se utilizaban dianas para practicar el tiro al blanco, de lo contrario estaríamos ante un anacronismo! :D

    rosana, me alegro de que hayas aprendido algo nuevo!! ;) calculé cómo tenía que ser una diana para que el círculo central y todas las capas fueran de la misma área. sería un círculo central mucho más grande en proporción, rodeado de capas cada vez más delgadas. tendría muy poco mérito acertar en el centro! y operativamente habría sido demasiado complicado para un post del blog, así que prefería centrarme en las dianas tradicionales. :D

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  6. Uf, de verdad me hago mayor porque cada vez me cuesta más entender tus post matemáticos y además me quedo con la sensación de vale, pero yo tengo una puntería pésima, jajaja Guillermo Tell me parece un imprudente, vamos.
    Bsssssssss
    Cloti

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  7. cloti, los dibujos y cálculos para este post los hice a lápiz, y en un mismo folio por las dos caras, y por eso está tan emborronado, eso no ayuda a comprendelo bien. :D la historia de guillermo tell, fuera real o leyenda, es del siglo xv creo recordar. no sé si habría dianas entonces. pero habría maneras de practicar la puntería menos peligrosas que la que se le impuso de acertar en la manzana sobre la cabeza de su hijo. :S

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