domingo, 6 de noviembre de 2016

columpios


desde el punto de vista de la física, un columpio es similar a un péndulo. ambos tienen un movimiento oscilatorio. en el dibujo se representa el péndulo o columpio, con la fuerza de gravedad y sus proyecciones sobre la dirección del movimiento y sobre el cable/cuerda/cadena que lo sostiene.


la ecuación diferencial de la trayectoria se plantea de la siguiente manera: la masa por la aceleración lineal es igual a la fuerza gravitatoria proyectada sobre la dirección que sigue el columpio. se añade un signo negativo para indicar que la fuerza va en sentido contrario al movimiento.

llamamos m a la masa, g a la aceleración de la gravedad, L a la longitud de la cadena y θ al ángulo que forma la cadena con el eje de referencia en cada instante. la aceleración lineal es igual a la longitud L por la velocidad angular. y ésta será igual a la segunda derivada de θ, denotada como esa misma letra griega con dos puntos encima. por último, para que la ecuación se pueda resolver analíticamente, aproximaremos el seno del ángulo al propio ángulo, lo cual se puede hacer cuando éste toma valores pequeños.


este tipo de ecuaciones diferenciales se resuelven mediante un método que expliqué hace tiempo en esta entrada (una de mis preferidas, por cierto). la conclusión es que el ángulo que forma el columpio varía cíclicamente. hemos elegido las constantes de integración de manera que en el instante inicial movemos el columpio un cierto ángulo y lo soltamos, con lo cual empezará a oscilar hasta que algo lo detenga.


también debemos tener en cuenta la tensión de la cuerda o cadena para que resista el peso de una persona adulta, un niño o un pitufo según el caso, y así evitar que se produzcan accidentes. ;)


en teoría, un movimiento oscilatorio de este tipo duraría indefinidamente si no hubiera rozamiento. sin embargo, la realidad es muy distinta. estamos hablando de tiempos infinitos muy alegremente. cuando le das un impulso a un columpio y dejas que se siga moviendo por inercia, entre que dure toda la eternidad como aseguran los modelos teóricos de física y que dure un minuto como suele suceder realmente, habrá un término medio.

vamos a plantear una ecuación similar a la anterior, pero introduciendo una fuerza de rozamiento o fricción, que será proporcional a la velocidad lineal y se opondrá al movimiento. llamamos al coeficiente de proporcionalidad con la letra griega μ. la velocidad lineal será el producto de la longitud L por la velocidad angular. y ésta es igual a la longitud L por la primera derivada de θ, representada como dicha letra con un punto encima.


tras unos farragosos cálculos que omitimos y algunas simplificaciones, obtenemos una ecuación para el movimiento similar a la anterior, pero multiplicada por una exponencial negativa. esto se traduce en que lo que se llama ‘oscilaciones amortiguadas’. su amplitud será cada vez menor, hasta que tienda a cero y el columpio se detenga. y a menos que el exponente μ/2m sea muy pequeño en valor absoluto, el movimiento se detendrá pronto. porque una exponencial negativa es muy “inhibidora”: se aproxima a cero rápidamente, arrastrando todo lo que vaya multiplicado por ella.


como ejemplo, vamos a calcular la expresión del tiempo transcurrido para que la amplitud del movimiento se reduzca a la mitad. como vemos, depende directamente de la masa m e inversamente del coeficiente de rozamiento μ. por tanto, un cuerpo de gran masa y en unas condiciones en las que exista un rozamiento muy bajo, se supone que podría estar oscilando durante horas, días, meses...


la inspiración para esta entrada me vino de la novela juvenil la tejedora de la muerte de concha lópez narváez. es una historia de suspense en la que suceden cosas tales como una mecedora que se mueve sola en una casa deshabitada desde hace muchos años. y las mecedoras también tienen un movimiento oscilatorio, de ahí que me acordara de ese tema de física...

23 comentarios:

  1. Una interesante explicación Chema, pero a mi solo sentir la palabra columpio lo que me viene es diversión. De niña me encantaba subirme, columpiarme y volar.

    Besos y feliz noche amigo.

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  2. Una entrada muy interesante... Como ese libro que estás leyendo, amigo Chema. Me encantó en su momento... Y esa mecedora me hacía sentir lo suyo.

    Mil besitos.

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  3. Me encantaba y me encanta columpiarme. Todavía siento tentaciones cuando veo un columpio. Qué interesante cómo mezclas las cosas cotidianas de la vida con la ciencia. Nunca es tarde para aprender. Besitos.

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  4. Recuerdo aquellos columpios de mi niñez, de hierro ¡quien no se llevó algún coscorrón por pasar por delante en el momento menos indicado!
    Tiene buena pinta el libro que lees

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  5. rosana, a mí me encanta todo lo que hay en los parques de niños: columpios, balancines, toboganes... me da buen rollo ver a los niños jugando y me recuerda a cuando yo era como ellos.

    auroratris, lo has leído tú también? yo lo leí en una tarde, es muy cortito. las mecedoras además me recuerdan a la casa de mi abuela en jumilla. hay cuatro por lo menos...

    mercedes, casi todos los juegos y atracciones para niños tienen alguna relación con la ciencia. como el tiovivo, con sus movimientos de rotación y traslación... a mí me gustaría columpiarme, pero dudo que el columpio aguante mi peso, jejeje.

    geno, ahora los parques infantiles son con el suelo como de goma, pero antes era de tierra, y se te caías te hacías una herida en la rodilla por lo menos. pero hemos sobrevivido, jeje.

    besos!!

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  6. Anda que no me gustaban a mí los columpios de niña, bueno imagino que como a los demás, pero yo era de mucho ir al parque con mis amiguitas.

    Tú sí que sabes, chema.

    Y parece que estás leyendo un buen libro.

    Por cierto, así estás más guapo con ese corte de pelo, ya te lo comenté en Face.

    Un beso.

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  7. Me encantan estos post xq son están llenos de ciencia y a la vez, lo explicas tan sencillo, que me haces sentir lista, xq lo entiendo todo.
    Ojalá hubieras sido mi profe, pero estarías en la guarde creo yo.

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  8. Ayyyy los columpios!!! Me traen tan buenos recuerdos, a veces me sigo columpiando en los de la finca o en algún parque que no tiene niños, jejeje.
    La explicación me ha encantado, haces que parezca fácil cuando en realidad no lo es.
    Besitos.

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  9. maría, a mí me gustaban los columpios y también los toboganes. se generaba calor por el rozamiento mientras te deslizabas, de ahí que cuando llegaras abajo sintieras una quemazón. en las fotos que me hago en casa salgo más o menos decente, pero en las fotos de las quedadas suelo salir horrible. ^_^

    alice, las ecuaciones matemáticas siempre tienen una relación con la vida real. a mis alumnos les intento inculcar que no hablen de letras sin saber lo que significan (F, a, v...) sino que hablen de conceptos (fuerza, aceleración, velocidad). las letras sirven para simbolizar las ecuaciones en el papel, ésa es su misión.

    gema, en una tienda de zapatos de mi barrio había unos columpios, pero como estaban pegados a la pared, no permitían mucha libertad de movimiento. ^_^ sobre la física, lo que expresan las ecuaciones tiene un significado en la vida real. en la universidad donde estudié lo hacían todo demasiado abstracto.

    besos!!

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  10. A mí me encantaba (y me encanta) columpiarme, aunque nunca le había buscado la explicación científica. Jajajaja. Besotes!!!

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  11. Que sepas que por tu culpa ahora a todos los objetos les veo su carácter matemático. Por cierto, me encantaba columpiarme, y ahora hace tanto que no lo hago... hoy iré en busca de un parque (a ver si salgo en las noticias: mujer de mediana edad ha roto hoy un columpio después toda una tarde columpiándose).

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  12. Ufff Chema esta entrada ha sido demasiado para mí. A mí que me gustaba la física y las matemáticas me ha agobiado porque me he dado cuenta de todo lo que se me ha olvidado ya.
    A mí también me sigue gustando columpiarme pero no me suele entrar el culo :((( jajaja
    Besos

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  13. álter, en la próxima quedada vamos a un parque y te empujo un rato!! la acción recíproca es poco recomendable, dado que los columpios no están diseñados par aguantar mi peso. ;)

    ses, pues a este paso vas a ser una mujer del renacimiento! eres una futura psicóloga, y si además aprendes un poquito de matemáticas de mi humilde blog, tendrás una visión muy amplia de la vida. ;)

    pirulí, no te preocupes, esto ya es física de nivel universitario, jeje. en el primer curso de mi carrera era la asignatura con más repetidores. y ya será menos, seguro que tú estás estupenda. ;)

    besos!!

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  14. Como siempre me encanta tus explicaciones; decirte que de pequeña me daban miedo los columpios, eso de subir y bajar, era algo que me atemorizaba un monto, ya un pelin mayor intente valancearme y me costo, pero cuando ya lo logre me gusto, con mi hijo me paso algo parecido, pero siempre o casi siempre estava detras o cerca; ala que cosas, que recuerdos...jajaja.

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  15. Me has echo recordar mi infancia...jejeje

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  16. Y lo mejor de todo es que yo no sólo te leo, yo te leo e intento entenderte, que para mí en estos temas, es mucho. Sinceramente, me lo tendrías que explicar con dibujitos como a los niños jeje.
    Y yo que en un columpio, sólo veo un columpio...que simple soy.
    Besazos

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  17. Ains, quién fuera niña para poder volver a columpiarse sin complejos.La última vez que lo hice fue en Londres con una amiga porque no había nadie alrededor y los columpios parecían resistentes...
    Bss!

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  18. Eres un cerebrito, Chema, pero a mí me rallaaaaaaaasss, jajajajajaja, que soy de letraaaaaaaaaassss, jajajajajaja. De todos modos, es acojonante cómo explicas las cosas a través de las mates.
    Por cierto, voy y vuelvo, lo digo por si no comento siempre, hasta que se me solucionen unos problemas.
    BEsos!!!

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  19. Ya veo que te gustan los columpios, los tiovivos, las piñatas, los libros juveniles.... entonces tienes 15 años, no?? A mí me gustan las muñecas, las gominolas, las pelis de dibujos, los cuentos infantiles... yo es que sólo tengo 8.. ;P
    besos

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  20. bertha, si los pies no te llegaban al suelo todavía, tenían que empujarte. pero si ya habías crecido lo suficiente, te impulsabas tú solo con los pies. me alegra haberte traído buenos recuerdos! ;)

    anacris, en las clases con los niños hago todo tipo de gráficos y dibujos de colorines. hay días en los que llego a usar todos los rotuladores de la caja que llevo siempre, y eso quiere decir que el tema que tenía que explicar era complicado, jeje.

    gen, estaría bien que hicieran columpios para adultos, porque muchos todavía conservamos cierto espíritu infantil. ^_^ yo hace un par de años me monté en un tiovivo. pensarían que era un padre acompañando a su hijo/a.

    celia, y eso que me he saltado muchos cálculos, jeje. cuando empecé la carrera pensaba que la física que íbamos a dar sería una prolongación de la de cou, con sus planos inclinados y sus tiros parabólicos. y cuando empezabas a ver páginas y páginas de integrales y derivadas pensabas: "pero qué física tan rara es esta??". pero luego me acabó gustando. ^_^

    rosana, es verdad, las piñatas! el post que escribí sobre las piñatas hace como cinco o seis años tuvo muchas visitas. somos jóvenes de espíritu! aunque el tiempo pasa, ya he visto en tu última entrada que tu nancy cherry tiene ya 12 añitos. ;)

    besos!!

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  21. Tienes una mente extraordinaria.
    Besos.

    Buen finde.
    :)

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  22. Tienes un blog genial me encanto pasar.. Felices Fiestas un abrazo.

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  23. amapola, ya será menos! ;) se me pasó tu comentario en su día.

    ramonika, gracias y bienvenida!! voy a mirar en tu perfil a ver si tú también tienes casa virtual. :)

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