espejos

el número opuesto a uno dado, por definición, es otro número del mismo valor absoluto pero con el signo cambiado.

si se representan los números en una recta, el opuesto de un número determinado será su imagen especular respecto al origen de coordenadas. la suma de dos números opuestos siempre da 0. y 0 es el opuesto de sí mismo.

el significado de los signos se podría explicar con este ejemplo: si avanzamos el signo será positivo (+) y si retrocedemos será negativo (–). y el valor absoluto será el número de unidades de longitud que avanzamos o retrocedemos.

veamos ahora otro concepto un poco más complicado: el de números inversos.

el número inverso a uno dado -expresado como una fracción-, es otro número -también fraccionario- cuyo numerador será el denominador del primero, y cuyo denominador será el numerador del primero. es decir, dado un número fraccionario, si invertimos el orden de su numerador y su denominador, obtenemos su inverso.

en el caso de los números enteros, consideramos su denominador como unitario. el producto de un número y su inverso será 1. el 1 es inverso de sí mismo. y el 0 no tiene inverso, o bien podemos decir para entendernos que su inverso es infinito (∞).

un número fraccionario se puede visualizar como la pendiente de una línea recta. al desplazarnos por una cuesta, las proporciones que siguen el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal que realizamos vendrán representadas por el numerador y el denominador de la fracción, respectivamente.

si la pendiente de la línea que recorremos es 0, quiere decir que es horizontal. si es menor que 1, es inclinada pero “más horizontal que vertical”. si la pendiente es 1, la línea forma exactamente 45º con el suelo, coincide con la bisectriz de los ejes coordenados. si es mayor que 1, es “más vertical que horizontal”. y si es ∞, quiere decir que la línea es totalmente vertical.

una línea de una determinada pendiente se puede representar con ayuda de un triángulo rectángulo en el que el cateto horizontal es el denominador de la fracción que representa la pendiente, y el cateto vertical es el numerador. la recta seguirá la dirección de la hipotenusa de ese triángulo.

si representamos las fracciones como líneas que tengan las pendientes asociadas a ellas, la inversa de una fracción/pendiente cualquiera será su imagen especular respecto a la línea de pendiente 1.

en el dibujo he representado unas pocas fracciones para ilustrar esta idea. así como los números enteros son un conjunto numerable, no sucede así con las números racionales. entre dos fracciones que tomemos, por próximas que estén, habrá infinitas fracciones.

así pues, existe un paralelismo entre las operaciones de obtener el opuesto y el inverso de un número. en el primer caso el elemento central es el 0 y en el segundo es el 1. 0 es opuesto a sí mismo, es el punto de simetría de dos opuestos entre sí, y es el resultado de sumarlos. por otro lado, 1 es inverso de sí mismo, es el eje de simetría de dos inversos entre sí, y es el resultado de multiplicarlos.

tal como hemos representado los inversos, parece intuitivo que desde la horizontal hasta la bisectriz y desde la bisectriz hasta la vertical hay la misma cantidad de pendientes posibles. infinitas, pero con el mismo grado de “infinitud”, por decirlo de alguna manera. y sin embargo, el análisis de las fracciones/pendientes que se encuentran en uno y otro sector parece decirnos algo muy distinto: en el primero se encuentran las comprendidas entre 0 y 1, y en el segundo están todas las demás, desde 1 hasta ∞. se trata de una gran paradoja.

para terminar, y ya que hemos hablado de imágenes especulares, os doy un consejo por si vais al campo. ya sabéis, debajo de un árbol nunca si hay tormenta, y menos con un espejo. que luego el rayo puede hacer que el reflejo cobre vida, como le ocurrirá al pitufo.