jueves, 12 de octubre de 2017

acertijos


en la última quedada, mi buena amiga laura me regaló este libro de acertijos matemáticos. qué fama tengo! ;)

he aprendido bastantes cosas que no sabía, entre ellas algunas propiedades de los números enteros elevados al cuadrado y al cubo.

un número elevado al cuadrado nunca podrá acabar en 2, 3, 7, 8. cuando multiplicas un número por sí mismo, su última cifra será siempre la correspondiente al producto de la última cifra por sí misma. y como los cuadrados de los números de un dígito sólo pueden acabar en 0, 1, 4, 5, 6, 9, eso descarta el resto de cifras.


para explicar la siguiente propiedad, debemos conocer el concepto de raíz digital: consiste en sumar las cifras de un número, y si éstas dan otro número de más de una cifra, repetir el proceso con las cifras de este último. por ejemplo, la raíz digital de 36 sería simplemente 3+6 = 9. para la de 49, primero habría que sumar 4+9 = 13, y como 13 tiene dos cifras, las sumamos a su vez: 1+3 = 4.

pues bien, las raíces digitales de los números enteros elevados al cuadrado siguen una pauta que se va repitiendo periódicamente: 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9. en la siguiente tabla, en azulón aparecen los primeros cuadrados, en azul mar se aclara de qué números enteros provienen, y en morado se indica la raíz digital de cada uno. observamos que siguen una pauta cíclica.



continuamos con propiedades relacionadas con cuadraditos... como los de la camisa de luisa lanas. la suma de los primeros números enteros elevados al cubo -sin omitir ninguno- siempre da un número entero elevado al cuadrado. cómo os quedáis? en la tabla aparecen los cubos de los números enteros desde 1 hasta 10 (13=1, 23=8, 33= 27...) y sus sumas acumulativas.


observamos que, efectivamente, esas sumas siempre dan cuadrados, pero no todos los cuadrados que existen. sólo los de una serie de números: 1, 3, 6, 10, 15, 21... se trata de una sucesión que, tras unas deducciones que omitimos para no alargar demasiado esta entrada, se llega a la conclusión de que tiene como término general (n2+n)/2, que sacando factor común se puede expresar como n·(n+1)/2.


da la casualidad de que esa fórmula nos da la suma de los n primeros números enteros: 1+2+3+...n. por tanto, la suma de los primeros enteros elevados al cubo será igual a la suma de esos primeros enteros, toda ella elevada al cuadrado. lo cual es realmente curioso...


estas propiedades, de momento no sé cómo demostrarlas. por ello, esta entrada es algo parecido a una historia sin final, a un caso no cerrado. como las cinco semillas de naranja de sherlock holmes, que nunca se llegó a resolver. cuando logre ver la luz, ya os diré algo...

21 comentarios:

  1. Chema, me va a estallar la cabeza de un momento a otro. Espero que como prometía el libro te esté gustando y divirtiendo. Me alegra que te haga aprender cosas ya que, jajaja, me parece tan difícil que no sepas algo...

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  2. Amigo Chema, no hay entrada de este tipo donde no alabe tu capacidad para desgranar y darle valores al valor numérico, aunque en este caso se quede así. Te felicito siempre por ello.

    Mil besitos y feliz día.

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  3. Eres un AS con los números madre mía si es que yo cuando los veo me bailan que ni te imaginas jajaja.

    Yo creo que tu amiga acertó con su bonito regalo para ti.

    Besos.

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  4. Acabarán gustándome las matemáticas con tus magistrales entradas. La voy a leer de nuevo.
    Besosss y feliz día

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  5. laura, otro capítulo que también me gustó fue el de dividir una cruz griega (tipo farmacia, para entendernos) en partes de igual forma y tamaño. con lo de las propiedades de los cuadrados y cubos quedé loco.

    auroratris, gracias! :* me falta la demostración. lo que he hecho es digamos una inducción, es decir, general a partir de unos casos particulares que siguen la misma pauta.

    maría, ya lo creo que acertó. estas entradas a mí también me dejan mareado después de publicarlas, jeje. entre escanear, escribir, pitos y flautas, llevan su tiempo.

    maite, se intenta hacerlas amenas, jeje. se agradecen estos comentarios. en otras épocas del blog, hace bastantes años, había gente que no se leía las entradas y directamente decían que no habían entendido nada...

    besos!!

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  6. Ser amigo de las matematicas tiene muchas cosas buenas, y tu te manejas muy bien cuando nos explicas algo. Siempre interesante pasar por tu espacio. Saltibrincos

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  7. ¡Qué interesante, oye! A ver si te van a dar el próximo Nobel y voy a poder presumir de que te conozco (los que no tenemos talento nos alimentamos del talento ajeno, jajajaja). Besotes!!!

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  8. No tengo palabras, me has dejado eclipsada, tu dominio con los números no tiene límite, estoy convencida que darás muy pronto con la solución a está incógnita, no me cabe la menor duda. Besos Chema:))

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  9. Me encanta ese tipo de libros, pero reconozco que la cabeza ya no me da para tanto razonamiento. Debe ser que con los años la neurona se me ha vuelto vaga.

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  10. Esos libros molan mucho aunque como tenga que darle muchas vueltas a la respuesta acabo loca jajajjaja

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  11. ester, en este blog he ido tocando muchos temas de matemáticas, física y dibujo técnico, y cuando tengo que enseñarlos me viene bien haberlos ensayado. otras veces me toca explicar temas que tengo muy oxidados, y me toca repasar.

    álter, ya será menos, jeje. a mí se me dan más o menos bien los números, y tú eres muy buena escribiendo y comunicando en general, podríamos formar un buen equipo. ;) por cierto, ayer jueves no actualizaste tu blog!

    rosana, no creas, tengo mis lagunas, jeje. es que en matemáticas los axiomas se quedan incompletos si no se demuestran, por mucho que se cumplan en todos los casos particulares que se te puedan ocurrir. ya se me ocurrirá. ^_^

    marytony, yo a veces tampoco tengo la cabeza para muchos números. va por épocas. además, hay muchas corrientes matemáticas, y ciertos tipos de problemas o ciertos enfoques me gustan más que otros.

    geno, yo me puse a hacer desarrollos con esas propiedades, que en el libro sólo las formulaba, y aunque no llegue a demostrarlas, pensé "venga, va, con estoy ya tengo para un nuevo post". :P

    besos!!

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  12. Ciertos enigmas requieren más tiempo para resolverse.

    No hay que darse por vencidps.
    Besos.

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  13. Huy, cuántas cosas nuevas me has enseñado hoy!! Cuántas cosas curiosas tienen los números, es todo un mundo y tú eres un verdadero "embajador" explicándonos sus misterios...
    Tampoco sabía lo del caso sin resolver de Sherlock. Muy curioso también.
    Besos

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  14. Se ve que Laura te conoce bien, un gran regalo el que te hizo y que estás disfrutando :-)

    Un besazo

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  15. La propiedad que yo aprendo con este post es que hay que gustarte mucho mucho las matemáticas para darle tanto al coco con esas cosas jajaj
    Bravo por Laura que parece que acertó de lleno.
    Besos

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  16. amapola, aunque aparentemente dejes de pensar en algo, tu cabeza le sigue dando vueltas a nivel inconsciente. por eso en un momento dado se te aparece la solución sin que sepas cómo.

    rosana, creo que hay algún otro caso de sherlock holmes que queda inconcluso, pero el de 'las cinco semillas de naranja' es el ejemplo más claro. cuando leo estos libros de matemáticas, me da la sensación de que no tengo ni idea. ^_^

    emma, la gente ya me tiene muy fichado. cuando ven alguna curiosidad matemática, rápidamente comparten el enlace en mi muro de facebook, jeje.

    pirulí, me puse a pensar sobre ello llenando hojas de cálculos en sucio, jeje. el tema de sucesiones y series me gusta mucho. me divierte explicarlo, y a los alumn@s no se les da mal dentro de lo que cabe.

    besos!!

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  17. Hola paso a dejarte un saludo y darte las gracias por tu visita. Tu entrada es un poco complicada para mi pero me parece muy interesante. Saludos

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  18. ¡¡¡¡Hola!!!!! Qué maravilla, quiero ese libro y no pararé hasta conseguirlo.
    Adoro a Holmes y ese caso me encanta precisamente por ser irresoluble.
    Besos y ya nos seguimos leyendo.

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  19. Qué chulada de libro, Chema, me ha picado la curiosidad, a ver si lo consigo, sería el primer libro de matemáticas de mi biblioteca, qué cosas... :-)

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  20. nany, gracias por tu visita! hay gente a la que le gustan este tipo de entradas. a veces no se me ocurre ninguna y a veces se me ocurren varias de golpe.

    gemma, me alegra que hayas regresado! ese caso de las semillas de naranja es atípico porque además holmes, habitualmente tan calmado, apremiaba al cliente a mover ficha. unos miembros del ku klux klan estaban tras su pista... no me acuerdo bien, era una historia complicada.

    ilona, si intentas hacer todos y cada uno de los problemas que plantea, desarrollas tanto el cerebro como con una asignatura de matemáticas de ingeniería.

    besos!

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  21. Me confieso, soy mala en las matemáticas, pero me ha gustado tu entrada, y como has planteado todo!!felicidades Chema, gracias por compartir.

    Un abrazo.

    Lola.

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