números imaginarios

existen ecuaciones de segundo grado que carecen de soluciones, ya que su resolución conduce a la raíz cuadrada de un número negativo.

el producto de dos números positivos es otro número positivo. el producto de un número positivo por otro negativo o viceversa es un número negativo. y el producto de dos números negativos es un número positivo; es como revertir el efecto.

el profesor de matemáticas que tuve en 7º de egb nos lo explicaba así:

más por más = más (dar salud)

más por menos = menos (dar enfermedad)

menos por más = menos (quitar salud)

menos por menos = más (quitar enfermedad)

así pues, el producto de dos números del mismo signo siempre va a dar como resultado un número positivo. como consecuencia, no existirá ningún número que al elevarlo al cuadrado -es decir, al multiplicarlo por sí mismo- dé un resultado negativo.

una sencilla ecuación de segundo grado como es x²–1=0 se resolvería pasando el término independiente al otro miembro y quedaría así: x²=1. despejando la incógnita, obtendríamos: x=±√1. la raíz cuadrada de 1 obviamente es 1, y cumplirá la igualdad con ambos signos: +1 y –1.

veamos ahora una ecuación similar a la anterior: x²+1=0. operando de manera análoga, la ecuación queda como x²=–1. y por tanto, despejando, x=±√–1.

x es igual a la raíz cuadrada de –1. pero –1 no tiene raíz cuadrada, por lo que hemos explicado. por tanto, esta ecuación no tiene soluciones...

...no tiene soluciones reales. sí tendrá soluciones imaginarias, introduciendo el concepto de unidad imaginaria, que llamaremos i, y que será por definición igual a la raíz cuadrada de –1. i=√–1.

por tanto, las soluciones de la ecuación anterior serán la unidad imaginaria y su opuesta: x=±i.

siempre me ha parecido curioso que se diga que una ecuación no tiene soluciones reales -dando a entender que sí las tiene imaginarias-. si no tiene soluciones reales, es que no tiene soluciones. es como si yo digo en una tienda: “me llevo esto, pero no le voy a pagar con dinero real, mire usted. le voy a pagar con dinero imaginario, que aunque no lo vea físicamente ni aparezca en su contabilidad, es tan bueno como el otro”. :P

leí en un libro de mi abuelo que los números imaginarios tenían un comportamiento sorprendente. y es que, aunque el hecho de que un número elevado al cuadrado sea negativo no parece excesivamente anti-intuitivo, es algo que tiene consecuencias imposibles de concebir para nuestra mente.

por ejemplo, una recta cuya pendiente fuera la unidad imaginaria representada en unos ejes de coordenadas (y=i·x) tendría propiedades sorprendentes. una de ellas es que la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos sería nula. tomemos, por ejemplo, el origen de coordenadas (x=0, y=0) y el punto (x=1, y=i). la distancia entre ambos puntos, aplicando el teorema de pitágoras, sería: 1²+i², y conociendo las propiedades de la unidad imaginaria, eso sería igual a 1–1, es decir, a 0.

los números positivos y negativos tienen muchas aplicaciones en la realidad. por ejemplo, subir en un ascensor se puede expresar con un número positivo: el número de plantas que hayas subido precedido del signo más; y bajar, con un número negativo: el número de plantas bajadas, con signo menos. y si ni se sube ni se baja, se indica con el 0, que no tiene signo, no es ni positivo ni negativo.

otro ejemplo clásico es el de tener un balance contable positivo -tienes más de lo que debes-, o negativo -debes más de lo que tienes, estás en números rojos-.

sin embargo, no existe nada en la realidad que se corresponda con los números imaginarios. por eso se llaman imaginarios, podríais decir, y con razón. en el libro del que os hablaba antes se decía que tal vez los números imaginarios representaban alguna realidad profunda del universo...

posiblemente tengan alguna relación con el universo. además, la propiedad que antes comentaba de que la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta de pendiente imaginaria es cero, se asemeja a la inmutabilidad de un rayo de luz a lo largo del espacio-tiempo. la luz que nos llega desde astros muy lejanos a la tierra tarda más o menos en llegar, pero no se debilita ni envejece. brilla con la misma intensidad que si nos hubiera llegado de manera instantánea.

la luz se desplaza a unos 300,000 kilómetros por segundo. el sol se encuentra a aproximadamente 150,000,000 kilómetros de la tierra, por lo que su luz tarda unos 8 minutos en llegar hasta nosotros. la luz del sol que vemos no es la que tiene en este mismo instante, sino la que tenía hace ocho minutos.

el año-luz se define como la distancia que recorre la luz en un año. si la luz se desplaza a esa velocidad tan enorme, imaginad qué distancia puede recorrer en un año entero... dado que las distancias en el universo son de gran magnitud, se utiliza el año-luz para medirlas. veamos unos pocos ejemplos de diferentes magnitudes de años-luz...

las estrellas del sistema alfa-centauro se encuentran a unos 4.37 años luz de la tierra. si las observamos en una noche en la que el cielo esté despejado, la luz que nos llega de ellas no es de ahora mismo. es de hace unos cuatro años, del año 2008.

la nebulosa del cono se encuentra a unos 2,700 años-luz. eso ya son palabras mayores. si la observamos con un telescopio, la imagen que veremos es en realidad del siglo vii antes de cristo. ha tardado en llegar desde la época de la grecia presocrática hasta ahora.

la galaxia andrómeda, el objeto más lejano visible desde la tierra, se encuentra a unos 2.5 millones de años luz. se comprende que una distancia tan enorme no se puede estimar con mucha exactitud. en cualquier caso, si lográsemos observarla con un potente telescopio, la imagen que nos llegaría de ella provendría de la época del australopithecus, la primera de las especies precursoras de los humanos.

en esta entrada, como veis, he puesto a la misma altura los números imaginarios y los misterios del universo. voy a terminar con una imagen del tomo 4 de la segunda parte de las aventuras de esther -las del lomo azul-. la gran purita campos dibuja fantásticamente cualquier cosa, hasta el firmamento...