martes, 11 de enero de 2011

hélices



esta escalera que aquí veis es real, y la he fotografiado yo mismo desde la planta de arriba del edificio donde está, venciendo mi vértigo.

es lo que se llama una escalera de caracol, y es uno de los ejemplos que vienen a la mente con más facilidad cuando se trata de explicar lo que es una hélice, en geometría.

una hélice, para hacernos una idea, es una especie de espiral enrollada sobre un cilindro. la distancia de cualquier punto de la hélice al eje central del cilindro es siempre la misma, y lo que va variando es su altura respecto al plano de la base.

en coordenadas polares, la posición de un punto está determinada por un radio r que va desde el origen hasta cualquier punto de la curva -que en nuestro caso será de longitud constante R- y un ángulo φ respecto al eje x que se haya tomado como referencia en el plano de la base. las coordenadas cartesianas serán las proyecciones del radio sobre los ejes perpendiculares x,y situados en la base:
x=R·cos(φ)
y=R·sen(φ)


las coordenadas cilíndricas son una extrapolación a tres dimensiones de las polares, añadiendo una coordenada vertical z. nos van a servir para visualizar la hélice.

en una superficie cilíndrica, todos los puntos se encuentran a la misma distancia, R, del eje central. como la hélice está contenida dentro de la superficie cilíndrica, también cumplirá esta propiedad. sin embargo su altura variará, y lo hará según una pauta: el ángulo que forma la tangente a la hélice en cualquiera de sus puntos con el plano horizontal es siempre el mismo. lo llamaremos α.

dicho de otro modo, si cortamos el cilindro con su hélice ‘enrollada’ con un plano paralelo a la base del cilindro, en el punto donde ese plano ha cortado a la hélice se ha formado un ángulo α. esta propiedad resulta fácil de intuir en la vida real: una escalera de caracol va dando vueltas, pero notamos que tiene siempre la misma pendiente: esa pendiente es la que está definida por el ángulo α. dependiendo de que α sea mayor o menor, la pendiente será más o menos pronunciada, y por tanto nos será más o menos difícil subir por esa escalera.


existen dos maneras de llegar a las ecuaciones de una hélice: una ‘geométrica’ y una ‘física’. analizaremos las dos y después trataremos de relacionarlas.

lo que hemos llamado informalmente una superficie cilíndrica con una hélice enrollada se puede obtener enrollando sobre un cilindro un plano en el que se hayan dibujado unas líneas diagonales paralelas. el ángulo que estas líneas forman con la horizontal es el que hemos llamado antes α.

el plano mide ‘de largo’ lo mismo que la circunferencia exterior de la sección del cilindro: 2·π·R. la longitud comprendida en el tramo definido por el ángulo φ (cuidado, que ahora hablamos del ángulo de coordenadas cilíndricas) será R·φ, al ser la longitud de un arco de circunferencia igual al radio multiplicado por el ángulo medido en radianes. y la coordenada vertical z, por el teorema de pitágoras, será R·φ·tg(α).



de la expresión de z se puede despejar φ y sustituirla en la expresión de x,y. de ese modo, las dos coordenadas planas dependerán de la coordenada vertical.




en física, una hélice se obtiene por una composición de dos movimientos: un movimiento circular con velocidad angular ω constante, y un movimiento vertical con velocidad lineal v constante.

así, el ángulo de coordenadas cilíndricas que habíamos llamado φ, ahora tomará la forma ω·t, y la coordenada vertical z se expresará como v·t. el ángulo es la velocidad angular por el tiempo, y la distancia es la velocidad lineal por el tiempo, análogamente.



antes habíamos obtenido para z la expresión R·φ·tg(α). podemos sustituir en ella φ por ω·t e igualarla a v·t.

de esa manera, en las ecuaciones, en lugar de R·tg(α) aparece ω/v, es decir, el cociente entre la velocidad angular de giro y la velocidad lineal vertical. y eso tiene más sentido físico, resulta más real y tangible.





espero no haberos mareado mucho. ;) os dejo con una foto de la misma escalera, pero tomada desde la primera planta mirando hacia arriba, al revés que la primera. os gustan estas escaleras para una casa, desde el punto de vista estético? ;)

16 comentarios:

  1. Desde un punto de vista estético son maravillosas y desde un punto de vista sanitario hay que estar en buena forma para subirlas, es un ejercicio cadivascular muy recomendable al tiempo que foralece los músculos de las extremidades inferiores.
    Sin embargo desde el punto de vista práctico me imagino llegando del super cargada de bolsas y ..mejor por el ascensor :D
    Las fotos te han quedado muy chulas.
    Muchos besos Chema!

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  2. Tus fotos son preciosas y geniales, y tus reflexiones demasiado avanzadas para mi.
    Me gustan mucho las espirales.....y me han venido a la cabeza el nautilus y la sección aurea.
    La última foto......pareden varias circunferencias tangentes en un mismo punto....¿no?

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  3. De verdad que tus fotos son alucinantes, cada una que veo un poco más que la anterior.
    No he entendido nada, como suele ocurrirme habitualmente, pero que no es culpa tuya. eh, es que soy muy torpe XDDDD
    BSssss
    Cloti

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  4. Estoy de acuerdo con Wendy. Desde el punto de vista estético son preciosas, pero en el día a día yo tampoco me veo subiendo cargada de bolsas.

    Me encantan las espirales y todo lo que sea circular, cilíndrico o simplemente curvo. Y la idea de continuidad, de algo que no se termina. Qué fotos más bonitas, sobre todo la primera.

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  5. No sabía que tuvieras vértigo. Supongo que se debe de pasar fatal.
    En cuanto a las fotos, es curioso lo diferentes que se ven, según el punto de mira :)
    A mí sí me gustan estéticamente, pero si tuviera una casa con escalera, sin duda la prefiero recta. Mi abuelo tenía una en la casa del pueblo y resulta algo incómoda,sobretodo a la hora de bajar.

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  6. Las escaleras de caracol son preciosas y esta que nos presentan lo es mucho aunque como sea muy alta a mi me arean XDDD (de los cálculos matemáticos paso, ya sabes que soy de letras, :-P)

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  7. Te confieso que sta vez no me he leído todo tu desarrollo físico-geométrico! Hoy no tengo premio! Pero sí que me han encantado ambas fotos, resultan la mar de estéticas, pero así en grande, en un edificio entero quiero decir. Las pocas escaleras de caracol en casas que he subido y bajado no resultaban nada cómodas, me daban algo de miedo por caerme!
    Besos!

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  8. wendy, yo me 'ahogo' enseguida si subo cuestas arriba, a menos que lo haga de forma muy pausada. por caminos llanos aguanto lo que haga falta, en mi casa saben bien las caminatas que me pego, pero las cuestas son otra cosa. coincido contigo, mejor el ascensor, sobre todo al volver de la compra, jejeje.

    olatz, así es. la hélice es un tipo concreto de espiral. las espirales planas, con forma de caracol, siguen una pauta en su crecimiento en la cual juega un papel el número áureo. de eso hablaré en una próxima entrada que tengo que preparar. y sí, esas fotos, en la perespectiva lateral en la que están tomadas, se asemejan a un conjunto o haz (no sé muy bien cúal sería la palabra) de circunferencias tangentes en un punto y tal que cada de ellas una "envuelve" a todas las que sean más pequeñas.

    cloti, la verdad es que los cálculos y las explicaciones de este post no están demasiado trabajados, jejeje. fue un post que salió de la nada el mismo día en que lo escribí, sin que tuviera ninguna idea previa anterior. me empeñé en terminarlo esa misma noche, y está un poco delirante. no te preocupes por no entenderlo, es normal. :D

    shirat, las fotos se me ocurrió hacerlas porque me asomé y se veía el fondo. hacía el efecto óptico de una especie de caracola gigante. lo que no me quedaron bien fueron los dibujos en perespectiva de los cilindros con las hélices ligadas a su superficie. el primero sobre todo, parece que tiene sección elíptica, como los mecheros bic. las prisas porque tenía ganas de colgar el post, como le decía a cloti, jeje.

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  9. anele, quizá no sea un vértigo patológico como el del protagonista de la película de hitchcock, pero sí que es verdad que lo paso mal si me asomo a sitios altos o si veo que otos lo hacen... es verdad, las dos fotos son diferentes. la primera, tomada desde arriba, es como más real, se distinguen los peldaños... la otra es más difusa...

    geno, esta escalera es muy alta, comunica muchos pisos, pero es amplia. hay escaleras de caracol que son muy estrechas, con lo cual al tiempo que subes o bajas estás continuamente girando tu cuerpo, es un puro giro. eso sí que es mareante...

    rosana, no pasa nada, mujer, esto de las coordenadas cilíndricas y todo el rollo es de física de primero, la asignatura en la que más suspensos había de toda la carrera, lo que da una idea de cómo atraía a la gente. :D las escaleras de caracol suelen ser, como tú dices, estrechas y con mucha pendiente. son incómodas, sobre todo para bajar, a mí al menos me da la sensación de que me voy a pisar mal y caerme. éstas lo bueno es que eran amplias.

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  10. en el último escaneado de los cálculos que hice cometí un lapsus, grrrr. puse un 'seno' en vez de una 'tangente'. de la expresión
    R·ω·t·tg(α)=v·t, despejaría R·tg(α)=v/ω
    y lo demás se mantiene igual, es una errata que no influye en lo siguiente, pero me fastidia... las prisas no son buenas. ;)

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  11. Claro, Chema, por eso yo no lo entendí, si es que...
    Bssssss
    Cloti

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  12. Pero a ver... ¿subiste andando para hacer la foto desde arriba o utilizaste le photoshop... digo el ascensor??? XDDD

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  13. ¡¡¡Vaya cacho de fotografía Chema!!!
    Intenta mandarla a lgún concurso, es que es buenísima, de verdad

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  14. cloti, seguro que con esa aclaración y con los dibujos que hice para este post, tan claros y con tan buena perspectiva :D ya lo entenderás todo, jajaja.

    ruth, photoshop no tengo, del paint no paso. ;) eran 11 plantas, así que casi mejor coger el ascensor. :P si desde la última planta no se hubiera visto el fondo, habría bajado una, y si no otra, y así sucesivamente, hasta que se viera. pero desde la última planta sí que se veía el fondo, y desde la primera se veía el techo.

    inma, me alegro de que te guste. puede ser una buena idea utilizarla para algún concurso de fotos. ;) empecé a tantear con la cámara, a ver cómo se podía enfocar para que se apreciara lo mejor posible la escalera, y casualmente vi el efecto óptico de 'caracola gigante' que hacía. la primera es más bonita, pero la segunda tiene un toque irreal, intrigante...

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  15. Hola Chema, es muy chula esta escalera. Me podrías decir donde se encuentra? Muchas gracias!!!

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  16. Hola!!!! No me extraña que esté entre las más leídas, mola mucho.
    No me imaginaba que tuvieras vértigo.
    Besos.

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