unicornios

hace ya unos cuantos años hablé de las hélices matemáticas, pero de las más sencillas, las cilíndricas. me estaba preguntando cómo serían las ecuaciones de una hélice cónica, y son bastante más complicadas, ya os lo digo.

para empezar, el radio vector ρ (ro) no es constante, sino que depende de la coordenada vertical z. ambas coordenadas, ρ y z, están relacionadas por la tangente de α, el ángulo que forman el eje del cono y cualquiera de sus generatrices.

por otro lado, el incremento diferencial de la altura z será igual al radio vector ρ por el incremento infinitesimal del ángulo polar φ (fi) y por la tangente de β, el ángulo que nos indica la pendiente de la hélice.

hemos obtenido una ecuación diferencial que vamos a integrar separando variables. como límite inferior de la variable z tomaremos un valor de referencia z₀, pues al tratarse de una integral que nos va a dar como resultado un logaritmo, hay que evitar que éste tenga 0 como argumento, pues se haría infinito.

y así hemos hallado una expresión de la altura z que depende exponencialmente del ángulo φ que vamos girando a medida que nos desplazamos por la curva helicoidal. φ es variable, mientras que α -semiángulo del cono- y β -pendiente de la hélice- son constantes.

los unicornios, como su nombre indica, tienen un solo cuerno con una especie de espiral, una hélice cónica como las que acabamos de analizar. mi amiga Suave sabía que me gustaban los unicornios, y por eso me ha regalado una preciosa taza con un dibujo de este animal fantástico. además, una tarjeta en la que aparece la muñeca gorjuss -que también me encanta-, y con una dedicatoria que me ha sacado los pocos colores que tengo. :D (mi piel es más blanca que un folio). hasta la bolsa donde me lo trajo es bonita. mil gracias por la tarde de ayer, guapa!! :*

tengo una carpeta de unicornios que, sin proponérmelo, se ha hecho famosa. la gente la ha visto en diferentes fotos y vídeos, como por ejemplo éste que grabé hace un mes. espero que os divierta. a todo esto, creo que a nuestra amiga lua seomun también le gustaban los unicornios. ;)

gran vía

en mis recorridos fotográficos nunca os había mostrado la gran vía en su totalidad, quizá por considerarla una calle muy ‘obvia’, muy conocida. hoy es el último viernes antes de navidad, es además víspera de la lotería, y por eso era un buen momento para recorrer esta célebre calle del centro de madrid.

la gran vía no es muy larga. la que es larga es la calle alcalá, con la cual hace esquina en su inicio.

la esquina con la calle montera es un lugar típico para quedar.

aquí está la plaza de callao, donde se tuerce ligeramente la gran vía. se puede considerar que está dividida en dos tramos de similar longitud, antes y después de callao.

y llegamos a la plaza de españa, donde acaba la gran vía y también acaba el distrito centro. a partir de aquí entramos en el distrito moncloa.

ha sido una tarde muy bien aprovechada. he hecho mi recorrido por gran vía, he vuelto sobre mis pasos hasta callao y he entrado en el fnac. me he comprado un doble recopilatorio de donna summer, rebajado a 7 euros. después he bajado hasta la calle ribera de curtidores para visitar a mi amiga yoli en su nueva tienda de cuydi decoración en galerías piquer. lo hemos pasado genial.

felices fiestas a tod@s!!

paradoja

hay una paradoja física aún no resuelta: qué ocurre si una fuerza imparable actúa sobre un objeto inamovible. veamos: para que un objeto sea inamovible, su masa debe ser infinita. de entrada eso es imposible, ya que aunque tuviera toda la masa del universo concentrada, ésta sería finita. pero además, una fuerza imparable debería estar causada por otro cuerpo de masa infinita, y no hemos quedado en que un cuerpo de esas características no se puede mover?

los cuerpos de mayor masa que se conocen son los agujeros negros, que se forman por el colapso sobre sí mismas de las estrellas que han agotado su combustible. y lo más parecido que se me ocurre a una fuerza imparable es la que ejerce un agujero negro sobre un cuerpo que haya atravesado el horizonte de sucesos. se llama así a la zona a partir de la cual es imposible salir del campo gravitatorio del agujero negro, pues la velocidad de escape teórica sería mayor que la de la luz, lo cual es imposible ya que es la mayor velocidad alcanzable en nuestro universo.

hay un capítulo del coche fantástico en el que kitt se enfrenta a su antagonista karr, un vehículo de idéntico aspecto y muy similares poderes, pero orientados al mal. cuando se disponen a luchar, kitt dice algo así como: “ahora podremos ver lo que sucede si una fuerza imparable impacta contra un objeto inamovible”.

no es la única vez que un superhéroe -ya sea de carne y hueso o mecánico- tiene que enfrentarse con un clon malvado. en la aventura ‘el supergrupo’ de superlópez, el protagonista y todos sus compañeros tienen que luchar contra los dobles que ha creado su gran enemigo, reproduciendo todas sus características.

y a todo esto, creo que me estoy empezando a parecer a superlópez. el viernes pasado, cuando mi doctora me tomó la tensión, casi hago reventar el aparato. :O bueno, vale, no tanto, pero la tenía altísima. eso inspiró mi anterior entrada. ya os contaré la historia completa en otra ocasión... ;)

y también debo de tener superfuerza, porque en un vídeo que grabé explicando cómo abrir un bote de mermelada, lo abrí a la primera, casi sin querer. por una vez que quiero que un bote sea difícil de abrir, para que el vídeo tenga gracia, va y se abre solo. :D

latidos

las pulsaciones del corazón se asemejan a las funciones senoidales. son cíclicas, y la distancia entre sus crestas y valles puede variar. la función sen(x) tiene como período 2π (es decir, 360º, una vuelta completa de circunferencia). dicha función sin variantes equivaldría a un número de pulsaciones normal.

si reducimos a la mitad el argumento de la función senoidal, su período se duplicará. es decir, 

sen(x/2) tiene como período 4π (720º, dos vueltas de circunferencia). estaríamos en un caso de ritmo cardiaco lento. por el contrario, si aumentamos al doble el argumento del seno, su período se reducirá a la mitad, y los máximos y mínimos se sucederán más rápido. el período de sen(2x) será π (180º, media vuelta de circunferencia). se trata de una frecuencia cardiaca más rápida de lo normal.

nuestro corazón late muy deprisa ante situaciones de tensión como un examen, una entrevista de trabajo, una revisión médica, un encuentro con una persona que nos gusta... en la gráfica podéis ver representadas las funciones senoidales de período largo, normal y corto -lenta, normal y rápida, respectivamente-. en esta última, las abscisas de los puntos singulares me han quedado muy apelotonadas, pero lo he dejado así porque refleja muy bien el caos emocional que sentimos en esos momentos en que nuestro corazón está desbocado.

se me nota mucho que estoy romántico últimamente? ;)

jardín secreto

hace poco releí el jardín secreto de francés hodgson burnett, escrito en el año 1910. es uno de esos libros que tengo asociados a mi adolescencia. me lo hizo recordar la gran narradora lua seomun gracias a una bonita entrada que publicó en uno de sus blogs. :)

mary lennox es una niña que se ha criado en la india, y a quien en un momento dado trasladan a vivir a la casa de su tío, en un páramo de yorkshire. al principio su carácter es antipático, y la severa ama de llaves de su nueva casa tampoco ayuda mucho. pero estar en contacto con la naturaleza y conocer a personas sencillas y alegres como los hermanos martha y colin, así como el jardinero ben -de apariencia hosca pero con buen fondo-, hacen que se sienta feliz y se vuelva mucho más tratable.

el jardín secreto al que alude el título, para no hacer mucho ‘spoiler’ diré simplemente que es un jardín que ha permanecido cerrado durante diez años. realmente diez años no es mucho tiempo en la vida de una persona adulta. 2008 nos parece ayer. pero supongo que es un tiempo suficiente para que al dejar abandonado un jardín, éste adquiera un aspecto intrigante y salvaje.

en matemáticas hay muchos misterios y conceptos inaccesibles a la mente humana. por eso, la idea de un jardín secreto se presta a ser relacionada con algún tema de matemáticas...

la función √(x²-1) tiene como dominio todos los números reales menos los comprendidos en el intervalo abierto (-1, 1), que son los que hacen que el radicando sea negativo. sabemos que no existe la raíz de índice par de un número negativo, y por tanto en esa zona no habrá función real.

vamos a representar la función gráficamente. se trata de una función con dos ramas que se acercan asintóticamente a las bisectrices del primer y segundo cuadrante. es lógico, ya que cuando mayor es x, menor será la diferencia entre x²-1 y x². a un número muy grande, le restas 1 y “ni se entera”. por tanto, nuestra función se aproximará a √x², es decir al valor absoluto de x.

pero lo curioso viene cuando estudiamos la derivada de la función, que resulta ser igual a x/√(x²-1). esta derivada se hace nula en x igual a 0, lo cual quiere decir que en la abscisa 0 existiría un máximo o mínimo de la función. pero cómo va a haber máximos o mínimos, si en el intervalo (-1, 1) -al cual pertenece el 0- ni siquiera hay función?

eso significa que el intervalo (-1, 1) es una zona secreta y misteriosa en la que no podemos saber qué es lo que ocurre. es una especie de jardín secreto matemático.

supongo que todas las personas tenemos nuestro propio jardín secreto, esa zona que nadie conoce, quizá ni siquiera nosotros mismos... los sueños, en los cuales afloran muchas ideas del subconsciente, nos pueden dar alguna pista en ese sentido.

doctora

el pasado mes de junio fui al ambulatorio después de aproximadamente un año sin ir, y vi que me habían cambiado de doctora. la que tenía antes era más bien mayor, y de trato correcto aunque muy poco expresiva. la nueva es más joven y habladora. en junio no me fijé demasiado en ella porque tenía otras cosas en la cabeza. pero en octubre, cuando fui por lo que resultó ser una faringitis, sí que me fijé...

su aspecto es atractivo, aunque algo común. por ello, hasta que vaya unas cuantas veces más y me quede con su rostro, me resultará difícil reconocerla si por casualidad la veo por la calle. es de estatura normal tirando a bajita, con el pelo castaño y liso, la piel morena, la cara triangular y los incisivos ligeramente separados. de trato, es un poco seria pero agradable. la última vez se interesó por mis estudios y por las clases que daba. diría que es de una edad cercana a la mía (soy de 1977). quizá por eso, al ver mi fecha de nacimiento en la base de datos, las dos veces que fui decidió hablarme de tú.

quizá su defecto es ser demasiado lenta atendiendo a los pacientes, lo cual provoca retraso acumulado respecto a la hora a la que en teoría tenías la cita. cuando fui el mes pasado, la gente que estaba en la sala de espera comentaba que si le hablabas mientras estaba preparando las recetas o lo que fuera, se aturullaba y entonces sí que iba despacio. esa lentitud puede deberse a una falta de experiencia ejerciendo como médico de familia, o a un deseo de dedicar a cada paciente la atención que necesita.

dado lo poco que la conozco, todas las conclusiones que pueda sacar sobre ella son conjeturas. y es algo que me inquieta, porque se trata de una chica que me ha despertado mucha curiosidad. me pregunto si tendrá pareja, cómo será con sus familiares y amigos, cómo era de estudiante, cuáles son sus aficiones... por su trato natural y cercano, tímida no parece, aunque nunca se sabe. hablar con más soltura que yo, desde luego no es muy difícil. :P

la próxima vez que vaya, me fijaré en si lleva anillo de casada. aunque para eso tengo que saber distinguir la ‘alianza’ de otros tipos de anillos. en cualquier caso, mi amiga jana está al corriente de mis inquietudes y ha querido hacer de celestina. cada vez que la dejo sola un momento, me la arma. :O

trompetas

resulta curioso que el pitufo armonía sea el que más desafina. los demás pitufos, cuando tocan música en fiestas y otros eventos pitufales, lo hacen bien. el pitufo armonía es el único que no domina lo que se supone que es su especialidad.

hay una figura matemática llamada trompeta de torricelli. se obtiene al hacer girar respecto al eje horizontal x la superficie limitada por la función y=1/x y el mencionado eje x, desde 1 hasta ∞.

esta figura de revolución es peculiar porque su área exterior es infinita, mientras que su volumen es finito. una paradoja similar a la del copo de nieve, que como os conté en su día, tenía perímetro infinito y área finita.

vamos a calcular el área exterior de la trompeta de torricelli. para ello integraremos ‘anillos’ de radio 1/x -la ordenada de la función- y de grosor dx, entre las abscisas 1 y ∞. comprobamos que, a pesar de que nuestra ‘trompeta’ se va estrechando cada vez más, su área finalmente diverge y acaba siendo infinita.

ahora vamos a calcular el volumen, integrando ‘discos’ de radio 1/x y espesor dx, entre 1 y ∞. como vemos, el volumen de la ‘trompeta’ es finito y además tiene un conciso y elegante valor: el número π. a esta figura le ocurre como a las copas largas y estrechas que tienen poca capacidad en relación con su área externa.

la trompeta de torricelli, en realidad no es como las que usan los grupos de funky tipo earth, wind & fire o kool & the gang. es mucho más alargada, como la de estos monjes tibetanos. el capitán haddock la hace sonar accidentalmente…

discutir

hay un ejercicio muy típico de matemáticas de 2º de bachillerato -lo que antes era cou-, que se formula de esta manera: “discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro”. se trata de analizar la compatibilidad del sistema -compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible- para los valores que tomen los coeficientes del mismo.

aunque a mí, eso de ‘discutir’ siempre me ha sonado a riña o disputa. nunca imaginé que las matemáticas pudieran ser tan conflictivas. :O

quería hacer uno de esos ejercicios como ejemplo. y de dónde mejor podría sacarlo que de mi propio examen de selectividad? lo tenía guardado en un cajón. la fecha escrita a boli la puso mi padre, que siempre ha sido muy metódico para esas cosas. yo hice el repertorio B, lo deduzco porque es en el que hay anotaciones mías. pero el ejercicio que os quiero mostrar hoy está en el repertorio A, y es el primero.

aquí lo tenéis ampliado.

en primer lugar, expresamos el sistema en forma matricial. si la matriz A es de rango 3, el sistema será compatible determinado. si es de rango menor que 3, pues habrá que estudiar cada caso. los valores que hacen nulo el determinante de A son 1 y -2. eso quiere decir que para todo a distinto de 1 y de -2 el rango de la matriz A será 3, y por tanto el sistema será compatible determinado.

para a igual a 1, observamos que la matriz A es de rango 1, ya que todas sus filas o columnas son iguales -con que fueran proporcionales ya sería de rango 1-. y la matriz ampliada A* seguirá siendo de rango 1, ya que la columna adicional es igual que todas las demás. por tanto, como el rango de A* es igual que el rango de A, y éste es menor que 3 -número de incógnitas-, el sistema será compatible indeterminado.

para a igual a -2, la matriz A será de rango 2. se puede encontrar fácilmente cualquier submatriz de 2*2 cuyo determinante sea distinto de 0. veamos para la matriz ampliada A*: nos preguntamos si su rango será 2 ó 3. para ello tomamos una submatriz de 3*3 que incluya a la columna adicional, y calculamos su determinante. si éste es distinto de 0, como así ocurre, querrá decir que la matriz A* tiene rango 3. y al ser el rango de A* mayor que el de A, el sistema será incompatible.

pues esto es lo que os quería contar hoy. que paséis un buen finde y no discutáis mucho con vuestras personas cercanas. ;) discutid un poco si hace falta, porque no es bueno que las cosas se queden dentro, pero sin pasaros. ^_^

torrespaña

el otro día tenía clase con una niña que vive cerca de la calle o’donnell. como me sobraba un poco de tiempo, di una vuelta a la manzana y vi el famoso pirulí de fondo. eso me dio la idea de hacer un recorrido acercándome poco a poco a la famosa torre de telecomunicaciones, que se llama realmente torrespaña. he titulado así esta entrada en lugar de ‘pirulí’, porque entonces parecería que el post trata sobre nuestra amiga bloguera que lleva ese nombre. ;)

además de aproximarnos al pirulí, aprovecharemos para ver otros sitios interesantes que hay alrededor. empezamos el recorrido en la avenida de felipe ii, que es peatonal, de gran anchura y de escasa longitud -apenas tres manzanas-. por su relación longitud/anchura, casi se podría considerar una plaza un poco ‘estirada’.

esta escultura, relativamente moderna, es un homenaje al pintor salvador dalí. el dolmen impresiona visto de cerca.

el palacio de los deportes, que ahora lleva el nombre de sus patrocinadores...

y justo al lado, la casa de la moneda. por la parte izquierda de la foto asoma la punta del pirulí.

otra vista del palacio de los deportes.

la entrada principal de la fábrica de la moneda. yo quiero trabajar aquí, tal vez regalen a los empleados muestras de sus productos por navidad. :O

ya se va viendo el pirulí en el horizonte...

otra entrada de la casa de la moneda, por la calle doctor esquerdo.

ahora giramos por la calle o’donnell. adivináis qué es lo que se ve tras los árboles?

vamos a meternos por esta callejuela. tampoco es que haya muchas más opciones, porque es eso o la carretera a3 hacia valencia.

ya casi lo tenemos ahí...

estamos tan cerca que cada vez hay que mirar más hacia arriba para verlo. vamos a acabar con dolor de cuello.

junto al pirulí hay un edificio anexo de radiotelevisión española.

y para terminar, una foto con zoom, tomada desde la suficiente distancia. espero que os haya gustado este paseo. se podría pensar que el pirulí está en las afueras de madrid, pero no, está bastante céntrico.