copas

para llenar una copa cónica a la mitad de su volumen, la altura que debe alcanzar el líquido debe ser mayor que la mitad de la altura de la copa. y es que una copa con esa forma se va estrechando hacia abajo, por lo que el volumen de líquido no es proporcional a la altura del mismo.

el volumen de un cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. la base del cono es un círculo. en nuestro problema tenemos dos conos, uno grande -la parte ‘útil’ de nuestra copa- y otro pequeño -el líquido que contiene-.

nos interesará expresar el radio en función de la altura, y para eso relacionamos ambos a través de la tangente de α, el ángulo que forman la altura y la generatriz. esto vale tanto para el cono grande como para el cono pequeño, ya que son semejantes, sus dimensiones son proporcionales.

para hallar la relación entre volúmenes, dividimos el volumen pequeño entre el volumen grande. operando y simplificando, obtenemos la expresión (h/H)³, es decir, la relación entre las alturas elevada al cubo.

nuestra condición era que la copa debía estar llena hasta la mitad del volumen. eso quiere decir que el cociente del volumen pequeño entre el volumen grande debe ser igual a 1/2. por tanto, igualamos (h/H)³ a 1/2, y despejando obtenemos que la altura h minúscula del líquido deberá ser el 79,37% de la altura H mayúscula de la copa. casi el 80%.

este curso he explicado a los alumn@s muchos problemas de figuras tridimensionales. este problema les vendría un poco grande, y además si aún no han dado trigonometría no les podría hablar de tangentes. como mucho de relaciones de semejanza...

hablando de copas, aquí vemos a tintín y sus compañeros brindando por el éxito de su inminente misión lunar. precisamente hace poco se cumplió el cincuenta aniversario del apollo 11. tintín, milú, haddock y tornasol se adelantaron aproximadamente quince años a su tiempo, ya que los álbumes objetivo la luna / aterrizaje en la luna se publicaron allá por 1953-54.

julio se nos acaba… espero que lo estéis pasando bien este verano, leyendo o haciendo lo que más os guste. :)

lago

mi amiga marisa me pasó un enlace sobre la casa de campo de madrid y sus fuentes de piedra. me sugirió que me acercara allí y grabara un vídeo con el móvil, idea secundada rápidamente por mi otra amiga mª jesús. me pareció un buen plan para la mañana del domingo, así que para allá me fui.

en principio pensaba grabar el vídeo, dar como mucho una pequeña vuelta y marcharme. pero por si acaso me llevé la cámara buena, por si veía algo bonito para fotografiar. y así fue, pero empecemos por el principio. :)

me bajé en la estación de metro de ‘lago’, cuyo nombre alude al lago de la casa de campo.

hacia el lago me dirigí. llevaba un plano impreso para orientarme.

aquí encontramos una de las fuentes. se llama fuente del triángulo, por su sección con forma de triángulo equilátero. si clicáis en la foto para aumentarla, veréis que hay una paloma bebiendo.

ya que estamos aquí, resulta tentador dar una vuelta por la orilla del lago, verdad?

parece que madrid tiene mar y todo...

el embarcadero, para los más deportistas.

cuánta agua...

hay patitos. a esther, el personaje de comic, le gustaría este lugar.

‘el gran plátano’, le llaman a este árbol.

otra fuente rosa y gris. a ver fuentes es a lo que en principio habíamos venido. ;)

en esta zona, la gente se sienta en el césped. hay chicas que llevan unas deportivas super calurosas con calcetines, y al llegar aquí se descalzan, y tienen los pies como los de un bebé. les preguntaría qué trucos y cuidados usan. ^_^

diría que ya hemos dado la vuelta completa...

va a ser que sí, aquí está la fuente del triángulo, nuestro punto de partida.

y ahora esperaremos al metro para regresar a casa. espero que os haya gustado este paseo improvisado. yo me lo he pasado genial. gracias, marisa, por darme la idea! :*

ah! que no se me olvide. os comparto por aquí también el vídeo de la fuente que he subido a facebook. es muy cortito :)

escenas

cuando me desplazo en transporte público o cuando voy a comer fuera yo solo, me gusta fijarme en la gente que hay alrededor. se observan escenas cotidianas, como un grupo de amig@s adolescentes, una pareja enamorada, unos abuelos con sus nietos... y a veces se escuchan conversaciones curiosas o divertidas. no penséis que pongo antena, es que a veces están lo bastante cerca y hablan lo bastante alto como para que no puedas evitar oírles. ^_^

la que sí se entera de todo y es una espía en toda regla, es nuestra amiga jana. :O

cuando veo alguna escena inspiradora que luego recuerdo durante mucho tiempo, pienso que si no hubiera estado en ese momento y lugar, me lo habría perdido. es una cuestión de azar.

hace un par de meses me fijé en tres chicas jóvenes, de veintipocos años, que iban en el metro. una de ellas era la que más hablaba, y les iba contando a las otras dos que había pasado las paperas hacía poco tiempo. así se lo explicó señalándose la zona bajo la mandíbula: “se me formó un bulto que parecía una teta!”, y sus amigas rieron al unísono.

siguió contando que su enfermedad coincidió con las fiestas del barrio de hortaleza. “y las ganas de ir a esas fiestas no me las quitaba nadie!”, decía. tal vez se encontraba en la fase de mejoría en la cual los síntomas ya van remitiendo, porque las paperas son muy dolorosas. yo las tuve cuando era muy pequeño, pero aun así recuerdo lo mal que lo pasé.

cada distrito de madrid tiene sus fiestas. el distrito hortaleza -hacia el noreste de madrid, no confundir con la calle hortaleza que está en el centro-, es muy bonito y tranquilo. pasé por él cuando recorrí la larga calle lópez de hoyos, hace unos años.

tal vez esas amigas sigan siéndolo de adultas, y se alegren mucho al reencontrarse.

altavoces

anoche soñé que le estaba explicando a un alumno una cosa sobre límites de funciones. preferiría soñar con eugenia silva, pero bueno... el tema era que las funciones senoidales no tienen límite. vamos a hablar del seno, aunque para el caso valdría igual el coseno, ya que su carácter cíclico es el mismo.

el límite cuando x tiende a infinito (∞) de sen(x) no existe, ya que esta función está oscilando todo el tiempo entre -1 y 1, en períodos de longitud 2π (o 360º, si medimos el ángulo en grados en lugar de en radianes). por mucho que des valores muy altos a x, éste será sólo un ángulo, con muchas vueltas completas que no van a aportar nada, pero un ángulo al fin y al cabo. y el seno de ese ángulo estará entre -1 y 1, es decir, no existirá un valor límite al cual la función se acerque cada vez más.

la cosa cambia para el caso de la función sen(x)/x. el límite cuando x tiende a ∞ será 0, ya que esta vez el numerador será finito y el denominador infinito. poco importa que el seno tenga un valor indeterminado entre -1 y 1. como lo estamos dividiendo entre un número enorme, nuestra función va a tender a 0. este comportamiento se refleja en la gráfica, con una forma ondulada que se va ‘aplanando’ a medida que avanzamos.

el peor caso de todos es el de la función x·sen(x). cuando x tiende a ∞, estamos multiplicando un número muy grande por algo que está entre -1 y 1. por tanto, lo mismo nos puede salir algo pequeño o grande en valor absoluto, y de signo positivo o negativo. al multiplicar por x, estamos ‘amplificando’ progresivamente la gráfica de sen(x). las subidas y bajadas de la gráfica ondulatoria son cada vez más pronunciadas.

si se tratara de una onda sonora, tendría ese aspecto al ir subiendo paulatinamente el volumen. un megáfono sirve para amplificar el sonido. en la aventura stock de coque de tintín, el capitán haddock usa un megáfono para dedicar una retahíla de insultos a uno de los ‘malos’, que se encuentra a bordo de un barco que se aleja...

tríos

en mi promoción del colegio había tres amigos inseparables. me recordaban un poco a benito boniato y sus dos fieles amigos, luis y quintalón. de hecho, se parecían un poco físicamente a estos personajes de comic, ya que uno era rubio, otro moreno y flacucho, y el otro moreno y un poco más rellenito.

esos compañeros míos, de carácter se podría decir que eran un poco macarras, pero pacíficos. hablaban con un marcado acento chulapo, llevaban chupas vaqueras y el pelo un poco largo, todo lo largo que se permitía en mi colegio. iban a su bola y no se metían con nadie. la mayor infracción que cometían era fumar en el cuarto de baño. el rubio y el moreno gordito sacaban unas notas aceptables, el otro iba un poco más flojo.

cuando veía grupos tan pequeños y cerrados en el cole o en la uni, me preguntaba cómo no se cansaban de verse las caras todos los días. hay que variar un poco de gente con la que hablar. :)

en los comics, otro trío interesante es el de juan lópez (superlópez en su faceta de hombre corriente) y sus compañeros de trabajo luisa y jaime. luisa tiene una relación sentimental llena de altibajos con juan. en cuanto a jaime, al principio le tiene mucha manía a juan, pero luego se hacen amigos.

musicalmente hablando, los tríos suelen funcionar bien. por ejemplo, mecano era un trío. ana torroja solía hacer de mediadora entre los hermanos jose maría y nacho cano, quienes tenían muy diferentes caracteres y maneras de componer canciones. esta rivalidad, creativamente fue buena para el grupo. ana tal vez tenía más afinidad con el menor de los hermanos, nacho, y eso que fue con el otro con quien estuvo saliendo antes de formarse la banda...

police era otro trío. en este caso los problemas surgieron porque sting -voz y bajo- dominaba el grupo, y se resistía a cantar los temas que componían sus compañeros stewart copeland -batería- y andy summers -guitarra-. y a ver, algo de razón tenía sting, porque sus canciones eran las mejores. las de copeland y summers eran un poco flojas, sobre todo al principio, luego mejoraron.

genesis fueron un trío desde 1978 hasta 1993, más o menos. al principio eran cinco: peter gabriel -voz-, tony banks -teclados-, mike rutherford -bajo-, steve hackett -guitarra- y phil collins -batería-. primero dejó el grupo peter gabriel, y phil collins le sustituyó como cantante. y después se fue steve hackett, con lo cual sólo quedaron tres. pero con esa formación consiguieron sus mayores éxitos. phil era el bromista, tony el serio, y mike estaba a medio camino.

en definitiva, los tríos son habituales en diversos ámbitos, y resulta interesante analizar los roles que adoptan cada uno de sus integrantes. eso sí, otra cosa muy distinta son los triángulos amorosos, como el de esther, juanito y rita. ;)