octaedro

el octaedro es un poliedro regular formado por ocho caras triangulares. de los cinco posibles poliedros regulares, es posiblemente mi favorito. no es ni tan simple como la pirámide y el cubo, ni tan complejo como el dodecaedro y el icosaedro.

he dibujado un octaedro con una perspectiva que quizá no era la mejor. casi me han salido más logrados los que he dibujado a mano alzada para ilustrar los cálculos que veréis en breve...

el área exterior de un octaedro se calcularía de la siguiente manera. sus caras son 8 triángulos equiláteros cuyo lado es la arista, a la que llamamos a. el área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su altura. la altura h la hallamos por pitágoras: será el cateto menor de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es a y cuyo cateto menor es a/2.

el área de la cara triangular será (√3/4)·a². por tanto, el área total será esa expresión multiplicada por las 8 caras del octaedro: 2·√3·a².

para calcular el volumen, hay que tener en cuenta que un octaedro son dos pirámides de base cuadrada yuxtapuestas. el volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de su base por su altura. pero cuidado, en este caso hablamos de la altura de la pirámide, que no es lo mismo que la altura de sus caras triangulares. para diferenciarla, la vamos a llamar H mayúscula.

la altura de la pirámide la calcularemos usando de nuevo el teorema de pitágoras. H será el cateto mayor de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es (√3·2)·a -la altura h minúscula de la cara triangular que hemos calculado antes-, y cuyo cateto menor es a/2.

el volumen de la pirámide será (√2/6)·a³, y ya sólo nos queda multiplicar por 2. por tanto, el volumen del octaedro será (√2/3)·a³.

para darle a esta entrada un toque más artístico, más de manualidades, se me ocurrió que podría construir un octaedro en cartulina. para ello, primero hay que trazar su desarrollo plano.

después se recorta y se dobla por las líneas rectas que marcan las aristas. a continuación, se pone pegamento sobre las solapas que sirven para unir dos caras contiguas... y si lo hacéis, veréis qué fácilmente encajan unas con otras. si hasta a mí me ha salido, es que es fácil. ;)

por último, os dejo con un breve vídeo que grabé anoche, tan contento como estaba yo con mi octaedro de color rosa. ^_^

por la orilla

hace unos meses, álter y yo fuimos a una quedada organizada por naar en la zona de puerta del ángel, en madrid. como llegué pronto y me sobró mucho tiempo, me di una vuelta por el paseo de extremadura hasta llegar al río manzanares. me gustó lo que vi, y se me ocurrió que en algún momento podría hacer un recorrido por allí a la luz del día. en aquella ocasión lo vi de noche...

el puente de segovia cruza el manzanares, quedando al lado desde donde yo estoy el distrito latina, y al otro lado el distrito centro. al fondo, en la parte izquierda de la foto, se ven el palacio real y la catedral de la almudena.

vamos a caminar un rato por la orilla del río hacia el sur. esta parte se nota que es moderna, la han pavimentado hace poco...

de vez en cuando vemos una presa para canalizar el agua, y de paso un puente para peatones.

este puente parece una jaula. el tema de las estructuras metálicas y las fuerzas en cada barra y cada nudo, recuerdo que me parecía complicado.

a partir de aquí el suelo es terroso, más como yo recordaba los paseos por la orilla del manzanares que di con mis padres de pequeño en alguna ocasión...

el puente de san isidro, esta vez para vehículos. se agradece un poco de sombra después de llevar un rato paseando a pleno sol.

el estadio vicente calderón.

otra presa...

con tanto sol, las sombras son muy marcadas. se me ve el pie derecho con la chancla, me di cuenta cuando pasé la foto al ordenador. :)

debajo de este otro puente han puesto unos columpios. ^_^

un puente muy ancho para peatones y bicicletas, con su carril correspondiente.

nos acercamos al puente de toledo, que casualmente es donde concluía otro recorrido que hice años atrás, también en verano. en aquella ocasión lo crucé por encima...

en el lado donde estoy yo empieza el distrito carabanchel, y al otro lado acaba el distrito arganzuela. algún día recorreré la calle principal de carabanchel, general ricardos.

ya ha sido bastante paseo por hoy, con el calor que hace. bajo la sombra del puente, pienso si me viene mejor para volver a casa el metro pirámides o el metro marqués de vadillo. aunque me doy cuenta rápido de que la cosa está clara: mejor marqués de vadillo, que está en el lado del río donde estoy ahora. de la otra manera tendría que cruzarlo...

espero que os haya gustado este paseo. si alguien quiere que quedemos en esos columpios de los que hablaba en una de las fotos anteriores, que me lo diga. :D

decisiones

johan y pirluit es un comic ambientado en la edad media del dibujante belga peyo, el creador de los pitufos. en su aventura ‘la fuente de los dioses’ deben seguir el curso de un río para hallar aquello que buscan, pero se encuentran con una bifurcación, lo cual les hace dudar por cuál de los dos afluentes deben continuar.

siempre me gustó esa escena del río. es una metáfora de cómo en nuestra vida se nos presentan situaciones en las cuales debemos tomar una decisión. como durante este curso he tenido que explicar a varios alumn@s esos problemas de probabilidad que se resuelven mediante un árbol de sucesos, he pensado que se podían relacionar con lo del río que se ramifica en diversos afluentes...

hace meses resolví en este blog un problema del examen de selectividad que me cayó a mí, en 1995. era un problema de matrices que no estaba en la opción que yo elegí. en esta ocasión, el problema de probabilidad que quiero resolver sí será de la opción que yo hice, lo cual se puede deducir fácilmente, ya que la hoja de enunciados está llena de anotaciones y operaciones en sucio hechas por mí en aquel lejano día...

era un problema de probabilidad de los que se resuelven con el ‘arbolito’, relativamente sencillo. se trata de una caja con bolas marcadas con números positivos y negativos, de la cual se extraen dos bolas sin reemplazamiento. las probabilidades de que el producto de sus números fuera positivo o negativo me salieron 2/5 y 3/5, respectivamente, tal como anoté junto al enunciado. parece un poco anti-intuitivo, dado que los números de bolas ‘positivas’ y ‘negativas’ es el mismo...

sin embargo, así es. la probabilidad de extraer una bola de un tipo determinado es igual al cociente de los casos favorables -número de bolas de ese tipo- entre los casos posibles -número total de bolas-. al extraerse las bolas sin reemplazamiento, hay que tener en cuenta que quedará una menos del tipo que has extraído, las mismas del otro tipo, y una menos del total.

el suceso ‘producto positivo’ se producirá cuando las dos bolas sean positivas o las dos negativas, y el suceso ‘producto negativo’ se dará cuando una bola sea positiva y la otra negativa o viceversa. las probabilidades correspondientes a la primera y segunda extracción se multiplican entre sí.

diría que lo he hecho bien, porque me sale el mismo resultado que me salió en su momento. sería mucha casualidad que hubiera cometido el mismo error en las dos ocasiones, separadas más de dos décadas en el tiempo. eso sí, tengo pendiente aprender a trazar bien los signos +, con las dos líneas centradas y perpendiculares entre sí. algún día lo conseguiré. :P

a veces deseamos volver a un determinado momento de nuestra vida en el que tomamos una decisión supuestamente mala, para tomar la correcta. pero la cosa no es tan sencilla, porque se nos volverían a presentar otras decisiones en las que de nuevo podríamos acertar o equivocarnos...

eso sí, adquirir y leer el libro de relatos y poemas de nuestra amiga bloguera auroratris, a quien tuve la suerte de conocer en persona hace unos años, seguro que ha sido una buena decisión. ^_^

pinchazos

el lunes pasado fui a hacerme un análisis de sangre. mi doctora ya me ha comentado los resultados, y en líneas generales todo está correcto.

me habían citado entre las 8:00 y 8:30 de la mañana. me duché y fui para allá sin comer nada, ya que eso debe hacerse en ayunas. llegué un poco antes de que abrieran el ambulatorio y ya había gente esperando.

había dos enfermeras sacando sangre, una más joven y otra más madurita. me tocó la segunda. ambas estaban bromeando todo el rato. una de dos, o se habían levantado de buen humor, o lo hacían para crear una atmósfera distendida. y es que ir a que te pinchen no es agradable. yo madrugué mucho para pasar el mal trago lo antes posible y marcharme.

el caso es que en un momento dado, la joven dijo algo así como “el movimiento se demuestra andando y el amor se demuestra compartiendo”, en tono de broma. entonces la otra enfermera, la que me estaba atendiendo a mí, respondió “huyy, qué cosa tan bonita has dichooo”. apenas noté el pinchazo y volví a casa de buen humor.

cuando estaba en egb, más de una vez tuvimos que pasar reconocimiento médico en el colegio, en plan medirnos, pesarnos, tomarnos el pulso... íbamos en grupos de cinco o seis, por orden alfabético de apellidos o algo así, supongo. el hombre que estaba en la enfermería era un poco chulillo, dicho sea sin acritud. ^_^ nos decía: “tenéis treinta segundos para quitaros la ropa!”.

en una de esas revisiones, no sé a cuento de qué, dijo textualmente “el que fue a sevilla perdió su silla, hay que estar al loro!”. y ahora me asombra recordarlo. dos expresiones coloquiales en una misma frase! si eso lo escucha alguien que no sea hispanohablante nativo y lo intenta traducir literalmente, se queda loco. ahora tengo de alumnas a dos hermanas portuguesas, de 16 y 14 años. a veces se me escapa alguna expresión que las desconcierta, y me preguntan qué significa.

los pinchazos para sacar sangre se olvidan pronto. en cambio, los ‘pinchazos’ en el corazón cuando uno está enamorado son más duraderos, para bien o para mal. ;)

amarillo

el amarillo es un color peculiar, independientemente de que a cada uno le guste más o menos. hay quien lo considera cálido, pero yo creo que no es ni cálido ni frío, es... otra cosa.

el color amarillo aparece frecuentemente en la naturaleza. por ejemplo, en los girasoles...

...como los que pintaba van gogh. aquí le vemos con su amigo y también pintor paul gauguin, siendo testigos superlópez y el malvado doctor escariano avieso, quienes viajan en el tiempo al siglo xix.

el maíz también es amarillo. aquí vemos a un pitufo transportando una mazorca de maíz, lo cual es un anacronismo, ya que los pitufos se supone que vivían en algún lugar de lo que hoy es bélgica en la edad media. y antes del descubrimiento de américa no se cultivaba maíz en europa...

también es amarillo el plátano, una fruta muy socorrida para llevarla en la mochila como merienda. arriba las manos! :O

el amarillo es un bonito color para algunos coches antiguos pequeños, como el citroën 2cv.

siempre me pareció curioso que el álbum de 1988 de la gran banda r.e.m. se titulara ‘green’ (verde), y que sin embargo la portada fuera predominantemente amarilla.

esta foto en la que llevaba un jersey amarillo (y os aseguro que no era yo el destinatario de la canción sufre mamón de hombres g) es de 1988, cuando estaba en 5º de egb.

hace pocos días me hice esta foto leyendo, con una camiseta también amarilla que me compré el verano pasado. tres décadas separan ambas fotos.

el tiempo pasa volando, como veis. hoy cumplo otro año más, y para celebrarlo esta vez he traído lacasitos para repartir. los tubos son amarillos, aunque los lacasitos que contienen son de diferentes colores. el estuche luego puede servir para guardar bolis o pinceles de maquillaje o lo que cada uno quiera.