raíz de 2

si preguntas cuál es la raíz cuadrada de 2, te pueden dar respuestas muy variadas.

1? no, porque 1 por 1 es 1. buscamos un número que multiplicado por sí mismo nos dé 2.

1,5? no, porque 1,5 por 1,5 es 2,25. se pasa.

el número que buscamos debe estar entre 1 y 1,5. haremos la media aritmética de esos dos valores -1,25- y probaremos a elevarla al cuadrado. como nos quedaremos cortos, haremos la media entre 1,25 y 1,5 y lo intentaremos de nuevo.

de ese modo, iremos acotando cada vez más la zona donde se encuentra la raíz de 2. cuando nos pasemos, haremos la media con el último valor con el que nos hayamos quedado cortos. análogamente, cuando nos quedemos cortos la media la haremos con el último valor con el que nos hayamos pasado.

1,5*1,5 = 2,25 ↑

(1+1,5)/2 = 1,25

1,25*1,25 = 1,5625 ↓

(1,25+1,5)/2 = 1,375

1,375*1,375 = 1,890625 ↓

(1,375+1,5)/2 = 1,4375

1,4375*1,4375 = 2,06640625 ↑

(1,375+1,4375)/2 = 1,40625

1,40625*1,40625 = 1,9775390625 ↓

(1,40625+1,4375)/2 = 1,421875

1,421875*1,421875 = 2,021728515625 ↑

(1,40625+1,421875)/2 = 1,4140625

1,4140625*1,4140625 = 1,99957275390625 ↓

como veis, con siete iteraciones hemos aproximado √2 hasta la milésima. aunque la manera tradicional de resolver raíces cuadradas es más rápida, siempre que nos acordemos de cómo se hacía...

la raíz de 2 es la diagonal de un cuadrado de lado unitario. de eso trataba uno de los textos de filosofía que teníamos que estudiar para selectividad. era un diálogo de sócrates en el cual el filósofo griego dibuja un cuadrado y le plantea una serie de preguntas a un criado, para que éste supuestamente deduzca cuánto mide la diagonal.

el razonamiento de sócrates, de manera resumida, se puede explicar así: el cuadrado ABCD está formado por cuatro cuadrados unitarios -de lado 1 m por ejemplo-, y por tanto su área será de 4 m². por otro lado, el cuadrado EFGH está formado por cuatro mitades de los cuadrados pequeños, y por tanto su área será 4*1/2 = 2 m².

si nos fijamos, los lados del cuadrado rosa EFGH son las diagonales de los cuadrados pequeños. y como el área es igual al lado elevado al cuadrado, si el área vale 2 querrá decir que el lado mide √2. por tanto, √2 es la diagonal de un cuadrado de lado 1.

sócrates pretende demostrar que el conocimiento se encuentra en el interior de cada persona, y que en realidad no aprendemos sino que recordamos. pero el buen hombre al que sócrates interroga no resuelve por sí solo el problema planteado, tan sólo asiente a todos los pasos que va dando el filósofo.

en cualquier caso, el método de formular preguntas a una persona para entresacar los conocimientos que tenía y de los que no era consciente, se denomina mayéutica. cuando mi profesor de filosofía de cou lo explicaba, me parecía que decía bayéutica con b. no sé si el problema estaba en mi oído o en la dicción de aquel profesor. o quizá estaba acatarrado...

autobuses

el autobús es un vehículo de transporte que nunca se queda obsoleto. siempre tiene su demanda, aunque puedan surgir otros medios de locomoción más modernos.

me he dado cuenta de que en los comics aparecen no pocas imágenes de autobuses. en general, su diseño no ha cambiado en exceso a lo largo de los años.

los autobuses ingleses tienen dos pisos. eso supone una capacidad para el doble de pasajeros. esther recuerda su primera cita con juanito al ver uno de esos autobuses.

eso sí, nunca os bajéis en marcha. eso son pequeñas locuras de la adolescencia. :)

en la aventura el sulfato atómico, mortadelo y filemón viajan en un autobús que necesita cierta renovación. al igual que la carretera por la que circulan.

al parecer, antes se entraba en los autobuses por detrás, donde se encontraba el cobrador. los hermanos zipi y zape interpretan de manera peculiar la indicación de pasar a la parte de delante.

en la primera viñeta de los cabecicubos de superlópez aparece este autobús lleno hasta los topes. algunas cosas no han cambiado desde hace tres décadas...

y en la aventura de tintín y los pícaros, el protagonista y sus amigos toman prestado un autocar para llegar al palacio presidencial de la ficticia república sudamericana de ‘san theodoro’.

los autobuses urbanos de madrid han sido rojos o azules por épocas. los interurbanos -para acceder a localidades que están fuera de madrid capital- son de color verde manzana, y los tengo asociados a mis mayores despistes. siempre que me monto en un bus de esos la lío parda.

también me viene a la memoria el autobús del colegio, en el que pasé momentos muy divertidos, y el ‘alsa’, para viajes y escapadas varias. también hay que mencionar los autobuses destinados a la noble causa de donar sangre.

usáis mucho el autobús para desplazaros? yo de vez en cuando, si tengo cierta prisa o si me encuentro demasiado cansado para ir andando...

medias lunas

dos líneas trazadas desde un punto cualquiera de una circunferencia hasta los extremos de uno de sus diámetros, se puede demostrar que son perpendiculares entre sí. es decir, se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son esas líneas, y cuya hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.

si trazamos dos semicircunferencias tomando como diámetros los catetos, se formarán sendas figuras en forma de media luna, que en el dibujo las hemos sombreado en verde.

su área conjunta será la diferencia entre las áreas de los semicírculos trazados sobre los catetos y las áreas de los segmentos circulares -sombreados en amarillo-.

para calcular las áreas de los semicírculos, necesitamos conocer sus radios. los expresaremos en función del radio original R y de las razones trigonométricas del ángulo menor α de nuestro triángulo rectángulo.

y conociendo los radios, obtenemos el área conjunta de los semicírculos.

ahora toca calcular el área de los dos segmentos circulares. la hallaremos de nuevo como una diferencia de áreas: la del semicírculo original menos la del triángulo rectángulo.

el área del triángulo la expresaremos en función de R y del seno y coseno de α. una vez hecho eso, sustituimos en la expresión anterior.

decíamos al principio que el área de las medias lunas era la diferencia entre el área de los semicírculos y el área de los segmentos circulares. ya conocemos ambas cosas, y por tanto sólo queda operar.

el área conjunta de las medias lunas, por tanto, sólo depende del radio R y del ángulo α. no aparece para nada el número π. resulta muy curioso que la suma de áreas de dos figuras limitadas por arcos de circunferencia no dependa de π, si lo pensáis.

y a todo esto, siempre que hablo sobre lunas o medias lunas, utilizo viñetas de la historieta corta los pitufos vivían en paz. a ver si varío un poco. :P

gente que mola

una vez, entrando en el comedor del colegio, le comenté a un amigo que me encontraba mal. me oyó un profesor que estaba allí y que además no era cualquiera, era uno de los directores del colegio. y me dijo “tú come sólo si te apetece y crees que te va a sentar bien!”. me gustó el detalle de que se preocupara por mí sin conocerme. podía haber pasado del tema...

años más tarde, en cou, me dio dibujo técnico. como empecé un trimestre más tarde porque elegí la biología como optativa y luego me arrepentí, se me planteaban varios problemas, uno de ellos conseguir el libro de la asignatura. se ofreció a dejarme el suyo, pero entonces, con qué se iba a guiar él para dar la clase? al final lo pude encontrar en una librería. y por cierto, ese libro lo escribió él.

ese profesor molaba. hay gente que mola. como el abuelo de esther, que en un baile con parejas asignadas al azar, da el cambiazo a las tarjetas para que esther pueda bailar con juanito. ^_^

tuve una compañera de trabajo que me dejó muy buen recuerdo, a pesar de que la conocí mucho más fugazmente que a mi profesor de dibujo -a quien tuve dos o tres horas por semana durante varios meses-.

a esa chica, un día la llamé por teléfono para preguntarle por un tema del cual me habían dicho que ella sabía. estuvo muy amable y además me pareció muy ingeniosa por la solución que me dio. tenía voz de niña, y sin embargo en la intranet no figuraba como becaria. y como no tenía foto de perfil, no podía ponerle cara.

meses más tarde, tuve que volver a pedirle ayuda. pero en esa ocasión fui directamente a su despacho. era mayor de lo que yo me había imaginado. bueno, mayor bajo mi percepción por aquel entonces, claro. me habían mandado hacer una solicitud de compra para un tema que llevaba ella, y cuando se lo planteé me dijo: “vale, pues cómo quieres que lo hagamos? me la envías y la hago yo, la hacemos juntos desde aquí...?”. tanta generosidad con su tiempo me sorprendió agradablemente.

en definitiva, me gusta la gente que ayuda y además lo hace con naturalidad, sin creerse que te están haciendo el favor de su vida. habéis tenido alguna experiencia similar?

manzanas

en los ejercicios de polinomios, cuando hay que agrupar términos con una misma parte literal, a mis alumnos siempre les digo que son manzanas. su coeficiente numérico indica el número de manzanas. por omisión, se supone que el coeficiente es 1.

por ejemplo:

x+2x = 3x. una manzana más dos manzanas igual a tres manzanas.

4x–3x = x. cuatro manzanas menos tres manzanas igual a una manzana.

y cuando en un polinomio hay términos de diferentes grados (x, x², x³...), les digo que son manzanas, peras, naranjas... todas las frutas que sean necesarias. sólo se pueden sumar o restar manzanas con manzanas, peras con peras... no se pueden mezclar.

un término de un polinomio puede tener coeficiente fraccionario. eso no es problema, puesto que las manzanas se pueden dividir. con un cuchillo puedes cortar media manzana, un cuarto de manzana... por cierto, la manzana que usé para la foto me la comí luego, no iba a dejarla ahí después de haberla partido.

el resultado de la suma o resta de manzanas puede ser positivo -añades manzanas al frutero-, o negativo -quitas manzanas del frutero-. es decir, el incremento de manzanas, en términos relativos, puede ser positivo o negativo. lo que no puede existir, en términos absolutos, son ‘manzanas negativas’.

una manzana negativa es un concepto inconcebible en la realidad. si en un frutero hubiera una manzana negativa, significaría que al añadir una manzana positiva se anularía instantáneamente con la negativa, y el frutero quedaría ‘a cero’, ya listo para poder albergar en su interior nuevas manzanas.

tal vez podríamos considerar que las manzanas negativas son manzanas de antimateria. ‘antimanzanas’, podríamos decir. la antimateria está formada por partículas similares a los átomos, pero con las cargas eléctricas invertidas. recordemos que un átomo de materia contiene protones -con carga positiva- en el núcleo, y electrones -con carga negativa- orbitando alrededor. pues bien, en un átomo de antimateria el núcleo contiene antiprotones -con carga negativa-, y las partículas que orbitan alrededor son positrones -con carga positiva-.

pero el concepto de ‘antimanzana’ es inviable. al entrar en contacto con una manzana se aniquilarían mutuamente, produciéndose una explosión nuclear con nube de hongo. o mejor dicho, esa explosión se produciría al entrar en contacto con cualquier objeto. ni siquiera podríamos tener ‘antimanzanas’ en un frutero.

en cualquier caso, es poco recomendable pedir ‘manzanas negativas’ o ‘antimanzanas’ en una frutería. es posible que llamen a los loqueros, como en los tebeos de mortadelo y filemón.