infinitos

he de reconocer que la chispa que despertó mi afición por las matemáticas no fue otra cosa que un ejercicio mal planteado que nos mandó hacer para casa el profesor en 7º de egb.

para entender qué problema había, qué pasaba con aquel ejercicio, antes vamos a repasar algunos conceptos...

para resolver una ecuación de primer grado, hay que separar los términos multiplicados por la incógnita x y los términos independientes. para ello, se pasan los ‘términos en x’ a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro.

cuando pasamos cualquier término al otro lado de la igualdad, le cambiamos el signo: si estaba sumando, lo pasamos restando; y si estaba restando, lo pasamos sumando.

aquí tenéis un ejemplo que me he inventado sobre la marcha. es un ejercicio didáctico para que se vea claro cómo se ponen juntos los términos en x a un lado y los términos independientes a otro, y cómo se despeja la incógnita.


al final queda una igualdad de la siguiente forma: una cantidad multiplicada por la incógnita x es igual a otra cantidad. se despeja x dividiendo el término independiente del lado derecho de la igualdad entre la cantidad que multiplica a x.

ahora ya puedo hablaros de aquel ejercicio mal planteado. se trataba de una ecuación de primer grado cuya resolución conducía al siguiente resultado: x era igual a 1 dividido entre 0 (1/0). a todos los que la hicimos bien nos desconcertó, pues nunca se nos había presentado el caso de dividir entre 0.

cómo puede ser que una ecuación de primer grado lleve a una división entre 0? pues bien, eso sucede cuando, tras juntar los términos en x y los términos independientes a uno y otro lado de la ecuación, la suma de los coeficientes que multiplican a x es 0, mientras que la suma de términos independientes es un número distinto de 0.

he preparado un ejemplo de ecuación en la que se obtiene al final la igualdad 0·x=1, de donde falsamente se deduce, despejando como se hace normalmente, que x es igual a 1/0. la idea sería la misma si en lugar de 1 fuera cualquier otro número dividido entre 0 (menos el propio 0, el caso 0/0 es diferente y lo veremos después).

dividir un número entre 0 es algo que desafía a la razón. 1/0 es la solución de una ecuación de la forma 0·x=1, como hemos dicho. pero eso es imposible, porque cualquier número multiplicado por 0 da como resultado 0. de hecho, esa ecuación lo que nos estaría diciendo es que 0 es igual a 1. es una contradicción.

y qué ocurre si no sólo son los coeficientes en x los que suman 0, sino también los términos independientes? he preparado un nuevo ejemplo en el que se da este caso. la ecuación, separando los términos en x y los términos independientes, nos conduce a la igualdad 0·x=0.

despejando de la forma habitual, diríamos que x es igual a 0/0. alguien podría decir que esta fracción equivale a 0, pues si el numerador es 0, da igual cuál sea el denominador. pero eso no es así. 0/0 es una indeterminación, puede tomar cualquier valor. porque 0/0 es la solución de la ecuación 0·x=0. cuál es el número que multiplicado por 0 da 0? cualquiera, hay infinitas soluciones. de hecho, esa igualdad equivale a decir que 0 es igual a 0, lo cual es totalmente cierto, pero no nos aporta nada nuevo.

estos casos límite en las ecuaciones me hacen recordar ciertos conceptos filosóficos. la ecuación que aparentemente da como resultado x=0/0 es una tautología, algo que a priori siempre es verdadero. por otro lado, la ecuación de la que aparentemente se obtiene x=1/0 es una contradicción, nunca se puede cumplir. como habría dicho wittgenstein, la primera corresponde a cualquier estado de cosas, y la segunda no corresponde a ningún estado de cosas.

se dice que 1/0 (el numerador puede ser 1 o cualquier otro número distinto de 0) es infinito. en sentido estricto, eso es incorrecto: 1/0 no es nada, es un sinsentido. ahora bien, otra cosa es dividir 1 entre un número que se aproxime a 0. cuanto más pequeño sea el denominador de una fracción, mayor se hará el cociente. en la siguiente tabla se muestra el valor que va tomando el resultado de dividir 1 entre valores cada vez más pequeños.

x----------------1/x
1..................1
0.1...............10
0.01.............100
0.001..........1,000
0.0001........10,000
0.00001......100,000
0.000001...1,000,000

como el valor de la fracción aumenta cuando el numerador se mantiene y el denominador se va aproximando a 0, uno se siente tentado de decir que cuando el denominador llega a ser 0, el resultado de la división es infinito. podemos decirlo de manera ‘informal’, para entendernos, pero siempre teniendo presente que el infinito no es un número y por tanto no se puede tratar como tal.

si se representa la función y=1/x, es fácil observar que en x=0 diverge totalmente. es más: así como para valores de x cercanos a 0 y positivos la función tiende a infinito, para valores próximos a 0 y negativos, la función tiende al infinito con signo negativo, ‘menos infinito’, para entendernos. pero, para las cosas que estoy contando en esta entrada, prefiero centrarme en los infinitos positivos.

en esta gráfica he representado la función 1/x en un entorno relativamente cercano a 0, al origen de coordenadas. pero ya es suficiente para observar la divergencia cuando x se acerca a 0.

el hecho de que 1/0 represente una idea parecida a la del infinito explica la ecuación contradictoria que se obtenía: 0·x=1. cualquier número, por grande que sea, si se multiplica por 0 se obtiene como resultado 0. pero el infinito, de existir tal concepto, sería algo tan grande y tan inconmensurable que al multiplicarlo por 0 todavía quedaría una cantidad distinta de 0.

hay otra manera de verlo: imaginemos, por ejemplo, el número de moléculas de agua (numerador) en un determinado volumen de agua (denominador). si tomamos un volumen visible a nivel macroscópico, habrá miles de millones de moléculas. a medida que disminuimos el volumen que tomamos como muestra, habrá menos moléculas, aunque seguirá habiendo muchas. si llegamos a un nivel microscópico, el número de moléculas ya empezará a ser un poco más concebible para nuestra mente. y si reducimos tanto el volumen de la muestra que lo hacemos 0, cuántas moléculas habrá? pues habrá 0 moléculas. por muy grande que sea la densidad de moléculas por volumen, en un espacio nulo no habrá ninguna.

la fracción 1/0 nos estaría diciendo, siguiendo con el mismo ejemplo, que para un volumen nulo hay una molécula, lo cual es imposible y carece de sentido en la realidad. el infinito, de existir, sería algo tan grande que aunque se redujera al mínimo la extensión en la que se está repartiendo, seguiría quedando cierta cantidad distinta de 0 para esa extensión nula.

y este mismo ejemplo, ya puestos, también sirve para mostrar el carácter indeterminado de la fracción 0/0. en un volumen 0 hay 0 moléculas. eso es una obviedad que siempre se cumple y no nos da ninguna información sobre la densidad de moléculas por volumen, en este caso. ya sabemos todos que en ‘la nada’ no hay nada.

en fin, a estas cosas les daba vueltas y más vueltas cuando tenía 13-14 años. siempre me han gustado los casos límite, en todo. :D a veces un caso límite es lo que despierta curiosidad por un tema...

cuentos

23.11.2008

entre los primeros cuentos que recuerdo haber leído cuando era pequeño están los de esta colección llamada ‘animales juguetones’, que tenía cuatro títulos: los tres perritos, los tres gatitos, los tres ositos y los tres cerditos. todavía los conservo, aunque algo estropeados.

el año pasado encontré en la cuesta de moyano de madrid una edición encuadernada de los cuatro cuentos, en buen estado y muy barata. no dudé en hacerme con ella, aunque ya los tuviera por separado. me hizo mucha ilusión. además pude confirmar que eran sólo cuatro y no había más, que siempre había tenido esa duda.

los tres cerditos es el cuento clásico que todos conocemos del cerdito que construye una casa de paja y se la derriba fácilmente el lobo. lo mismo sucede cuando otro de los cerditos construye una casa de madera. y por fin, llega el más listo de los tres y construye una casa de ladrillos contra la que nada puede hacer el lobo. a diferencia de otras versiones del cuento, en ésta los cerditos de la casa de paja y la casa de madera logran huir del lobo, y cuando la casa de ladrillos está construida, los tres se refugian allí.

los tres ositos trata de una familia de osos formada por el padre, la madre y el niño. un día se van al bosque de excursión, y en su ausencia, una niña descubre casualmente su casa y entra en ella. tras causar varios estropicios que afectarán especialmente al osito pequeño, se tumba a dormir en la cama de éste. cuando regresan, los osos la expulsan de allí muy enfadados. siempre me ha dado pena la pobre niña. ;)

los tres gatitos trata de tres hermanos, dos gatos y una gata, a los que su madre les ha regalado unos guantes. cuando los manchan les hace lavarlos y tenderlos a secar. como veis, tiene su mensaje educativo para los niños. ;) al perderlos en el bosque jugando, les manda volver a por ellos. al regresar con los guantes, les premia con una tarta. es muy infantil, pero a mí me sigue gustando.

los tres perritos trata de tres cachorros hermanos que se dedican a explorar diferentes lugares: el bosque, el río... y un buen día descubren un circo. se acercan allí y cuando se quien dar cuenta se han convertido en artistas de ese circo. “en la vida hay que amoldarse a todo!”, dicen en el cuento. se divierten, pero acaban agotados y en la última ilustración aparecen dormidos.

como decía antes, los tres cerditos es un cuento clásico conocido por todos. los tres ositos, por otro lado, tal vez no sea tan conocido, pero alguna vez lo he visto en otras versiones. sin embargo los otros dos, los tres perritos y los tres gatitos, nunca los he visto en ninguna otra versión que no sea la de esta serie de cuentos de animales. tal vez se escribieron por primera vez para la ocasión.

ésta es la entrada más infantil que he escrito hasta ahora, pero es que estos cuentos me traen muy buenos recuerdos. con ellos aprendí a leer! :D

estrella de david

hace poco escribí una entrada sobre la historia de israel. hubo quien pensó, al ver el dibujo que utilicé para ilustrarla, que se trataba de un análisis geométrico de la estrella de david. ;) no era ése el tema en aquella ocasión, pero me disteis una gran idea, de la que tomé buena nota. :D

dibujar una estrella judía es relativamente sencillo. en primer lugar, trazamos una circunferencia, más o menos grande según el tamaño que queramos que tenga nuestra estrella: [1]

a continuación, con el mismo radio de la circunferencia, pinchamos el compás en un punto de la misma -preferiblemente en el punto más alto para que la estrella quede en la posición en la que estamos acostumbrados a verla-, y desde ahí trazamos un pequeño arco que corte a la propia circunferencia: [2].

desde el punto de corte con el arco que acabamos de trazar, pinchamos y trazamos un nuevo arco que cortará en otro punto a la circunferencia: [3]. repetimos el proceso de forma análoga, hasta dividir la circunferencia en 6 partes iguales: [4], [5] y [6].

se trata del mismo procedimiento que utilizábamos para trazar un hexágono regular, que está explicado en la entrada sobre los polígonos.

nos fijamos en los puntos que dividen la circunferencia en 6 partes. desde un punto cualquiera, trazamos una línea recta que lo una, no con el que tiene justo al lado, sino con el siguiente: [7]. da igual por cuál de los puntos empecemos y hacia qué lado tracemos la línea, pero ésta debe unir dos vértices no consecutivos, dejando uno entre medias.

desde uno cualquiera de los extremos de la línea que acabamos de marcar, trazamos otra línea que, nuevamente, se salte un vértice y pase al siguiente: [8]. hemos trazado dos líneas que son como dos lados de un triángulo equilátero. unimos sus extremos cerrando el triángulo: [9]. y nuevamente habremos dejado un vértice entre medias.

tres de los puntos que dividen la circunferencia en 6 partes son ahora vértices de un triángulo equilátero. han quedado tres vértices ‘libres’. desde uno cualquiera de ellos trazamos una nueva línea que lo una con el siguiente ‘libre’: [10]. habrá quedado entre medias uno de los vértices del triángulo que ya está trazado.

desde uno de los extremos de la última línea, trazamos otra línea que lo una con el siguiente vértice ‘libre’: [11]. igual que en el caso anterior, tenemos dos lados de un triángulo equilátero, y sólo falta trazar el tercero y cerrarlo: [12].

esta construcción es más sencilla de entender intuitivamente que de explicar. si vierais a alguien dibujando una estrella hexagonal de estas, seguro que lo entenderíais a la primera. pero bueno, espero que esta explicación os haya servido de ayuda si alguna vez queréis relajaros dibujando estrellas. ;)

cuestionarios de personalidad

15.09.2008

como sé que a varias de vosotras os gustan estas cosas, he buscado en un libro de tests de personalidad que tengo algún test que sea interesante y entretenido de hacer. el libro se titula cuestionarios sobre ti. la autora es paz torrabadella, y la editorial, océano ámbar.

he encontrado uno muy curioso propuesto por el psicólogo americano george a. kelly, del cual he hecho una versión simplificada.

es bastante sencillo. en primer lugar, escribes en columna los nombres de las siguientes personas:
- tú mismo.
- tu mejor amigo/a.
- el mejor jefe o profesor que has tenido.
- tu mejor compañero de trabajo o de colegio/universidad.
- tu yo ideal.
- la pareja a la que más crees haber amado.
- tu padre.
- tu madre.
- la persona que más antipática te resulta.
- tu peor jefe o profesor.

hecho esto, escribes en otra columna, al lado del nombre de cada una de estas personas, el rasgo que más les caracteriza.

a continuación, al lado de la palabra que mejor define a cada persona de tu lista, escribes en una nueva columna otra palabra que indique la cualidad contraria. por ejemplo, si a alguien le has definido como ‘simpático’ debes poner al lado lo contrario, ‘antipático’.

y ahora viene la explicación...

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al definir con una palabra a esas personas que han sido importantes en tu vida, y añadir el rasgo opuesto, inconscientemente has hecho una lista de rasgos bipolares (‘introvertido-extrovertido’, ‘activo-pasivo’,...) que para ti son importantes. la idea de quien propuso este test es que la manera que tenemos de ver a los demás es afín a la manera que tenemos de ver la vida, y por tanto, habla de nosotros mismos. sin darte cuenta, has explicado qué es lo que ha sido importante para ti en tu relación con otras personas, para bien o para mal.

para las personas a las que aprecias, en la primera columna se encuentran los valores que consideras importantes en tu vida, es decir, las cualidades que quieres desarrollar. en la segunda columna, los fallos que rechazas y quieres evitar, o dicho de otro modo, los rasgos que menos te gustan de ti mismo.

para las personas de las que tienes un mal concepto, funciona a la inversa. en la primera columna están los rasgos que rechazas, pero que no obstante pueden aparecer en ti alguna vez, aunque a ti te cueste verlo. en la segunda columna, a la inversa que en el caso anterior, están los valores a los que aspiras.

en resumen, este test habla de uno mismo. en el fondo, vemos a los demás como nosotros mismos queremos ser -en el caso de las personas que nos gustan-, o como tememos ser -en el caso de las personas que no nos gustan-.

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01.11.2008

he encontrado otro test que puede dar juego en el libro cuestionarios sobre ti de paz torrabadella que ya mencioné en otra entrada anterior.

es un test muy sencillo que sirve para medir la fluidez creativa. además de eso, tiene interés porque hay varias preguntas que hacen referencia a uno mismo. y el hecho de que el tiempo sea limitado y haya que responder lo más rápido posible hace que tenga más valor, pues nuestras respuestas serán más espontáneas y sinceras al tener que decir lo primero que pensamos.

en un tiempo de tres minutos, hay que responder por escrito a las siguientes preguntas, en el orden que se quiera. no te quedes atascado en una pregunta; si no se te ocurre nada que poner, pasa a la siguiente.

1. cita el máximo número de cosas que se te ocurran que sirvan como herramienta para el dibujo.
2. enumera cosas que te diferencian del resto de las personas.
3. has pensado para qué puede servir una lata vacía? enumera cuantos usos se te ocurran.
4. cita cosas y costumbres que promuevan la paz con uno mismo.
5. anota palabras acabadas en ‘-az’.
6. aporta razones por las que resulta conveniente conocerse a uno mismo.
7. enumera motes por los que reconocerías bien que alguien se refiere a ti.

y ahora os digo la manera de puntuarlo y la explicación...

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la puntuación se obtiene de manera muy simple: suma un punto por cada respuesta que hayas dado. el baremo de fluidez creativa sería algo así: (no hay que olvidar que esto es algo orientativo)

entre 0 y 14: fluidez deficiente
entre 15 y 20: fluidez baja
entre 21 y 24: fluidez suficiente
entre 25 y 38: buena fluidez
entre 29 y 32: muy buena fluidez
entre 33 y 36: fluidez notable
más de 36: fluidez sobresaliente

el intervalo de buena fluidez creativa es el más amplio. tal vez estas puntuaciones se hayan obtenido según la campana de gauss, y entre 25 y 38 respuestas es donde esté la mayoría.

he transcrito las preguntas tal como están en el libro, sin cambiar nada. la verdad es que la última no la entiendo muy bien, aunque es posible que a mucha gente no le dé tiempo a llegar a esa pregunta antes de que acabe el tiempo. quizá sea una pregunta "para sacar nota", y por eso es algo rebuscada.

también me parece curioso que en el test se alternan preguntas muy personales, y que hablan mucho de la persona que lo está realizando, con preguntas inocuas como la de las utilidades que se le pueden dar a una lata vacía. probablemente esté hecho así intencionadamente por algún motivo. por eso digo que este test da para pensar...

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la última vez que hice yo mismo estos tests fue un año largo antes de publicar en mi antiguo blog las entradas que acabáis de leer, es decir, en 2007. los he vuelto a hacer, pues ha pasado bastante tiempo para que haya diferencias significativas en los resultados.

en el primero, en general he pensado en personas distintas de la otra vez. supongo que significará que dependiendo de la época se valoran más -para bien o para mal- unos u otros rasgos de la personalidad.

en el segundo, la otra vez tuve una discreta puntuación de 22, y ahora peor todavía: he tenido sólo 18. :S aunque debo decir que he elegido una mala estrategia, que es ir pensando “ésta es difícil, la dejo para después”, “ésta también la dejo para después”,... porque así van transcurriendo segundos en los que no escribes nada.

espero que os hayan gustado estos cuestionarios. :)