inspiración

el lunes de esta semana que ya está acabando quedé con mi amiga rosana. ya lo hicimos el verano anterior y lo pasamos muy bien, por lo que decidimos repetir experiencia.

rosana y su simpático marido, siempre con su pequeña hija -dadle muchos mimos y que se cure pronto de la lesión, por cierto!-, me llevaron a algunos bellos lugares cercanos a la capital que no recordaba haber visto antes.

estuvimos, entre otros sitios, en la playa de liencres y en las proximidades de la ría de mogro. se trata de paisajes realmente bonitos que no deslucen a pesar de que el día estuviera nublado.

lo pasé muy bien. gracias por la excursión, y también por los regalitos!! ya he leído entero el libro de nieves concostrina. lo que más me ha gustado son los comentarios que hace ella. tengo que investigar más sobre esta periodista.

el año pasado el lugar elegido para quedar fue el parque de las llamas. me gustó mucho también, y llevaba tiempo pensando en ir allí por mi cuenta y sacar algunas fotos. ayer por la mañana llevé a cabo esa idea.

el peculiar edificio de estructura externa metálica que veis en las fotos es el palacio de deportes. en el parque de las llamas hay un gran estanque, y hacia el interior otro más ‘salvaje’ por decirlo de alguna manera, con una abundante población de patos que me hacen recordar a esther. ;)

para completar esta entrada, os hablaré de un monumento situado en los jardines de piquío, del cual me hizo saber también rosana hace unos meses. me propuse verlo sobre el terreno cuando viniera a santander.

se trata de una bola del mundo llamada tierra paralela. por qué ‘paralela’? porque su eje norte-sur coincide en su inclinación con el verdadero eje norte-sur de la tierra. como consecuencia, el lugar donde nos encontramos, que es españa, se encuentra en el punto más alto de la esfera.

la consecuencia que esto tiene es que la posición real del sol respecto a nuestra localización geográfica queda reflejada en la exposición al sol de la península ibérica representada en la bola del mundo.

a la hora del día en que la luz del sol es máxima, el sol incide perpendicularmente al plano del lugar donde estamos. en la bola del mundo esto se reflejará en que la parte más iluminada será la península porque todo el sol estará pegando justo ahí.

por el contrario, cuando se esté fuera de la hora de máxima luz del sol, por exceso o por defecto, serán otros lugares de la bola del mundo los que reciban la máxima iluminación, los que más brillen. esta tierra paralela tiene la propiedad de reflejar la posición del sol en cada lugar del mundo y en cada momento.

el viernes, desde la playa de la magdalena fui caminando hasta los jardines de piquío, hice un par de fotos a la bola del mundo y me volví a la magdalena. una caminata considerable, por cierto. :P

eran aproximadamente las cinco de la tarde, así que nuestra península estaba recibiendo bastante luz, aunque no tanta como el áfrica tropical.

gracias, rosana, por darme esta idea también!! :)

círculos concéntricos

se dice que dos o más círculos son concéntricos cuando tienen el mismo centro, se encuentran en el mismo plano, y tan sólo se diferencian en su radio.

una diana es un clásico ejemplo de disposición en círculos concéntricos. alrededor de su centro se van formando círculos cada vez más grandes, de mayor radio.


cuando se lanza una piedra al agua, se forman olas que se asemejan a círculos concéntricos. yo mismo he hecho la prueba y he sacado la foto rápidamente. :P

en la vista frontal de una rueda, o de cualquier objeto similar como un flotador o un salvavidas, hay por lo menos dos círculos concéntricos.

hoy la marea estaba muy baja en la playa de la magdalena. al llegar al final y fijarme en el muro que separa esta playa de la de los bikinis, se me ha ocurrido hacer unas fotos a una de las perforaciones del muro, que permiten el paso del agua de un lado a otro cuando la marea está alta. se ve el paisaje que hay al otro lado como si fuera el ojo de buey de un barco.

suponiendo que estas fotos estuvieran bien hechas... ;) si se imprimieran en láminas de plástico transparente, se superpusieran y se miraran al trasluz, las vistas circulares del mar al otro lado del muro a diferentes distancias aparecerían como círculos concéntricos.

me he quedado con la sensación de que la última es demasiado grande comparada con las anteriores y teniendo en cuenta cómo van creciendo sus tamaños. pero bueno, esto ha sido algo improvisado. :D

santander

el 25 de agosto de 2008 publiqué en mi antiguo blog unas fotos que resumían mis vacaciones de verano en santander de aquel año, que ya llegaban a su fin. he decidido volver a publicar esas mismas fotos, en el mismo orden. sólo que esta vez servirán para inaugurar mi estancia en santander, en vez de para despedirla.

desde la ventana del salón de casa...

la playa de los peligros, cuya prolongación es la playa de la magdalena. en contra de la creencia popular, por muy alta que esté la marea nunca se separan del todo. son ya varios veranos recorriéndome esas playas por la orilla a diario. ;)




las rocas que quedan al descubierto cuando la marea está en su punto más bajo.

el palacio de la magdalena, desde diferentes posiciones.

un árbol antiguo que hay en los jardines de la magdalena.

una reproducción del barco amerigo vespucci que estuvo expuesta en el puerto aquel año.

y el tio vivo de los jardines de pereda. mañana iré a comprobar que sigue allí. ;)

factores primos 2 y 5

dividir un número entre una potencia de 10 -es decir, 10, 100, 1000, etc.- es muy fácil: consiste tan sólo en desplazar hacia la izquierda el punto que separa las unidades enteras y los decimales tantas veces como indique el grado de la potencia de 10 del divisor: uno si es 10, dos si es 100, tres si es 1000...

pero las cosas normalmente no son tan sencillas. el caso de que el divisor sea una potencia de 10 es muy particular. al dividir un número entero entre otro, será raro incluso que en el cociente obtengamos un número finito de decimales. lo ‘normal’ será que al realizar la división nos encontremos con un bucle infinito: nunca obtendremos resto cero en la división, sino que por el contrario aparecerán las mismas cifras periódicamente.

como ejemplo, veamos la división de la unidad entre los primeros números enteros. la parte entera del cociente será 0 al ser el denominador mayor que el numerador, pero eso no supone un problema. lo que nos interesa es la cadena de decimales que se obtiene.

en varios casos dicha cadena será infinita y formará una pauta periódica. a veces es una única cifra la que se repite periódicamente, y a veces es un grupo de cifras. también puede ocurrir que las primeras cifras decimales que se obtienen en el cociente no formen parte del período. sea como sea, la cifra o grupo de cifras que forman parte de la pauta periódica se marcan con un símbolo similar a un acento circunflejo (^).

observamos que al dividir entre los números primos 3, 7, 11, 13,... -y todos los siguientes, lo podéis comprobar- así como entre cualquier número que tenga dichos factores primos, se obtiene una serie infinita de decimales.

pero el 2 y el 5 también son números primos, y con ellos esto no se cumple. hemos obtenido una cadena finita de decimales al dividir entre 2, 4, 5, 8 y 10, que casualmente son los números cuyos factores primos son 2 y/o 5 combinados de diferentes maneras, dentro del intervalo que hemos tomado como ejemplo.

este hecho no es tan casual. tiene que ver con que nosotros empleamos el sistema de numeración en base 10, y los factores primos de 10 son 2 y 5. conocéis el truco de que “dividir entre 2 es multiplicar por 5 y dividir entre 10”, y “dividir entre 5 es multiplicar por 2 y dividir entre 10”? así es, una división entre 2 o entre 5 siempre se puede convertir en una división entre 10.

al dividir un número entero entre otro, el primer paso será simplificar la fracción, cancelando del numerador y el denominador los factores primos comunes -o, dicho de otra manera, dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor-. una vez hecho eso, si el divisor tiene algún factor primo distinto de 2 y 5, irremediablemente se obtendrá un cociente con una serie infinita de decimales.

por el contrario, si el divisor es un número cuyos únicos factores primos son 2 y/o 5, se puede demostrar, realizando unas sencillas transformaciones que no afectan al resultado de la fracción, que equivale a una división entre una potencia de 10. y por lo tanto, se obtendrá como resultado un número con una serie finita de decimales.

al dividendo lo denominaremos genéricamente k. al divisor lo representaremos por su descomposición en factores primos: 2ⁿ·5^m. n y m pueden tomar cualquier valor entero positivo (n,m>0), o bien 0 en el caso particular de que el único factor primo sea 2 (m=0), o que el único factor primo sea 5 (n=0). recordemos que cualquier potencia de exponente cero es igual a la unidad.

analizamos en primer lugar el caso de que n sea mayor que m. multiplicamos y dividimos la fracción por un mismo número -lo cual no afecta al resultado, pero nos interesa hacerlo así-, que va a ser 5^n-m. en el numerador, ese factor se queda como está, multiplicando a k. en el denominador, 5^m multiplicando a 5^n-m, sabiendo que el producto de potencias de la misma base es la base elevada a la suma de exponentes, queda como 5ⁿ. así, en el denominador queda el producto 2ⁿ·5ⁿ. el producto de 2 y 5 se puede agrupar bajo el exponente n, quedando como resultado (2·5)ⁿ, es decir, 10ⁿ.

tras estas operaciones, en el numerador tenemos k multiplicado por 5^n-m. si k era un número entero, y lo multiplicamos por algo que también es un número entero, qué obtenemos? otro número entero, que lo llamaremos k’. y el denominador lo hemos convertido en 10ⁿ. por tanto, lo que tenemos es la división de un número entero entre una potencia de 10. el resultado tendrá una cadena finita de decimales.

pasamos al caso en que m es mayor que n. operaremos de manera análoga. esta vez multiplicamos el numerador y el denominador por 2^m-n. en el numerador, este factor se queda multiplicando a k, y en el denominador, agrupando potencias de la misma base, obtenemos 2^m·5^m, que es lo mismo que 10^m.

de igual manera que en el caso anterior, en el numerador hay un nuevo número entero, igual a k multiplicado por 2^m-n, al que llamaremos k’. y en el denominador, 10^m. nuevamente, se trata de una división de un número entero entre una potencia de 10, cuyo resultado será un número con una serie finita de decimales.

el caso de que n sea igual a m es muy tonto, porque si es así, en realidad lo que ocurre es que el denominador es una potencia de 10 directamente, que se distinguen a simple vista al ser un uno seguido de varios ceros. he escrito la demostración para contemplar también este caso, aunque es deshacer para luego volver a hacer... :P

bueno, espero que os haya gustado y que no os hayáis mareado mucho. ;) esto de los números cuyos factores primos son sólo 2 y/o 5, que al dividir entre ellos nunca salen antipáticas cadenas infinitas de decimales que hay que truncar por algún sitio, es una idea que tenía en la cabeza desde hace muchos años, y que por fin me he animado a sacar a la luz. :)

-------------------------------------------------------------------------------------------

edito: esta entrada quedaba demasiado ‘abstracta’ si no mostraba algunos ejemplos concretos de números que cumplen esta propiedad. así, en el intervalo entre 1 y 100, los números cuya descomposición en factores primos tiene la forma 2ⁿ·5^m, serían los siguientes:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100.

1 corresponde al caso en que n y m son 0. no es de extrañar, 1 es divisor de cualquier número. se trata, una vez más, de uno de esos casos particulares que no aportan nada nuevo pero que por rigor teórico hay que considerar...

he tomado las tablas de factores primos de los números del 1 al 100 que hice para la entrada sobre este tema que publiqué el año pasado -enlazada más arriba- y he marcado los números cuyos únicos factores primos son 2 y/o 5 que he citado antes. en las tablas se puede apreciar que cada vez están más espaciados, aunque nunca dejan de aparecer, ya que el rango de exponentes al que pueden ir elevados los factores 2 y 5 es infinito, como infinitas son también las combinaciones que pueden formar entre ellos.