alicante

a finales del verano de 2009 hicimos un breve viaje a san juan. allí, mi abuela paterna -la misma de la casa antigua de la que os he hablado en alguna ocasión- pasa las vacaciones todos los años, junto con otros familiares que van y vienen a lo largo del verano.

san juan es un conocido destino turístico en la provincia de alicante. se encuentra muy cerca de la capital, y de hecho es fácil apreciar sobre el terreno que alicante y otras localidades limítrofes -como san juan y campello, por mencionar las que yo conozco-, están unidas de forma continua.

alicante es la cuarta provincia más poblada de españa, con cerca de 2 millones de habitantes, después de madrid, barcelona y valencia. esto se explica porque alicante es muy densa en municipios.

cuando las matrículas de los coches tenían el distintivo de la provincia, se podía conocer la cantidad de coches matriculados por provincias en términos comparativos, según la letra de serie por la que fueran en un momento determinado. las más avanzadas siempre eran madrid y barcelona. creo que durante un tiempo barcelona iba por delante de madrid (recordemos que hablamos de las provincias en su totalidad) y después se invirtieron los puestos, pero siempre hubo poca diferencia entre ambas. la tercera era valencia. y la cuarta? sevilla, tal vez...? pues no, era alicante. desde hace muchos años alicante ha sido la cuarta provincia más poblada, y el número de coches matriculados daba una pista de ello.


fuimos a san juan después de haber estado en santander. el cambio del cantábrico al mediterráneo para mí fue un gran contraste. hacía calor, sí, pero aparte de eso, lo que recuerdo es que el sol me resultaba cegador, una sensación muy extraña. buscaba a toda costa la sombra, y por eso pasé grandes ratos sentado en el porche, a ratos leyendo y a ratos mirando el mar azul como si viajara en un barco.

aunque, para quien buscara la sombra como yo, también era una buena opción bajar por las escaleras del porche y dirigirse a la parte de atrás de la casa. los bancos y la mesa están un pelín sucios, pero es porque nadie los usa, lo cual es una pena. ;) cuando era pequeño y merodeaba por esa zona solía coger del suelo las piñas que caían de los pinos.

hice una foto desde el terrado del chalet. ese día la playa estaba con bandera roja, algo poco habitual en un mar tranquilo como el mediterráneo. aunque, como veréis después, no es aquí donde acaban las cosas poco usuales desde el punto de vista climático. quizá lo del mar fue un preludio. ;)

por delante del chalet pasa el tranvía. en la foto anterior se pueden ver los raíles. una mañana nos desplazamos a alicante capital en ese medio de transporte. lo pasamos bien. podía haber hecho alguna foto de esa avenida tan ancha con un bulevar que hay bordeando la playa, no sé por qué no la hice. en cambio, vi un árbol antiguo en una plaza, y como esos árboles me encantan, si no lo fotografiaba no me quedaba tranquilo. ;)

como decía antes, aquel viaje lo recordaremos por las vicisitudes climatológicas... :P dicho de una forma más directa, que vino la gota fría y cayó una tormenta de mil demonios. :D menos mal que nos pilló en casa. lo curioso es que no ha sido la primera vez que he visto caer un chaparrón allí. en otra ocasión en la que estuve en san juan, cuando era pequeño, también vi caer chuzos de punta.

aquí tenéis la vista desde el porche, en estado normal y durante el chaparrón. aquel día, si tenías que salir para algo, mal asunto si no tenías unas katiuskas a mano.

incluso saqué una foto en el momento en que caía un rayo. de repente se hizo de noche. era una foto que tenía que hacer, incluso asumiendo el riesgo de que el rayo se sintiera atraído por mi cámara. :P

en fin, la tormenta pasó, el suelo no tardó demasiado en secarse, y lució un tímido arco iris...

pues ésta ha sido la crónica de aquel viaje -un poco desordenada, eso sí-, que ha estado más de un año sin salir a la luz y con las fotos guardadas en un cajón porque no sabía cómo enfocarla, cómo darle forma... espero que os haya gustado. :)

amiga invisible

el pasado mes de diciembre recibí un paquete por correo postal, con motivo del juego del amigo invisible que todos los años se organiza en el foro de esther y su mundo. tras examinar los regalos, tuve la intuición de que mi amiga invisible era riesgho. no me preguntéis por qué, era una corazonada. ;)

mi generosa amiga invisible me mandó un montón de cosas:
- un reloj de pared decorado con dibujos de algunos de los personajes más populares de bruguera.
- un ensayo sobre geometría aplicada a la vida cotidiana. estaba claro que mi amiga invisible era alguien que me conocía bien. ;)
- un tarro de cristal que contenía los ingredientes áridos necesarios (harina, azúcar, etc.), en sus debidas proporciones, para elaborar unas cookies caseras.
- una caja de ramas de chocolate negro con aroma a frambuesa, como muestra para el trabajo de campo del wonka. ;)
- y una tarjeta con bonitas palabras de puño y letra de la autora de los regalos.

en el reloj hay muchos personajes reconocibles: mortadelo y filemón, el botones sacarino, pepe gotera y otilio, rompetechos, 13 rue del percebe, la familia trapisonda, zipi y zape, petra, anacleto, la familia cebolleta... si queréis construir un reloj artesanal parecido a éste tan estupendo que hizo mi amiga invisible, podéis encontrar un tutorial escrito por ella misma en el número de enero de la revista foroesther. la tenéis también en el margen del blog, pero como será pronto reemplazada por la de febrero y más tarde por otras posteriores, por eso os la he enlazado aquí.

el libro se titula geometría cotidiana y está escrito por claudi alsina, catedrático de matemáticas de la universidad politécnica de cataluña. en él se muestran las múltiples aplicaciones de la geometría a los objetos que están presentes en nuestra vida diaria: desde los envases hasta los electrodomésticos, pasando por el mobiliario.

en este libro se emplea un tono informal y distendido, incluso con algunas dosis de humor, para hacerlo asequible al lector, aunque sin perder el rigor matemático. de hecho se hace alusión a ciertos conceptos de matemáticas universitarias, como las curvas cónicas (elipse, parábola, hipérbola), o los cinco poliedros regulares (tetradedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro), o una vez más, el número áureo. este número está pidiendo a gritos que le dedique una entrada. está en todas partes!!

al fin encontré el momento para preparar las cookies con los ingredientes que me proporcionó mi amiga invisible. en la etiqueta roja del tarro explicaba la receta para su elaboración. hice caso de todo con excepción de un pequeño detalle, que era dejar la suficiente separación entre las bolas de masa. no lo hice así, como podéis deducir por la foto. :D las puse en filas contrapeadas demasiado juntas, y al expandirse chocaron unas con otras formándose una estructura tipo panal, como la propia riesgho me decía ayer cuando mostré la foto en el facebook. ;)

pero estaban muy ricas de sabor. las hice, para ser exactos, el viernes por la tarde, y ya se han acabado. han tenido mucho éxito en casa. la receta la tenéis también en el número de enero de foroesther que he enlazado más arriba, en este caso a cargo de la hermana de mi amiga invisible. eso me hizo dudar sobre quién de las dos era la autora. ;)

de nuevo, mil gracias por los regalos, susana, me han encantado!! y también a remi, por la colaboración que haya podido prestar... ;)

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hay una cosa más que quería comentaros. mirando mi escritorio de blogger, me he dado cuenta de que ésta va a ser mi entrada número...

...y no es que yo dé mucha importancia a esas cosas, pero me ha servido de excusa para hacer la gracieta de poner la foto de una vieja moneda de 100 pesetas que encontré hace un par de años en un rincón de nuestra casa de veraneo. qué nostalgia, eh? ;)

baldosas

cuando veo las baldosas de la calle o del interior de algún edificio, a menudo me fijo en el dibujo geométrico que forman, y me pongo a pensar cómo se podría reproducir sobre una lámina, con los instrumentos de dibujo habituales: lápiz, compás, regla, escuadra y cartabón.

sabía que antes o después escribiría alguna entrada sobre baldosas, pero hay muchas que tienen dibujos interesantes y nunca sabía cuál elegir como ejemplo. hace poco he sabido que las baldosas de bilbao -ciudad que he visitado en numerosas ocasiones desde mi infancia debido a los vínculos familiares que me unen a ella- son únicas y tienen mucha historia. por eso he decidido rendir un homenaje a la baldosa de bilbao. ;)

lo primero de todo es dibujar un cuadrado, de la longitud del lado que se desee, pero a ser posible amplio para poder hacer construcciones sobre él cómodamente: [1]. en aquella entrada que escribí sobre los polígonos, tenéis explicado cómo dibujar un cuadrado. ;)

a continuación vamos a dividir sus lados en tres partes iguales en horizontal y en vertical, para obtener 3x3 cuadrados cuyo lado sería un tercio del lado del original.

empezaremos dividiendo el lado vertical izquierdo en tres partes iguales. para ello utilizaremos el teorema de thales. nos serviremos de las propias líneas del cuadrado, con objeto de no trazar líneas adicionales que compliquen más el dibujo. sobre el lado horizontal inferior del cuadrado, llevamos una misma distancia, elegida a voluntad, tres veces: [2]. trazamos una línea que una el extremo más ‘lejano’, donde hemos llevado esa distancia por tercera vez, con el vértice superior izquierdo del cuadrado; desde el punto del lado horizontal donde nos hemos llevado la distancia arbitraria por segunda vez, trazamos una paralela a la última línea citada; y desde el punto donde nos hemos llevado por primera vez la distancia ‘de thales’, trazamos otra paralela a esa línea; de ese modo, hemos dividido el lado vertical izquierdo en tres partes iguales: [3].

desde los puntos que marcan la división de ese lado, trazamos sendas líneas paralelas al lado horizontal del cuadrado: [4]. de ese modo, hemos dividido el cuadrado en tres ‘rebanadas’ o capas horizontales del mismo espesor.

a continuación haremos algo análogo desde el lado horizontal, y por seguir un orden, lo haremos en el superior. para dividirlo en tres partes iguales no será necesario aplicar el teorema de thales nuevamente. como ya tenemos dividido el lado vertical, tomamos con el compás la longitud de ‘un tercio de lado’, y desde el vértice del cuadrado la llevamos dos veces sucesivamente: [5]. desde esos puntos que dividen el lado horizontal en tres partes iguales, trazamos dos paralelas al lado vertical del cuadrado: [6]. como ya estaba cortado en tres ‘rebanadas’ horizontales, al darle esos nuevos cortes verticales, lo hemos convertido en 9 cuadrados de 1/3 de lado del original, en disposición 3x3.

ahora viene la parte quizá más delicada. antes que nada, vamos a trazar las dos diagonales del cuadrado grande, el original, pues nos van a hacer falta: [7] y [8]. las hacemos en trazo fino para no perjudicar mucho la estética del dibujo.

con centro en el punto de corte de las dos diagonales, que es el centro del cuadrado grande, trazaremos una circunferencia cuyo radio será la mitad del lado del cuadrado pequeño. será una circunferencia inscrita en dicho cuadrado. para ello, desde el punto de corte de las diagonales trazaremos una paralela al lado vertical del cuadrado. donde corte al lado horizontal del cuadrado pequeño, será por donde deba pasar: [9]. así pues, trazamos la circunferencia, que deberá ser tangente a los lados del cuadrado: [10]. la construcción nunca será exacta, y para que se parezca a como son estas baldosas en la realidad, es mejor que la circunferencia se pase un poco de grande, que se salga ligeramente de los límites del cuadrado.

lo que viene ahora es más fácil de entender intuitivamente que de explicar. el dibujo de la baldosa de bilbao es similar a una flor con cuatro pétalos. y aunque estos pétalos están próximos, no llegan a tocarse entre sí. los cuatro pétalos son arcos de circunferencia que pasan por los puntos medios de los lados de los cuatro cuadrados pequeños que se encuentran en las esquinas del cuadrado grande. esto podría hacer pensar que su radio es igual a la mitad del lado del cuadrado pequeño, al igual que la circunferencia central. pero no es así, en realidad es un poco más pequeño. en consecuencia, el centro de la circunferencia del ‘pétalo’ no está exactamente en el vértice del cuadrado pequeño, sino ligeramente más adentro, aunque eso sí, en su diagonal.

dado que no he logrado encontrar las medidas o proporciones exactas de las baldosas de bilbao, lo haremos de forma aproximada. aunque, eso sí, siendo coherentes y manteniendo las medidas que hayamos elegido en un principio. nos situamos en el cuadrado pequeño de la esquina superior izquierda. trazamos la mediatriz del lado inferior de este cuadrado para hallar su punto medio: [11]. en la entrada de los polígonos también explicaba cómo trazar una mediatriz, lo digo por no alargar más esto, que parece la biblia. :D bien, nos fijamos en dónde la mediatriz ha cortado a la diagonal, y desde ese punto de corte trazamos una paralela al lado horizontal del cuadrado. de ese modo dividimos también en dos el lado vertical del cuadrado sin tener que trazar una nueva mediatriz: [12].

elegimos un punto próximo al vértice del cuadrado pequeño, que se encuentre en el interior del mismo y en su diagonal. desde ese punto comenzamos a trazar una circunferencia que pase por los puntos medios de los lados del cuadrado que acabamos de determinar, y detenemos su trazado cuando corte a la circunferencia central: [13].

a continuación haremos lo mismo en el cuadrado pequeño superior derecho, pero esta vez será más rápido. la mitad de la longitud del lado del cuadrado ya la hemos determinado para el caso anterior, con lo cual bastará con tomarla con el compás y llevarla sobre el lado: [14]. para situar el centro de la circunferencia del pétalo a la misma distancia del vértice del cuadrado que antes, haremos lo siguiente: tomamos con el compás el radio del pétalo que hemos trazado anteriormente, desde el punto medio del lado del cuadrado trazamos un arco, y donde corte a la diagonal, ahí está el centro: [15]. conociendo el centro y el radio, ya sólo falta trazar la circunferencia: [16]

para los dos pétalos de la parte inferior, se repetirían los mismos pasos. como observación final, si los pétalos tuvieran como radio la mitad del lado del cuadrado pequeño, se tocarían entre sí, y como decía más arriba, eso no sucede.

pues hala, ya está. os gusta cómo ha quedado? :D me sentiré satisfecho si a partir de ahora veis con otros ojos los pétalos, digo las baldosas. :P

hélices

esta escalera que aquí veis es real, y la he fotografiado yo mismo desde la planta de arriba del edificio donde está, venciendo mi vértigo.

es lo que se llama una escalera de caracol, y es uno de los ejemplos que vienen a la mente con más facilidad cuando se trata de explicar lo que es una hélice, en geometría.

una hélice, para hacernos una idea, es una especie de espiral enrollada sobre un cilindro. la distancia de cualquier punto de la hélice al eje central del cilindro es siempre la misma, y lo que va variando es su altura respecto al plano de la base.

en coordenadas polares, la posición de un punto está determinada por un radio r que va desde el origen hasta cualquier punto de la curva -que en nuestro caso será de longitud constante R- y un ángulo φ respecto al eje x que se haya tomado como referencia en el plano de la base. las coordenadas cartesianas serán las proyecciones del radio sobre los ejes perpendiculares x,y situados en la base:
x=R·cos(φ)
y=R·sen(φ)

las coordenadas cilíndricas son una extrapolación a tres dimensiones de las polares, añadiendo una coordenada vertical z. nos van a servir para visualizar la hélice.

en una superficie cilíndrica, todos los puntos se encuentran a la misma distancia, R, del eje central. como la hélice está contenida dentro de la superficie cilíndrica, también cumplirá esta propiedad. sin embargo su altura variará, y lo hará según una pauta: el ángulo que forma la tangente a la hélice en cualquiera de sus puntos con el plano horizontal es siempre el mismo. lo llamaremos α.

dicho de otro modo, si cortamos el cilindro con su hélice ‘enrollada’ con un plano paralelo a la base del cilindro, en el punto donde ese plano ha cortado a la hélice se ha formado un ángulo α. esta propiedad resulta fácil de intuir en la vida real: una escalera de caracol va dando vueltas, pero notamos que tiene siempre la misma pendiente: esa pendiente es la que está definida por el ángulo α. dependiendo de que α sea mayor o menor, la pendiente será más o menos pronunciada, y por tanto nos será más o menos difícil subir por esa escalera.

existen dos maneras de llegar a las ecuaciones de una hélice: una ‘geométrica’ y una ‘física’. analizaremos las dos y después trataremos de relacionarlas.

lo que hemos llamado informalmente una superficie cilíndrica con una hélice enrollada se puede obtener enrollando sobre un cilindro un plano en el que se hayan dibujado unas líneas diagonales paralelas. el ángulo que estas líneas forman con la horizontal es el que hemos llamado antes α.

el plano mide ‘de largo’ lo mismo que la circunferencia exterior de la sección del cilindro: 2·π·R. la longitud comprendida en el tramo definido por el ángulo φ (cuidado, que ahora hablamos del ángulo de coordenadas cilíndricas) será R·φ, al ser la longitud de un arco de circunferencia igual al radio multiplicado por el ángulo medido en radianes. y la coordenada vertical z, por el teorema de pitágoras, será R·φ·tg(α).

de la expresión de z se puede despejar φ y sustituirla en la expresión de x,y. de ese modo, las dos coordenadas planas dependerán de la coordenada vertical.

en física, una hélice se obtiene por una composición de dos movimientos: un movimiento circular con velocidad angular ω constante, y un movimiento vertical con velocidad lineal v constante.

así, el ángulo de coordenadas cilíndricas que habíamos llamado φ, ahora tomará la forma ω·t, y la coordenada vertical z se expresará como v·t. el ángulo es la velocidad angular por el tiempo, y la distancia es la velocidad lineal por el tiempo, análogamente.

antes habíamos obtenido para z la expresión R·φ·tg(α). podemos sustituir en ella φ por ω·t e igualarla a v·t.

de esa manera, en las ecuaciones, en lugar de R·tg(α) aparece ω/v, es decir, el cociente entre la velocidad angular de giro y la velocidad lineal vertical. y eso tiene más sentido físico, resulta más real y tangible.

espero no haberos mareado mucho. ;) os dejo con una foto de la misma escalera, pero tomada desde la primera planta mirando hacia arriba, al revés que la primera. os gustan estas escaleras para una casa, desde el punto de vista estético? ;)

cubo de rubik

07.01.2009


uno de los regalos de reyes que me cayeron ayer fue el cubo de rubik, popular juguete ochentero que últimamente se ha vuelto a fabricar. ha bastado un día para que este artilugio me vuelva loco. en la caja, como podéis ver, venia resuelto. ayer dibujé en una hoja cuadriculada su proyección plana. perdonad por lo chapucero del coloreado.

la idea era deshacerlo y luego intentar volverlo a hacer, lo cual por un lado me daba pena porque es tan bonito así resuelto, con todos los cuadrados de cada cara del mismo color... y por otro lado me daba miedo, porque yo nunca en la vida he sido capaz de resolver el dichoso cubo de rubik, y no veía por qué iba a ser capaz de resolverlo ahora.

pero claro, mi hermana, que es la que me lo ha regalado, me preguntó si había empezado ya a darle vueltas, y entonces pensé: "venga, que no se diga!", y decidí hacerle varios giros aleatorios, tampoco muchos, para que no me resultase muy difícil reconstruirlo después.

viéndolo de frente, el cubo se puede dividir mentalmente en tres secciones (o capas, o rebanadas, o como se quiera decir) horizontales, y en tres secciones verticales. cada una de ellas se puede girar en el sentido de las agujas del reloj (sentido horario) o en sentido contrario a las agujas del reloj (sentido antihorario). por otro lado, los giros pueden ser de 90º (es decir, girarla una vez, plas), de 180º (girarla dos veces, plas-plas), o de 270º (girarla tres veces, plas-plas-plas). girarla 360º no tendría sentido, porque sería darle una vuelta completa sobre sí misma y dejarla como estaba.

pues nada, me puse el cubo delante mío, con la cara blanca mirando hacia mí y la cara roja mirando hacia arriba. fui eligiendo al azar los giros que le hacía, y los apunté en un papel. primero giré la sección vertical derecha 270º en sentido antihorario. a continuación giré la sección horizontal central (tal como había quedado tras la primera modificación) 270º en sentido antihorario. después, de forma sucesiva: la horizontal inferior, 270º en sentido horario; la horizontal superior, 90º en sentido horario; la vertical izquierda, 270º en sentido antihorario; y por último, la vertical central, 90º en sentido horario. éste es el aspecto que presentaba el cubo después de las perrerías que le hice.

parece que no cambiaba mucho el aspecto del cubo después de todos los giros, verdad? en casi todas las caras había cuatro cuadraditos del mismo color y tal... pues todavía no he sido capaz de resolverlo, y cada vez lo pongo peor. :S supongo que la clave está en que los cuadrados de un mismo color son diferentes, y que aunque varios estén juntos, si estuvieran numerados veríamos que no están en la misma posición en la que estaban al principio...

en fin, que como he dicho antes, me está volviendo loco este dichoso rompecabezas geométrico, sobre el cual podéis encontrar más información aquí.

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volvemos al presente. :) como os contaba en aquella entrada que escribí el día siguiente a los reyes magos de hace dos años, mi hermana me regaló un cubo de rubik que, aunque no lo especificaba, era del tamaño ‘standard’ al que estamos acostumbrados a verlo: unos 5.6-5.7 cm de arista.

pues bien, mi amiga anele, cuando nos vimos recientemente en el memorable expocomic de 2010, me regaló un cubo de rubik chiquitín, con un tamaño de arista de un poco más de la mitad del original: unos 3 cm redondeando por exceso. muchas gracias de nuevo desde aquí, anele, por ese regalo y por otros que llevaste!!

he fotografiado el mini-cubo de rubik junto a su ‘hermano mayor’. :D pronto empezaré a intentar resolverlo, a ver si con éste al ser más pequeño y manejable tengo más suerte... aunque para eso tendré que deshacerlo primero como hice con el otro, y me da pena... ;)

mañana en mi casa será un día de reyes atípico, pues a media mañana nos tendremos que ir de viaje. aun así, nos dará tiempo a abrir los regalos y esas cosas. este año, los regalos que tengo para mis padres y mi hermana son principalmente manualidades. tengo ganas de ver la cara que pondrán cuando las vean. :P