insomnio otra vez

en cierta ocasión, tuve una idea para una entrada durante una noche de insomnio. la diferencia es que aquella vez me levanté y la escribí en el momento, mientras que esta vez he esperado a que salga el sol...

una alumna mía de 4º de eso está dando el tema de logaritmos. el otro día le mandaron como ejercicio una ecuación que daba dos soluciones, una de las cuales no era válida, ya que al sustituir en la ecuación inicial salía un logaritmo de un número negativo.

al igual que no existe la raíz de índice par de un número negativo, tampoco existe el logaritmo de un número negativo. pero ojo, al decir que ‘no existe’ nos estamos refiriendo a una solución real. sí existirán soluciones complejas.

los números complejos son aquellos que contienen una parte imaginaria.

toman la forma a + b·i.

a y b son números reales, mientras que i es la unidad imaginaria, definida como la raíz cuadrada de -1. es decir, i = √-1.

el logaritmo de un número negativo se puede desglosar de la siguiente manera, aplicando las propiedades de los logaritmos:

ln(-N) = ln(-1·N) = ln(-1) + ln(N)

por ahora estamos usando logaritmos neperianos -en base e-, pero después veremos que para los logaritmos decimales sólo hay que hacer un pequeño cambio.

y cuánto vale el logaritmo de -1? recordemos la famosa fórmula:

e^i·x = cos(x) + i·sen(x)

para x = π, sustituyendo, e^π·i = cos(π) + i·sen(π) = -1 + i·0 = -1

como se ve, π·i es el número al que hay que elevar e para que nos dé -1. y eso es, por definición, el logaritmo neperiano de -1.

por tanto, ln(-N) = ln(N) + ln(-1) = ln(N) + π·i.

es decir, un número complejo con parte real ln(N) y parte imaginaria π.

y para el logaritmo decimal? análogamente, como las propiedades de los logaritmos no dependen de la base:

log(-N) = log(-1·N) = log(N) + log (-1)

vamos a buscar otra ‘fórmula mágica’ que relacione exponenciales con senoidales, pero en base 10:

10^i·x = (e^ln10)^i·x = e^i·(ln10·x) = cos(ln10·x) + i·sen(ln10·x)

a cuánto hay que elevar 10 para que nos dé -1?

habrá que imponer que:  cos(ln10·x) = -1  –>  ln10·x = π  –>  x = π/ln10

así pues, log(-1) = (π/ln10)·i

y por tanto, log(-N) = log(N) + (π/ln10)·i

decididamente, prefiero acostarme tarde cuando ya estoy que me caigo de sueño y dormir de un tirón, que acostarme pronto y luego estar dando vueltas en la cama y despertándome cada dos por tres.

por otro lado, hay tres cosas que tengo asociadas en mi mente, como si estuvieran hechas de un mismo material: los números complejos, los sueños y las grabaciones al revés.

habéis probado a escuchar stairway to heaven de led zeppelin al revés, a ver si es verdad que contiene mensajes subliminales?? :O

ducha

en economía, un bien de demanda inelástica es aquél que se adquiere independientemente de las variaciones en su precio y de la renta del consumidor. así como puedes prescindir de un bien de lujo, hay en cambio bienes de primera necesidad sin los cuales no puedes pasar, por muy difícil que sea la situación.

la ducha es claramente un bien de demanda inelástica. no sólo en términos económicos, por ser una necesidad básica, sino también en cuanto al perfil del consumidor. hay personas ‘desaliñadas’ por decirlo de alguna manera, con un vestuario poco variado, que pasan de presumir y de arreglarse, y que sin embargo son muy limpias. es mi caso, por cierto. :P una cosa no quita la otra. se puede ser más o menos cuidadoso con la imagen externa, pero la ducha siempre es algo común que prevalece.

en ese sentido hemos mejorado mucho desde tiempos pasados. tengo entendido que la gente de la edad media no destacaba por su higiene personal...

dicen que los ingleses no se duchan. y sin embargo, por ejemplo, en las historias de esther -cuyo guionista era inglés y se desarrollaban en una pequeña ciudad de inglaterra-, las chicas siempre estaban bañándose o duchándose, sobre todo rita.

no sé hasta qué punto son creíbles esos mitos. lo he oído también de los franceses, entre otros. creo que la acusación de no ducharse no se debe usar como arma arrojadiza contra cualquier país que a uno pueda caerle mal. porque al final va a resultar que entre unos y otros, medio mundo no se lava, y tampoco es eso...

algunos niños, especialmente los niños varones, tienen cierta fobia al agua y hay que obligarles a que se laven. eso les pasaba a zipi y zape, siendo un argumento recurrente en muchas de sus historietas. y, por ejemplo, el hermano pequeño de una alumna que tuve, cuando su madre le hacía ducharse pegaba unos gritos que debían de oírse en todo el edificio.

las niñas, en general, son más limpias y ya se lavan ellas solas sin que haya que perseguirlas. aunque siempre puede haber alguna excepción... :O

espero que os hayáis divertido leyendo esta entrada, ya que ésa era la idea. :) sois más de baño o de ducha? por la mañana o por la noche? os tomáis mucho tiempo? yo sí, porque además me lavo el pelo.

cruce de caminos

cuando veo los pasamanos de las escaleras mecánicas de un gran almacén, siempre pienso en el problema de dos rectas cruzándose en el espacio.

dos rectas, cuando están en un mismo plano, pueden o bien cortarse o bien ser paralelas. pero si trazamos dos rectas al azar en el espacio, lo más probable es que no pertenezcan a un mismo plano, y que por tanto se crucen. es decir, que ni sean paralelas ni se corten.

recuerdo que el problema más complicado que te podían poner en el tema de geometría del espacio de cou, era el de calcular la distancia mínima entre dos rectas que se cruzan. no recuerdo exactamente cómo lo hacíamos, pero se me ocurre un posible método: calcular la dirección que debe seguir una recta que sea perpendicular a las dos rectas dadas, imponer la condición de que corte a ambas y calcular la distancia entre los puntos de corte.

voy a inventarme dos rectas sobre la marcha, eso sí, con coeficientes sencillos para que luego no salgan cálculos muy farragosos.

a continuación, vamos a expresar para ambas rectas las coordenadas y, z en función de x. nos vendrá bien después.

ahora calcularemos la dirección que debe seguir una recta que sea perpendicular a las dos dadas. en la ecuación de una recta -como las que aparecen en el primer escaneado-, los denominadores coinciden con las componentes del vector que indica su dirección. tendremos que calcular el producto vectorial de los vectores directores de las rectas. si las tres componentes tienen algún divisor común, se pueden ‘simplificar’.

llegamos a la parte más delicada de nuestro razonamiento: tomamos dos puntos genéricos, pertenecientes a cada una de nuestras rectas iniciales. obligamos a que ambos pertenezcan a la tercera recta, y que por tanto cumplan su ecuación.

sustituimos las coordenadas y, z de ambas rectas por las expresiones en función de x que hemos calculado antes.

de esa manera, la ecuación de la tercera recta la hemos expresado en función de las coordenadas x de las dos rectas dadas.

como la ecuación de una recta en el espacio consiste en tres cosas que se igualan dos a dos, en el fondo lo que hemos obtenido es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x₁, x₂.

resolvemos el sistema y calculamos x₁, x₂. y a continuación sustituimos para hallar y₁, y₂, z₁, z₂. ya tenemos las coordenadas de los puntos de corte de nuestras dos rectas con la tercera perpendicular a ambas.

lo más difícil ya lo hemos hecho. ahora sólo queda hallar el vector que une ambos puntos. su módulo o longitud se calcula mediante el teorema de pitágoras. esa longitud será la distancia mínima entre las dos rectas.

en las escaleras mecánicas de los grandes almacenes no suelo avanzar en el sentido de la marcha. no se ahorra mucho tiempo con ello. sí lo hago en cambio en las escaleras del metro, ya que a veces son interminables, y por unos segundos puedes perder un tren y tener que esperar cinco minutos hasta el siguiente.

miedos

en mi colegio, cada alumno tenía asignado lo que se llamaba un ‘preceptor’: un profesor que te hacía un seguimiento personalizado y al que le contabas los problemas que pudieras tener. cada cierto tiempo te llamaba y tenías una charla privada con él.

tengo el sueño recurrente de que estoy sacando peores notas de las esperadas, y en un momento dado me doy cuenta de que llevo todo el curso sin preceptor. en el sueño, don gregorio -que es así como se llamaba el preceptor que tuve siempre en mi colegio- está desaparecido, no le he visto en lo que llevamos de curso. no sé si está enfermo o qué le ha pasado, pero yo sin preceptor no puedo estar, me siento perdido. y así lo demuestra el bajón en mi rendimiento. así que tengo que ir a ver al jefe de estudios para que me asignen a alguien que sustituya a don gregorio.

ese sueño lo volví a tener anoche. supongo que denota, entre otras cosas, el miedo al suspenso. en el colegio sacaba buenas notas, pero en la carrera... era otra historia. y sobre este asunto del temor a suspender ya tenía en mente escribir algo. así que vamos a ello. :)

el primer examen que hice en la carrera fue en febrero de 1996, el primer parcial de la asignatura de ‘cálculo infinitesimal’. lo hice lo mejor que pude pero no salí contento. encima miré las soluciones del examen, que las habían puesto en un tablón, y no parecían coincidir con las mías. “he suspendido”, sentencié.

la profesora les dijo a los de mi grupito: “he visto un poco triste a vuestro amigo”. me conocía, algo poco habitual en una universidad pública y especialmente en el primer ciclo, cuando las clases son tan masificadas. pero como me sentaba en la primera fila y siempre llevaba los ejercicios hechos...

después de tanto lloro, aprobé y además con un 7. a día de hoy todavía estoy alucinando. durante toda la tarde de ese examen, quizá debido a los nervios, tenía metida en mi cabeza una canción de roxette, del recopilatorio que me habían traído los reyes un mes antes. y dado que el final fue feliz, esa canción ahora me trae buenos recuerdos.

pero hay que tener cuidado, porque el miedo excesivo al suspenso puede ser mal consejero. si después de un examen lloriqueas porque crees que te ha salido mal y luego apruebas, pues te llevas un disgusto que te podías haber ahorrado, pero bien está lo que bien acaba. el problema es cuando el miedo te lleva a hacer mal algo que podías haber hecho bien si hubieras estado más tranquilo.

años más tarde, hice el examen práctico de conducir. no era la primera vez, y temía suspender de nuevo. en un momento dado, se paró en medio de la calle un camión o no sé muy bien qué era. di un poco de marcha atrás y lo sorteé. esa pequeña incidencia ya me puso nervioso, y dudé de si había hecho lo correcto.

pero lo peor fue que cuando estaba pasando por un paso de cebra sin semáforo, vi a un peatón en la acera, ya demasiado tarde para frenar. supuestamente le tenía que haber cedido el paso para que cruzara, y con ese tema eran muy estrictos. entonces pensé “ya me he cargado el examen”. dimos algunas vueltas más, hasta que la examinadora me mandó aparcar en un hueco.

como estaba muy alterado pensando que ya había suspendido, pues el aparcamiento me salió un churro -aparte de que se me daba mal de por sí-, pisé el bordillo y todo. y sí, al final suspendí, pero fue sólo por la última prueba, la de aparcar. el profesor de la autoescuela me dijo que hasta ese momento lo había hecho todo bien y que había sido una pena.

y lo del peatón en el paso de cebra, realmente no había hecho ademán de cruzar, lo mismo estaba esperando a alguien. pero como nos decían que siempre parásemos para ceder el paso... de todos modos, si hubiera sido una falta eliminatoria, la mujer que me examinaba habría dado por concluido el examen de inmediato, y no fue así. pero claro, con los nervios no vemos las cosas claras.

esther, en su primera experiencia importante como enfermera, asiste a la operación de philip douglas -el guionista de las aventuras de esther, que en ese capítulo hace un cameo-. nuestra amiga se desmaya en el quirófano, lo cual le plantea dudas sobre su capacidad para la profesión de enfermera. pero luego le hacen ver que eso les ha pasado antes a muchas. y además el paciente queda muy satisfecho del trato que le ha dado esther.

por eso no debemos suspendernos a nosotros mismos. eso puede resultar una profecía autocumplida. en cualquier situación, desde un examen hasta una cita romántica, a veces creemos que lo estamos haciendo mal, y en realidad lo estamos haciendo bien.