últimamente me he estado acordando de los temas de matrices
y determinantes -y su aplicación a los sistemas de ecuaciones- que dábamos en
matemáticas de cou. ya escribí
una entrada sobre matrices y sistemas hace tiempo... al parecer todo eso se sigue dando en el curso equivalente a cou, que
es 2º de bachillerato.
me parece especialmente curioso lo de hallar la matriz
inversa. por definición, la inversa de una matriz dada es aquella que al
multiplicarla por dicha matriz nos da como resultado la matriz identidad -en la
cual todos los elementos de la diagonal principal valen 1, y el resto valen 0-.
invertir una matriz, como digo me resulta curioso.
es algo parecido a darle la vuelta a un calcetín. hablando de lo cual, qué
calcetines tan chulos lleva la hija de esther. :P
me he inventado sobre la marcha una matriz de 3 filas y 3
columnas, sin prepararla para que los cálculos me den números redondos ni nada
de eso. la llamaremos A. su matriz inversa (denotada como A–1), será
igual a la matriz adjunta (A*, ahora explicaremos lo que es) traspuesta,
dividida ente el determinante de la matriz A (expresado como |A|).
la matriz adjunta A* está formada por los determinantes de
los adjuntos de cada uno de los elementos del matriz original. para cada
elemento, su adjunto es la submatriz que queda cuando se eliminan en su
totalidad la fila y la columna a las que pertenece dicho elemento. los
determinantes de los adjuntos llevan signos alternos, como se observa.
a continuación hallaremos el valor de cada uno de esos determinantes, que
como son de 2*2, será simplemente igual al producto de los elementos de su
diagonal principal (↘) menos el producto de los elementos de la diagonal
secundaria (↙).
una vez hallada la matriz adjunta, obtenemos su traspuesta trasformando
sus filas en columnas -o viceversa-.
el determinante de una matriz de 3*3 es un poco más lioso de
explicar cómo se hace: sería la diferencia entre los productos tres a tres de
los elementos de su diagonal principal (↘) y de los que forman un ‘triángulo’
con un lado paralelo a dicha diagonal, menos los análogos para la diagonal
secundaria (↙).
ya tenemos lo que nos faltaba para calcular la matriz inversa. como dije, podía haber preparado la matriz original para que su determinante diera un número más bonito, pero así resulta más espontáneo. ;)
vamos a comprobar que está bien: multiplicamos entre sí las
matrices A y A–1. recordemos que para multiplicar matrices,
sumábamos con sus signos correspondientes los productos de los elementos de cada
fila de la primera con los elementos de cada columna de la segunda. es por esto
que para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe ser
igual al número de filas de la segunda.
al multiplicar estas dos matrices obtenemos la matriz identidad,
lo cual quiere decir que lo hemos hecho bien.
hay matrices que no se pueden invertir, y son aquellas cuyo
determinante es nulo. hemos visto que para calcular la inversa había que dividir
entre el determinante de la matriz original, y si es cero no se puede. las
divisiones entre cero están prohibidas.
el determinante de una matriz es cero cuando:
- una de sus filas o columnas está formada por ceros.
- hay dos filas o columnas iguales.
- una fila o columna es proporcional a otra.
- una fila o columna es igual a la suma, resta o cualquier
combinación de otras filas o columnas.
todos estos casos se podrían resumir en el
último de ellos, ya que los casos de filas/columnas de ceros o de
filas/columnas iguales o proporcionales son en realidad casos particulares de
combinación lineal entre filas/columnas.
resulta interesante que una matriz, no siendo nula -es decir,
teniendo elementos distintos de cero-, pueda tener cierta ‘nulidad interna’. es
como si sólo contara tener filas o columnas independientes unas de otras. no
vale tener filas de ceros que no aportan nada, no vale que una fila sea una repetición o variación de otra, y no vale crear otra fila que sea una combinación de
las ya existentes.
algún día me gustaría escribir un libro sobre filosofía
matemática, relacionando las leyes numéricas con la vida real. si no fuera por
lo difícil que sería encontrar una editorial que estuviera interesada... ^_^
hablando de libros, la idea de esta entrada me vino a raíz
de un regalo de mi amiga
geno:
el
lenguaje secreto de los números. tengo muchas publicaciones de national
geographic en casa, son muy interesantes.
en un capítulo de este libro hablaban de un método para codificar mensajes que consistía en multiplicar el vector de cifras numéricas
asignadas a las letras del mensaje original por una matriz. y para descodificar
el mensaje, había que multiplicar su vector asociado por la inversa de la
matriz de codificación.
así se me despertó la curiosidad por estos temas que estudié
hace tanto tiempo, en matemáticas de cou y también en la asignatura de álgebra
de 1º de carrera. como soy bastante friki, para recordar cómo se invertían
matrices y todo eso, me hice los ejercicios de ese tema que vienen en la web vitutor.com. es lo que hago cuando tengo
que explicar a alguno de mis alumn@s un tema difícil.
hacer problemas de matemáticas me transporta al pasado, como
podéis imaginar, y hace que acudan a mi mente muchos recuerdos de cuándo
estudiaba esos temas. se asemeja a una terapia freudiana en el sentido de que
evoca numerosos recuerdos olvidados. por eso, hasta que mi amiga
anacris
termine la carrera de psicología y pueda acudir a su consulta, de momento
tendré que conformarme con ponerme a hacer problemas de mates y dejar que mi
memoria haga el resto. ;)
por último, para explicar mejor cómo se calcula un
determinante de 3*3, aquí os dejo los pasatiempos de un número del año pasado
de la revista digital
foroesther -enlazada también en el margen izquierdo del
blog-. no sé quién es el flipado que se encarga de esa sección de la
revista. :P
