otra de raíces cuadradas

hace cuatro años ya escribí una entrada sobre raíces cuadradas que no estaba mal del todo. la mayoría de las entradas que he escrito de 2012 en adelante puedo releerlas sin avergonzarme demasiado. ;)

la raíz cuadrada de un número entero, no tiene término medio: o es exacta o es un número con infinitos decimales que además nunca forman una pauta periódica.

al resolver la raíz cuadrada manualmente, por ese método que nos enseñaban en el colegio y del que no se acuerda casi nadie -yo me lo tuve que repasar para poder explicarlo a los alumnos-, saldrá resto cero cuando es exacta y resto distinto de cero cuando no lo es. en este último caso podremos sacar tantos decimales como creamos conveniente.

la raíz cuadrada de 2, como vemos, no es exacta. hay otra manera de aproximarse a ese número tan importante en matemáticas, y es haciendo un desarrollo en serie de la función raíz cuadrada.

la función √x nos dará problemas porque al derivarla sucesivamente el denominador se anulará en x=0. y como nos es más cómodo hacer el desarrollo en serie en torno al origen, lo haremos sobre la función √(x+1).

a continuación hallaremos las derivadas sucesivas de √(x+1), y por inducción obtendremos una expresión general para la derivada de orden n. √(x+1) se puede expresar como (x+1)^1/2 y derivarla como si fuera una función polinómica.

debemos recordar que el factorial de un número entero es el producto de ese número por todos los que le preceden, hasta el 1 (podríamos decir hasta el 2, porque en la multiplicación el 1 no aporta nada). por ejemplo, el factorial de 5, expresado como 5!, sería igual a 5·4·3·2·1 = 120.

el ‘semifactorial’, que se usa menos, es el producto de un número por todos los que le preceden que tengan la misma paridad -los pares si es par, y los impares si es impar-. el factorial se denotaba con el número seguido de un signo de exclamación (!), y para el semifactorial se añaden dos signos de exclamación. pongamos dos ejemplos: 7!! sería igual a 7·5·3·1, y 8!! sería 8·6·4·2.

ahora ya conocemos la forma que adopta un término cualquiera del desarrollo en serie de √(x+1), y podemos obtener una expresión general en forma de sumatorio para la aproximación polinómica de esa función.

si en la función √(x+1) le damos a x el valor 1, obtenemos la raíz cuadrada de 2 que estamos buscando. eso significa que si en el desarrollo en serie sustituimos x por 1, nos aproximaremos cada vez más a √2 cuantos más términos tomemos.

una cosa... para n=1, saldría el ‘semifactorial’ de –1, que en teoría no tiene sentido. pero si suponemos que vale 1, funciona. es una pequeña trampa, no se lo digáis a nadie. :O

bueno, pues vamos a empezar a sumar términos de esta serie:

oye, esto es un coñazo, no?? para aproximarnos aceptablemente a la raíz de 2 vamos a tener que estar sumando términos hasta que nos salga barba blanca, como en los tebeos de mortadelo y filemón.

va a ser mejor hacer las raíces cuadradas como nos lo explicaban en el colegio, después de todo... ^_^

y a todo esto, siempre me ha parecido curioso que se llamen ‘raíces cuadradas’. las raíces de los árboles -como el que han plantado los dos pitufos en la viñeta que había al comienzo del post-, tienen una forma ramificada y compleja, muy lejos en todo caso de ser cuadradas. :P

en equipo

el otro día se me ocurrió una idea para un relato, y esta noche lo he escrito. no es muy bueno, la verdad. mis relatos los considero una especie de experimento, a ver qué sale cuando me pongo a escribir de manera improvisada. supongo que eso refleja las ideas que tenemos en la cabeza en cada momento.

espero que os guste. ah, cualquier parecido de alguno de los personajes con el autor es pura coincidencia. :O

Un chico llamado Alfa decidió matricularse en Ciencias Matemáticas, la carrera que siempre quiso estudiar. Nunca era tarde, a pesar de la edad, y posiblemente le convalidarían algunas asignaturas.

El primer día de clase llegó puntual y, pensando dónde podría sentarse, se fijó en una chica que había en la primera fila. Parecía tener más edad que el resto de yogurines de la clase, por lo que ya tenían algo en común. Sin pensárselo, se sentó al lado de ella.

Aunque Alfa era tímido, tenía más tablas que cuando era adolescente. Así que no le resultaría difícil iniciar una conversación con esa chica. Se llamaba Beta y era licenciada en Ciencias Físicas. Como no encontraba trabajo, decidió matricularse en Matemáticas, al tiempo que daba clases particulares, actividad a la que también se dedicaba Alfa.

Beta era pálida de piel, con el pelo castaño recogido en una coleta, y llevaba camiseta, vaqueros y deportivas. A Alfa le resultaban atractivas esas chicas que iban vestidas de manera sencilla, sin arreglarse en exceso. En cuanto a la personalidad, él siempre se había sentido ‘en tierra de nadie’: demasiado aburrido para la gente más fiestera, demasiado transgresor para los más puritanos. Quizá esta chica también era una oveja negra como él, el tiempo lo diría.

A lo largo del curso, Alfa y Beta se hicieron muy amigos. Descubrieron que congeniaban a la perfección, como si se hubieran conocido en otra vida. Para cuando llegaron los parciales de febrero ya estaban saliendo juntos.

Los exámenes los superaron con buenas notas. La veteranía y el haber estudiado carreras de la misma rama ayudaron mucho. Durante el puente de Carnaval, decidieron  ir a la casa de la abuela de Beta, en un pequeño pueblo de Asturias.

Allí surgió una idea brillante de los dos: escribir un libro de matemáticas aplicadas a situaciones de la vida real, con ilustraciones divertidas. Alfa tenía un blog en el que contaba muchas curiosidades matemáticas, Beta sabía dibujar muy bien, y a ambos les gustaba explicar las asignaturas de ciencias a sus alumnos con ejemplos sencillos y de forma amena.

Durante los días que estuvieron en esa casa, reunieron todas las ideas que tenían y elaboraron una especie de índice provisional para ese libro que pensaban escribir. Pero no sólo se dedicaron a eso...

A Beta se le ocurrió poner a secar semillas de las manzanas que iban comiendo de postre, hasta que estuvieron listas para plantarlas. Entre los dos cavaron un hoyo en el jardín de la casa y enterraron las semillas. La abuela de Beta podría regarlas y fertilizarlas. La jardinería era su mayor afición.

Una noche, Alfa y Beta se sentían muy románticos. Se besaron apasionadamente en la habitación donde dormían. Y una cosa llevó a la otra... Y pasó lo que tenía que pasar.

Sin proponérselo, durante aquella escapada iniciaron las tres cosas que se supone que una persona debe hacer en su vida: escribir un libro, plantar un árbol y tener un hijo. Y lo más curioso es que las tres tareas las llevaron a cabo conjunta y simultáneamente. En equipo, podríamos decir.

El proyecto del libro siguió adelante, y no les resultó difícil encontrar una editorial que estuviera interesada. El árbol no tardó en dar sus primeros brotes y creció muy rápido.

¿Se nos olvida algo...? ¡Ah, sí!

Fue niña y la llamaron Gamma.

entrevistas

en las entrevistas de trabajo siempre hay que tratar de quedar bien y decir lo que quieren escuchar. aun así, a menudo las preguntas tienen doble filo, y tus bien intencionadas respuestas se pueden volver contra ti.

mi sueño dorado es ir a una entrevista y contestar lo que me dé la gana a las preguntas idiotas que suelen hacer. ^_^ he seleccionado algunas ‘preguntas tipo’ que aparecían en un libro nefasto sobre las entrevistas de trabajo que leí cuando acabé la carrera. ese libro es un claro exponente de la actitud absurdamente sumisa que se inculca a los jóvenes a la hora de buscar trabajo. y no hablemos de las ideas machistas que defiende su autor...

aquí tenéis las preguntas, que he transcrito textualmente sin cambiar ni una coma, y las respuestas que me gustaría dar a cada una. espero que os divirtáis, ya que ése es el objetivo de esta entrada. ;)

¿Por qué quieres trabajar con nosotros, y en ese puesto?

coño, pues porque he visto vuestra oferta y necesito un trabajo para poder pagarme mis vicios.

¿Tus conocimientos y experiencia son suficientes para el puesto que pretendes?

dímelo tú, que eres el que me has llamado para esta entrevista. no he empezado a trabajar en ese puesto, así que no sé si tengo conocimientos suficientes. no soy adivino, tío.

¿Eres capaz de crecer en el puesto para ocupar responsabilidades más elevadas conforme la compañía lo necesite?

no jodas, me estás diciendo que no es un puesto de director? yo que ya me veía como el ‘dire’ que salía en los tebeos del botones sacarino, y en poco tiempo como el ‘presi’.

Tu cónyuge, pareja, padres o hijos, ¿pueden representar una limitación para tu movilidad?

pues ya que lo dices, si en ese puesto hay que viajar, mi mamá no se lo va a creer. me va a decir: “viaje de trabajo, ya, ya! a golfear es a lo que vas tú!”.

¿Serás capaz de dar el callo, de emplearte a fondo?

no, a decir verdad yo me dedico a pasear por los pasillos, siempre con un papel en la mano para que parezca que estoy haciendo algo.

¿Te adaptarás bien a nuestra cultura empresarial?

eh, no me asustes! esta empresa tiene una cultura diferente, como los países asiáticos? hay que comer con palillos o sentarse en el suelo? para ir entrenándome, digo.

¿Congeniarás con el resto del equipo?

yo qué coño sé, si no les conozco! pero bueno, si nos peleamos ya procuraremos no manchar de sangre la moqueta.

¿Eres de los que aprovecha cualquier catarrillo para pedir una baja médica?

no, sólo cuando mi fogosa novia me da un chupetón en el cuello. tengo que estar unos días en casa hasta que se me quite, porque si hay reunión con algún cliente no daría muy buena imagen corporativa.

¿Eres deshonesto, poco discreto, alcohólico, aficionado a ligar con los compañeros o compañeras de trabajo, irresponsable, mentiroso, liante, o te conoces demasiado bien el camino al Juzgado de lo Social?

eh eh, quién le ha dado esos informes sobre mí...? esto... que diga... en realidad el camino del juzgado no lo conozco, porque desde dentro del furgón policial no se ve... esto... nada nada, que no me lo sé, faltaría más!

¿Vienes a quedarte con nosotros, o eres un culillo de mal asiento?

ah, se supone que tengo que quedarme con vosotros?? yo ya iba a preguntar si podía pedir días de permiso para ir a otras entrevistas de trabajo.

¿Vales lo que te vamos a pagar?

no, en realidad creo que valgo más, pero pedir aumento de sueldo antes de incorporarme me parecía prematuro. lo pediré dentro de un tiempo prudencial, digamos... el primer día!

¿Podemos permitirnos el contratarte?

será sin duda una experiencia muy instructiva para ustedes. si creían que su empresa ya no podía ir peor, comprobarán que conmigo sí puede ir peor.

p-d: las viñetas son de blasa - portera de su casa, personaje creado por josé escobar -el dibujante de zipi y zape, carpanta, petra y muchos otros-.

perspectivas

en la asignatura de dibujo técnico, teníamos que representar las vistas de una pieza tridimensional: alzado -de frente-, planta -desde arriba- y perfil -por el lateral-. a veces había que hacer lo contrario: conociendo las vistas, averiguar la forma de la pieza y dibujarla. eso era mucho más difícil y requería una gran visión espacial.

como ejemplo me he inventado una pieza, ni demasiado sencilla ni demasiado complicada, para que recordéis cómo funcionaba esto de las vistas...

las perspectivas en dibujo técnico tienen cierta relación con la filosofía. el pensador josé ortega y gasset afirmaba que no existía una única realidad, sino que dependía de la perspectiva de cada observador.

“Desde distintos puntos de vista, dos hombres observan el mismo paisaje. Sin embargo, no ven lo mismo. La distinta situación hace que el paisaje se organice ante ambos de distinta manera. Lo que para uno ocupa el primer término y acusa con vigor todos sus detalles, para otro se halla en el último y queda oscuro o borroso. Además, como las cosas puestas unas detrás de otras se ocultan en todo o en parte, cada uno de ellos percibirá porciones del paisaje que al otro no llegan. ¿Tendría sentido que cada cual declarase falso el paisaje ajeno? Evidentemente, no; tan real es el uno como el otro.”

este fragmento está tomado de su obra el tema de nuestro tiempo. lo saqué de un libro de textos de filosofía para selectividad que me compré hace unos cinco o seis años. siempre me gustó la filosofía, y tenía ganas de recordar lo que estudiábamos en esa asignatura. pero el libro que tuve cuando estaba en cou se me perdió, así que me hice con uno nuevo.

como es lógico, la selección de autores y de textos era un poco diferente al haber cambiado los planes de estudio, pero era mejor eso que nada. en nuestra época no estudiábamos a ortega y gasset, y creo que me habría gustado. el filósofo español vivió entre 1883 y 1955, y es el más moderno de los que figuran en el temario.

este tema de las percepciones parciales de la realidad, es algo en lo que siempre pienso cuando hay una chica que me atrae pero a la que aún no conozco mucho. yo tengo una percepción de ella muy idealizada -y posiblemente muy incompleta-. pero, por ejemplo, sus padres tendrán otra percepción; sus hermanos tendrán otra; sus amigos tendrán otra; sus compañeros de trabajo tendrán otra; ...y así sucesivamente.

aquí tenéis una viñeta de esther adulta -la de rosa- con toda su familia: su hija, su padrastro, su cuñado, su hermana mayor, su madre y su hermana menor. ellos la percibirán en cada caso como ‘esther madre’, ‘esther hija’, ‘esther hermana’... todas esas visiones de ella son igualmente válidas y complementarias entre sí.