rizos

hay un capítulo de las aventuras de esther en el que nuestra amiga decide rizarse el pelo. otras chicas hacen lo contrario, se lo planchan. a menudo me ocurre que le digo a una chica “hoy te has rizado el pelo, qué bien te queda!”, y me responde “no, si mi pelo de natural es rizado, lo que pasa es que otros días me lo plancho!”.

se me ha ocurrido relacionar esto con una paradoja matemática que me contaron cuando estaba allá por 2º o 3º de bup. imaginad que sobre el diámetro de una circunferencia grande trazamos dos semicircunferencias cuyo radio sea la mitad del radio de la circunferencia original, de la manera que se observa en la figura. el resultado es una especie de yin yang.

partimos de que la longitud de una semicircunferencia de radio r es π·r. es lógico, si la longitud de una circunferencia entera es 2·π·r, la de una semicircunferencia será la mitad, π·r.

R mayúscula es el radio de la circunferencia base, y por tanto R/2 será el radio de las dos semicircunferencias de nuestro yin yang. por tanto, la longitud de las mismas será 2·(π·R/2) = π·R.

ahora vamos a hacerlo un poco más difícil. trazaremos cuatro semicircunferencias alternas cuyo radio será la cuarta parte del radio grande.

la longitud de esas cuatro semicircunferencias será, de manera análoga a como lo hemos hecho antes: 4·(π·R/4) = π·R.

más difícil todavía! ahora lo haremos con ocho semicircunferencias de radio la octava parte del radio de la circunferencia grande.

calculamos la longitud de las ocho semicircunferencias: 8·(π·R/8) = π·R.

puede dar la impresión de que si trazamos semicircunferencias cada vez más pequeñas, la línea formada vista de lejos se asemejará a una línea recta, se ‘confundirá’ con el diámetro de la circunferencia grande. sin embargo, hemos comprobado que la longitud de esa línea en zigzag es siempre la misma: π·R. la expresión de su longitud para un número genérico n de iteraciones sería:

2ⁿ·(π·R/2ⁿ) = π·R. da igual que tomemos el límite cuando n tiende a infinito, porque el factor 2ⁿ se encuentra en el numerador y en el denominador, cancelándose entre sí.

el diámetro de la circunferencia base es 2·R. la longitud de nuestra línea ‘rizada’ hasta el infinito es π·R. quiere decir esto que π es igual a 2? ni hablar, porque por mucho que ricemos esa línea curva, por más fino que sea el rizo, nunca se convertirá en una línea recta.

si esa línea en zigzag la ‘estirásemos’, comprobaríamos que es apreciablemente más larga que el diámetro, con la misma diferencia que hay de π (3.14159...) a 2.

algo parecido ocurre con el pelo. cuando está rizado, queda más ‘contraído’. por eso cuando las chicas que tenéis el pelo ondulado os lo plancháis, os queda una melena más larga. :)

el experimento de rizarse el pelo que hizo esther sólo duró una noche. al día siguiente volvió a llevarlo como siempre...

presión

hay una fórmula de física que nunca se me olvida, y es la presión en un punto determinado de un fluido: presión igual a densidad por gravedad por altura. lo expresamos matemáticamente de esta manera:

P = ρ·g·h

P es la presión que queremos calcular, ρ (letra griega que se lee como ‘ro’) la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, y h la altura -o más bien deberíamos decir profundidad- respecto a la superficie superior del fluido.

resulta intuitivo que a mayor profundidad a la que un cuerpo se encuentra sumergido en un líquido, mayor será la presión. por eso nos preguntamos cómo los peces que viven en las fosas marinas más profundas resisten las altas presiones. en cuanto a la densidad, también es lógico pensar que habrá mayor presión cuanto más pesado sea el líquido.

mortadelo y filemón en este caso se ven sometidos a una presión superior a la normal, pero tampoco mucha, podría ser peor...

se puede comprobar que en esa fórmula las dimensiones son coherentes. para empezar, la presión P es fuerza entre superficie. a su vez, la fuerza es masa por aceleración. utilizando unidades del sistema internacional, sus unidades serán kg·m/s². la superficie se mide en m², y por tanto las unidades de presión serán kg/m·s².

la densidad ρ es masa entre volumen, es decir kg/m³. la gravedad g es una aceleración, y por tanto sus unidades son m/s². (su valor se puede considerar constante e igual a 9.8 m/s²). y por último la altura h es simplemente una distancia, que se mide en m.

si multiplicamos las unidades de ρ, g y h obtenemos:

(kg/m³)·(m/s²)·m = kg/m·s², que como hemos dicho son unidades de presión.

un día por la mañana me fijé en el chorro que salía del grifo abierto de la bañera, antes de ponerlo en ‘modo ducha’, y eso me dio la idea de escribir una entrada relacionada con estos temas.

si pones el dedo en el chorro, cuanto más abajo lo pongas notarás que el agua cae con más fuerza. esto se debe al efecto de la gravedad: a medida que cae el agua, su velocidad va aumentando proporcionalmente con la gravedad y el tiempo, igual que ocurre en la caída libre de cualquier cuerpo.

cerca de la boca del grifo, notas que el chorro de agua está más ‘blandito’. pero abajo del todo cae con mucha presión y si metes el dedo salpica en todas las direcciones. es una de esas cosas de las que te das cuenta desde pequeño, aunque aún no sepas cuál es la explicación física.

si se rompe un conducto por el que el agua circula a altas presiones, ésta se escapa violentamente. así sucede cuando pepe gotera y otilio tienen que realizar un trabajo de fontanería, y como es su costumbre causan un estropicio...

una de mis alumnas tiene un hermanito pequeño que ahora está en 3º de primaria. a veces oigo a su madre batallar con él porque no quiere meterse en la bañera. se queja de que el agua sale fría. yo le comprendo al muchacho, porque el verano pasado tuve que ducharme con agua fría la mayor parte de los días debido a problemas con la caldera, y no mola nada.

quizá en un futuro tenga que darle clases también a él. ahora es un poco revoltoso, pero puede que para entonces se haya vuelto más formal. además mi cometido será enseñarle matemáticas, para mandarle que se meta en la ducha ya está su madre. ella tendrá que estar atenta para que no haga ninguna picaresca como zipi y zape, en plan meterse con impermeable y cosas de esas...

altibajos

en ciertas épocas el ánimo puede estar un poco oscilante, pero no por ello hay que ser hipocondriaco y pensar que se trata de depresión bipolar.

existe abundante información sobre esta enfermedad y se conocen bastantes casos de personas famosas que la sufren o la sufrían. lamentablemente, se ha puesto de moda emplear el término ‘bipolar’ como insulto hacia aquellos que tienen un comportamiento cambiante.

como digo, hay épocas en las que podemos tener altibajos de ánimo. por ejemplo, el verano tiene momentos muy divertidos, pero también tiene momentos en los que hay que aguantar a gente pesada con conversaciones deprimentes... además, puede ocurrir que antes de comer te tomes dos o tres cañas y te pongas ‘contento’, y luego te dé el bajón. todo influye...

y entonces sientes que tu ánimo sube y baja como una curva senoidal. pongamos como ejemplo la gráfica trigonométrica más sencilla, sen(x).

entre 0 y π/2 sube, pero cada vez menos. en π/2 llega a un máximo y deja de subir. entre π/2 y π baja de manera pronunciada. entre π y 3π/2 sigue bajando, pero menos. en 3π/2 llega a un mínimo y no baja más. entre 3π/2 y 2π sube fuertemente. a partir de 2π subirá pero no tanto... y así sucesivamente.

en cualquier gráfica, en general me gustan más los mínimos que los máximos. porque en los mínimos tocas fondo y a partir de ahí vuelves a subir. mientras que en los máximos tocas techo, y la caída será más dura. si tu ánimo está oscilante, piensas “ahora estoy de buen humor, pero cuando me venga el bajón va a ser terrible”.

tampoco hay que confundir la bipolaridad con encontrarse en una situación o circunstancias difíciles y tener un momento de tregua. eso es lo que le ocurre al director de la oficina donde trabaja el botones sacarino -popular personaje de francisco ibáñez, el creador de mortadelo y filemón-.

el verano está acabando, y poco a poco volvemos a la normalidad. para dar la bienvenida al otoño, época en la que todo es más estable, me he comprado una sudadera y me he cortado el pelo. así estaré un poco más guapo y compensaré los kilos de más ocasionados por pasar todo el verano comiendo y bebiendo porquerías. :P

economía (1)

en el segundo ciclo de la carrera tuve algunas asignaturas de economía, organización de la producción y administración de empresas.

la asignatura de economía por excelencia era ‘teoría e instituciones económicas’ de 4º curso (eran 6 en total). la impartía un catedrático un poco excéntrico, con un humor inteligente muy peculiar. uno de los pocos profesores con carisma que tuve en la escuela...

sus clases no parecían seguir un plan prefijado. consistían en charlas sobre situaciones de la vida real relacionadas con la economía, en las cuales nos invitaba a interactuar planteándonos preguntas. siempre ponía una sonrisa ‘de pillo’, y cuando la respuesta que le dabas era incorrecta, te lo hacía ver con una ironía elegante que nunca te hacía sentir humillado.

en sus clases podíamos tener la sensación de que no dábamos nada relacionado con el temario de la asignatura de economía. pero en realidad sí que había muchos contenidos teóricos, sólo que había que descifrarlos y entresacarlos. aquel profesor hacía que su asignatura tuviera un ‘halo de misterio’, que nunca llegaras a entenderla del todo. y realmente eso es lo que sucede con la economía en la vida real. porque en este campo se producen muchos fenómenos impredecibles incluso para los mayores expertos, y carentes de explicación racional.

feliciano, que así se llamaba el profesor, cada año ofrecía la posibilidad de aprobar la asignatura a través de un examen oral, el cual te liberaba del examen escrito. ese examen oral tenía lugar en su despacho, sentándote enfrente de él, y utilizando papel y boli si tenías que dibujar alguna gráfica o lo que fuera.

a pesar de su sentido del humor, feliciano intimidaba mucho. era un catedrático de unos 55 años que estimo tendría entonces, vestido siempre con trajes oscuros, con un abundante pelo peinado hacia atrás, con gafas, con una voz grave y un ligero acento gallego que delataba su origen. conmigo fue muy considerado, debí de caerle bien, quizá porque iba con una actitud humilde...

aun así me hizo temblar en algún momento, cuando me hizo ver que había metido la pata al responder alguna de sus preguntas. y es que no era lo mismo meter la pata en clase que en el examen oral. ese hombre era excéntrico pero no tenía un pelo de tonto, y estaba claro que no te iba a aprobar por la cara. si un tema no lo llevabas bien, te mandaba estudiártelo y te hacía volver otro día. y si veía que estabas muy verde en general, te ‘recomendaba’ presentarte al examen escrito.

mi examen oral se realizó en tres sesiones, de aproximadamente dos horas cada una. me aprobó con un 7. valió la pena el esfuerzo de varios meses. él recomendaba la lectura de un libro antiguo que estaba disponible en la biblioteca de la escuela, la teoría de los precios de george stigler. lo leí entero durante la semana santa de ese año. tengo que investigar si aún lo reeditan, porque me gustaría tenerlo.

si en el título de esta entrada he puesto (1) es porque habrá como mínimo una 2ª parte. en ella, probablemente explicaré algunas cosas de economía que aprendí, y que reflejan la manera de pensar y actuar de las personas en la vida diaria, no solamente en el ámbito económico. la economía, tal como me la han enseñado, es casi una especie de filosofía...