estos días he estado un poco griposo. en realidad no tengo
claro si ha sido una gripe o sólo un catarro muy chungo, pero para el caso es
lo mismo.
como el cuerpo y la mente están estrechamente
relacionados, mi ánimo no ha estado precisamente por las nubes. la inactividad es
fatal, y por eso hay que buscar cualquier excusa para mantener la mente ocupada.
en una fiesta de mi promoción del colegio que hicimos hace
como un año y medio, un compañero describió el recuerdo que tenía de mí: al parecer, cuando alguien me preguntaba qué tal estaba, le respondía hablándole de algún
teorema. :D así que voy a seguir esa misma estrategia. en este caso, más que un
teorema es un caso práctico de física.
cuando dejamos caer un objeto, hay dos fuerzas contrapuestas
que intervienen: la gravedad y la resistencia del aire. esta última es
proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto que cae. la constante de
proporcionalidad depende, entre otras cosas, de la viscosidad del aire (o de cualquier otro fluido del que se trate).
el valor de la fuerza de rozamiento del aire será el mismo independientemente
de la masa del cuerpo que cae. una misma fuerza aplicada sobre un cuerpo de
menor masa, provocará en éste una mayor variación de su aceleración. por eso,
cuando soltamos desde cierta altura una hoja de papel por ejemplo, seguirá una
trayectoria errática hasta caer. pero si es un objeto lo suficientemente
pesado, la resistencia del aire apenas le afectará, y su trayectoria no se diferenciará mucho de la que se produciría en el vacío.
queremos obtener una ecuación que relacione la velocidad con
el tiempo. para ello separamos variables en la ecuación del escaneado anterior,
de la manera que se indica:
el denominador de nuestra expresión se asemeja a una
diferencia de cuadrados. hacemos un truco algebraico para transformarla en la
suma de dos componentes cuyos denominadores sean la suma y la diferencia que
multiplicadas entre sí darían la mencionada diferencia de cuadrados.
integramos, teniendo en cuenta que en el instante inicial la
velocidad es nula por tratarse de un caso de caída libre. tal como lo hemos
preparado, nos encontramos con unas integrales de cocientes en los que el
numerador se puede expresar como la derivada del denominador multiplicada por
una constante. las integrales de este tipo dan como resultado logaritmos
neperianos.
ya hemos hecho lo más difícil. tenemos por un lado el
tiempo, y por otro lado el logaritmo de un cociente cuya variable es la
velocidad. ahora nos convendrá despejar dicho logaritmo y pasar todas las
constantes al otro lado de la ecuación.
aplicamos la exponencial en ambos lados de la ecuación. sabiendo
que la exponencial es la función inversa del logaritmo, obtenemos una ecuación
que relaciona una exponencial del tiempo con la ya citada expresión en función de la velocidad.
nos damos cuenta de algo curioso: el número e elevado a un producto de constantes
por el tiempo crece de manera muy pronunciada y se hace infinito cuando el
tiempo tiende a infinito. eso quiere decir que en el otro lado de la ecuación
ocurrirá lo mismo. qué tiene que ocurrir para que un cociente se haga infinito?
que el denominador se haga cero.
y en el caso que nos ocupa, eso quiere decir que en régimen permanente la velocidad del cuerpo que cae tenderá a ser constante. esa
velocidad estabilizada, como se observa, dependerá de la gravedad, de la masa
del cuerpo y de la constante de fricción del aire.
cuando estaba en cou, pensaba: “cómo sería la caída libre
con resistencia del aire? muy fácil! introducimos una aceleración constante
contraria a la de la gravedad”. y eso es una burrada, porque no es constante ni mucho menos.
estos problemas los hacíamos en física de 1º de carrera, a
pesar de que las ecuaciones diferenciales -herramienta necesaria para
resolverlos- no se daban hasta 2º. más majos los catedráticos de mi escuela!! ;)
